Giải SGK Toán 12 Bài 11. Nguyên hàm

Cho hai hàm số f(x) = x$^{2}$ + 1 và $F(x)=\frac{1}{3}{x}^{3}+x$, với x ∈ ℝ.

a) Tính đạo hàm của hàm số F(x).

b) F'(x) và f(x) có bằng nhau không?

Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=x+\frac{1}{x}$ trên khoảng (0; +∞).

a) $F(x)=\frac{1}{2}{x}^{2}+\ln x$; b) $G(x)=\frac{{x}^{2}}{2}-\ln x$.

Cho f(x) là hàm số liên tục trên K, k là một hằng số khác 0. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K.

a) Chứng minh kF(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K.

b) Nêu nhận xét về $\int kf(x)dx$và $k\int f(x)dx$.

Cho hàm số f(x) = x$^{n}$ (n ∈ ℕ*).

a) Chứng minh rằng hàm số $F(x)=\frac{{x}^{n+1}}{n+1}$ là một nguyên hàm của hàm số f(x). Từ đó tìm $\int {x}^{n}dx$.

b) Từ kết quả câu a, tìm $\int k{x}^{n}dx$ (k là hằng số thực khác 0).

Cho f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục trên K. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x), G(x) là một nguyên hàm của g(x) trên K.

a) Chứng minh F(x) + G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) + g(x) trên K.

b) Nêu nhận xét về $\int [f(x)+g(x)]dx$ và $\int f(x)dx+\int g(x)dx$.

Tìm

a) $\int (3{x}^{2}+1)dx$; b) $\int {(2x-1)}^{2}dx$.

Tìm:

a) $\int \frac{1}{{x}^{4}}dx$; b) $\int x\sqrt{x}dx(x>0)$; c) $\int (\frac{3}{x}-5\sqrt[3]{x})dx(x>0)$.

a) Tính đạo hàm của các hàm số sau và nêu kết quả tương ứng vào bảng dưới đây.

b) Sử dụng kết quả ở câu a, tìm nguyên hàm của các hàm số cho trong bảng dưới đây.

Tìm:

a) $\int (3\cos x-4\sin x)dx$; b) $\int (\frac{1}{{\cos }^{2}x}-\frac{1}{{\sin }^{2}x})dx$.

a) Tính đạo hàm của các hàm số sau và nêu kết quả tương ứng vào bảng dưới đây.

b) Sử dụng kết quả ở câu a, tìm nguyên hàm của các hàm số cho trong bảng dưới đây.

Tìm:

a) $\int {4}^{x}dx$; b) $\int \frac{1}{{e}^{x}}dx$; c) $\int ({2.3}^{x}-\frac{1}{3}{.7}^{x})dx$.

Trong mỗi trường hợp sau, hàm số F(x) có là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng tương ứng không? Vì sao?

a) F(x) = xlnx và f(x) = 1 + lnx trên khoảng (0; +∞);

b) F(x) = e$^{sinx}$ và f(x) = e$^{cosx}$ trên ℝ.

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) f(x) = 3x$^{2}$ + 2x – 1; b) f(x) = x$^{3}$ – x;

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

c) f(x) = (2x + 1)$^{2}$; d) $f(x)={(2x-\frac{1}{x})}^{2}$.

Tìm:

a) $\int (3\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}})dx$; b) $\int \sqrt{x}(7{x}^{2}-3)dx(x>0)$;

Tìm:

c) $\int \frac{{(2x+1)}^{2}}{{x}^{2}}dx$; d) $\int ({2}^{x}+\frac{3}{{x}^{2}})dx$.

Tìm:

a) $\int (2\cos x-\frac{3}{{\sin }^{2}x})dx$; b) $\int 4{\sin }^{2}\frac{x}{2}dx$;

Tìm:

c) $\int {(\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2})}^{2}dx$; d) $\int (x+{\tan }^{2}x)dx$.

Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm t giây (coi t = 0 là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của nó được cho bởi v(t) = 160 – 9,8t (m/s). Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất):

a) Sau t = 5 giây;

b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).