Giải SGK Toán 12 Bài 11. Nguyên hàm

Sau khi học xong bài này, ta giải quyết bài toán này như sau:

Gọi S(t) (0 ≤ t ≤ 30) là quãng đường máy bay di chuyển được sau t giây kể từ lúc bắt đầu chạy đà.

Ta có v(t) = S'(t). Do đó, S(t) là một nguyên hàm của hàm số vận tốc v(t). Sử dụng tính chất của nguyên hàm ta được

$S\left( t \right) = \int {v(t)dt = \int {\left( {5 + 3t} \right)dt} = 5\int {dt + 3\int {tdt} = 5t + \frac{3}{2}{t^2} + C.} }$

Theo giả thiết, S(0) = 0 nên C = 0 và ta được$S\left( t \right) = \frac{3}{2}{t^2} + 5t\;\left( m \right)$..

Máy bay rời đường băng khi t = 30 giây nên$S = S\left( {30} \right) = \frac{3}{2}{.30^2} + 5.30 = 1500\;\left( m \right)$..

Vậy quãng đường máy bay đã di chuyển kể từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường băng là 1500 m.

a) Ta có $F'\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{3}{x^3} + x} \right)^\prime } = {x^2} + 1$.

b) Ta có F'(x) = f(x) = x$^{2}$ + 1.

Ta có $F'\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{2}{x^2} + \ln x} \right)^\prime } = x + \frac{1}{x}$, $G'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \ln x} \right)^\prime } = x - \frac{1}{x}$.

Vì $F'\left( x \right) = f\left( x \right) = x + \frac{1}{x}$ trên khoảng (0; +∞) nên hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng (0; +∞).

Hàm số G(x) không là nguyên hàm của f(x) trên khoảng (0; +∞) vì với x = 1 ∈ (0; +∞), ta có G'(1) = 0 ≠ 2 = f(1).

Vì ${\left( {\frac{{{x^4}}}{4}} \right)^\prime } = {x^3}$ nên $F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4}$ là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x$^{3}$ trên ℝ.

Do đó, $\int {{x^3}} dx = \frac{{{x^4}}}{4} + C$.

a) Vì F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K nên F'(x) = f(x).

Ta cần chứng minh (kF(x))' = kf(x).

Ta có (kF(x))' = k(F(x))' = kf(x).

Vậy kF(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K.

b) Vì F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K nên $\int {f\left( x \right)} dx = F\left( x \right) + C$.

Có $\int {kf\left( x \right)} dx = kF\left( x \right) + C'$.

Vì C' ta có thể viết lại bằng kC. Tức là C' = kC.

Do đó $\int {kf\left( x \right)} dx = kF\left( x \right) + kC = k\left( {F\left( x \right) + C} \right) = k\int {f\left( x \right)dx}$.

Vậy $\int {kf\left( x \right)} dx = k\int {f\left( x \right)dx}$.

a) Vì $F'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right)^\prime } = {x^n}$ nên hàm số $F\left( x \right) = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}$ là một nguyên hàm của hàm số f(x).

Ta có $\int {{x^n}} dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C$.

b) Ta có $\int {k{x^n}} dx = k\int {{x^n}} dx = k\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C$.

a) Vì F(x) là một nguyên hàm của f(x) nên F'(x) = f(x) và G(x) là một nguyên hàm của g(x) nên G'(x) = g(x).

Ta có (F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x).

Do đó F(x) + G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) + g(x) trên K.

b) Ta có $\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} dx = F\left( x \right) + G\left( x \right) + C$ với C là hằng số bất kì.

Có $\int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + {C_1};\int {g\left( x \right)} } dx = G\left( x \right) + {C_2}$ với C$_{1}$; C$_{2}$ là các hằng số bất kì.

Do đó $\int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)} } dx = F\left( x \right) + {C_1} + G\left( x \right) + {C_2} = F\left( x \right) + G\left( x \right) + \left( {{C_1} + {C_2}} \right)$.

Ta có thể biểu diễn C = C$_{1}$ + C$_{2}$.

Do đó $\int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)} } dx = F\left( x \right) + G\left( x \right) + C$.

Vậy $\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} dx = \int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)} } dx$.

a) $\int {\left( {3{x^2} + 1} \right)dx} = 3\int {{x^2}dx} + \int {dx = {x^3} + x + C}$.

b) $\int {{{\left( {2x - 1} \right)}^2}dx} = \int {\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right)dx} = 4\int {{x^2}dx - 4\int {xdx + \int {dx = \frac{{4{x^3}}}{3}} } } - 2{x^2} + x + C$.

Doanh thu của công ty là $R\left( x \right) = \int {\left( {300 - 0{,}1x} \right)dx = 300x - \frac{1}{{20}}{x^2} + C}$.

Vì R(0) = 0 nên C = 0.

Do đó $R\left( x \right) = 300x - \frac{1}{{20}}{x^2}$.

Doanh thu của công ty khi đã bán 1000 con chíp là:

$R\left( {1000} \right) = 300.1000 - \frac{1}{{20}}{.1000^2} = 250000$ triệu đồng.

Có $y = \frac{1}{{{x^4}}} = {x^{ - 4}}$$\Rightarrow y' = {\left( {{x^{ - 4}}} \right)^\prime } = - 4{x^{ - 5}} = - \frac{4}{{{x^5}}}$.

$y' = {\left( {{x^{\sqrt 2 }}} \right)^\prime } = \sqrt 2 {x^{\sqrt 2 - 1}}$.

$y = \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}} = {x^{\frac{{ - 1}}{3}}}$$\Rightarrow y' = {\left( {{x^{\frac{{ - 1}}{3}}}} \right)^\prime } = - \frac{1}{3}{x^{\frac{{ - 4}}{3}}} = \frac{{ - 1}}{{3{x^{\frac{4}{3}}}}}$.

b) Với x > 0 thì y = ln|x| = lnx. Do đó $y' = {\left( {\ln x} \right)^\prime } = \frac{1}{x}$.

Với x < 0 thì y = ln|x| = ln(−x). Do đó $y' = {\left( {\ln \left( { - x} \right)} \right)^\prime } = \frac{{{{\left( { - x} \right)}^\prime }}}{{ - x}} = \frac{1}{x}$.

a) $\int {\frac{1}{{{x^4}}}} dx = \int {{x^{ - 4}}} dx = \frac{{{x^{ - 3}}}}{{ - 3}} + C = \frac{{ - 1}}{{3{x^3}}} + C$.

b) $\int {x\sqrt x } dx = \int {{x^{\frac{3}{2}}}} dx = \frac{{{x^{\frac{3}{2} + 1}}}}{{\frac{3}{2} + 1}} + C = \frac{2}{5}{x^{\frac{5}{2}}} + C = \frac{2}{5}{x^2}\sqrt x + C$.

c) $\int {\left( {\frac{3}{x} - 5\sqrt[3]{x}} \right)} dx = 3\int {\frac{1}{x}} dx - 5\int {{x^{\frac{1}{3}}}} dx$

$= 3\ln \left| x \right| - 5.\frac{{{x^{\frac{1}{3} + 1}}}}{{\frac{1}{3} + 1}} + C = 3\ln \left| x \right| - \frac{{15}}{4}{x^{\frac{4}{3}}} + C = 3\ln \left| x \right| - \frac{{15}}{4}x\sqrt[3]{x} + C$.

a)

b)

a) $\int {\left( {3\cos x - 4\sin x} \right)dx}$$= 3\int {\cos xdx - 4\int {\sin xdx} }$$= 3\sin x + 4\cos x + C$.

b) $\int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx}$$= \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx - \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} }$$= \tan x + \cot x + C$.

a)

b)

a) $\int {{4^x}} dx = \frac{{{4^x}}}{{\ln 4}} + C$.

b) $\int {\frac{1}{{{e^x}}}} dx = \int {{e^{ - x}}dx = - {e^{ - x}} + C}$.

c) $\int {\left( {{{2.3}^x} - \frac{1}{3}{{.7}^x}} \right)} dx$$= 2\int {{3^x}dx - \frac{1}{3}} \int {{7^x}} dx$$= 2.\frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} - \frac{1}{3}.\frac{{{7^x}}}{{\ln 7}} + C$.

a) Có F'(x) = (xlnx)' = $\ln x+x.\frac{1}{x}=1+\ln x$= f(x).

Do đó, hàm số F(x) = xlnx là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 + lnx trên khoảng (0; +∞).

b) Có F'(x) = (e$^{sinx}$)' = e$^{sinx}$.(sinx)' = cosx.e$^{sinx}$ ≠ f(x) = e$^{cosx}$.

Do đó, hàm số F(x) = e$^{sinx}$ không là nguyên hàm của hàm số f(x) = e$^{cosx}$ trên ℝ.

a) $\int {\left( {3{x^2} + 2x - 1} \right)dx = 3\int {{x^2}dx} } + 2\int {xdx - \int {dx} } = {x^3} + {x^2} - x + C$.

b) $\int {\left( {{x^3} - x} \right)dx = \int {{x^3}dx - \int {xdx = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{2} + C} } }$.

c) $\int {{{\left( {2x + 1} \right)}^2}} dx = \int {\left( {4{x^2} + 4x + 1} \right)dx = 4\int {{x^2}dx + 4\int {xdx + \int {dx = \frac{4}{3}} } } } {x^3} + 2{x^2} + x + C$.

d) ${\int {\left( {2x - \frac{1}{x}} \right)} ^2}dx = \int {\left( {4{x^2} - 4 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx}$$= 4\int {{x^2}dx - 4\int {dx} + \int {{x^{ - 2}}dx} }$$= \frac{4}{3}{x^3} - 4x - \frac{1}{x} + C$.

a) $\int {\left( {3\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}} \right)} dx$$= 3\int {{x^{\frac{1}{2}}}dx + \int {{x^{ - \frac{1}{3}}}dx} } = 2{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2}{x^{\frac{2}{3}}} + C$$= 2x\sqrt x + \frac{3}{2}\sqrt[3]{{{x^2}}} + C$.

b) $\int {\sqrt x \left( {7{x^2} - 3} \right)dx}$$= 7\int {{x^{\frac{5}{2}}}dx - 3\int {{x^{\frac{1}{2}}}dx} } = 2{x^{\frac{7}{2}}} - 2{x^{\frac{3}{2}}} + C = 2\sqrt {{x^7}} - 2\sqrt {{x^3}} + C$.

c) $\int {\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}}dx}$$= \int {\frac{{4{x^2} + 4x + 1}}{{{x^2}}}dx}$$= \int {\left( {4 + \frac{4}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx}$

$= 4\int {dx + 4\int {\frac{1}{x}dx + \int {\frac{1}{{{x^2}}}} } } dx$$= 4x + 4\ln \left| x \right| - \frac{1}{x} + C$.

d) $\int {\left( {{2^x} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} dx$$= \int {{2^x}dx + 3\int {{x^{ - 2}}dx} }$$= \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - \frac{3}{x} + C$.

a) $\int {\left( {2\cos x - \frac{3}{{{{\sin }^2}x}}} \right)} dx$$= 2\int {\cos xdx - 3\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} }$$= 2\sin x + 3\cot x + C$.

b) $\int {4{{\sin }^2}} \frac{x}{2}dx$$= 2\int {\left( {1 - \cos x} \right)} dx$$= 2\int {dx - 2\int {\cos xdx} }$$= 2x - 2\sin x + C$.

c) $\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}dx}$$= \int {\left( {1 - 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}} \right)dx}$$= \int {dx} - \int {\sin xd} x$$= x + \cos x + C$.

d) $\int {\left( {x + {{\tan }^2}x} \right)} dx$$= \int {xdx + \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx} }$$= \int {xdx + \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx - \int {dx} } }$

$= \frac{{{x^2}}}{2} + \tan x - x + C$.

Có $f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\left( {2x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx = {x^2}} - \frac{1}{x} + C$.

Vì f(1) = 1 nên 1 – 1 + C = 1 Þ C = 1.

Do đó $f\left( x \right) = {x^2} - \frac{1}{x} + 1$.

Vậy $f\left( 4 \right) = {4^2} - \frac{1}{4} + 1 = \frac{{67}}{4}$.

Vì hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M là k$_{M}$ = (x – 1)$^{2}$ nên ta có:

$f\left( x \right) = \int {{{\left( {x - 1} \right)}^2}} dx = \int {\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)dx}$$= \int {{x^2}dx - 2\int {xdx + \int {dx} } }$$= \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + x + C$.

Vì điểm M trùng với gốc tọa độ khi nó nằm trên trục tung nên f(0) = 0.

Do đó $f\left( 0 \right) = \frac{{{0^3}}}{3} - {0^2} + 0 + C = 0 \Rightarrow C = 0$.

Do đó $f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + x$.

Gọi S(t) là độ cao của viên đạn bắn lên từ mặt đất sau t giây kể từ thời điểm đạn được bắn lên.

Khi đó $S\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt = \int {\left( {160 - 9{,}8t} \right)dt = 160t - 4{,}9{t^2}} + C}$.

Vì S(0) = 0 nên 160.0 – 4,9.0 + C = 0 Þ C = 0.

Do đó S(t) = −4,9t$^{2}$ + 160 t.

a) Sau 5 giây độ cao của viên đạn là: S(5) = −4,9.5$^{2}$ + 160.5 = 677,5 (m).

b) Có S(t) = −4,9t$^{2}$ + 160 t

= $- \frac{1}{{10}}\left( {49{t^2} - 2.7t.\frac{{800}}{7} + \frac{{640000}}{{49}}} \right) + \frac{{64000}}{{49}}$

$- \frac{1}{{10}}{\left( {7t - \frac{{800}}{7}} \right)^2} + \frac{{64000}}{{49}} \le \frac{{64000}}{{49}}$.

Viên đạn đạt độ cao lớn nhất là $\frac{{64000}}{{49}} \approx 1306{,}1$ m khi $t = \frac{{800}}{{49}}$ giây.