Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán Sở GD&ĐT TP Hà Nội năm học 2025-2026 có đáp án

Dựa vào bảng tần số ghép nhóm đã cho, suy ra tần số của nhóm $\left[ {12;16} \right)$ là bằng $75$.

Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm $\left[ {12;16} \right)$ là: $\frac{{75}}{{300}}.100\% = 25\% .$

Do $8$ chiếc thẻ cùng loại, rút ngẫu nhiên $1$ thẻ trong hộp nên các kết quả xảy ra là đồng khả năng.

Ta có $8$ kết quả có thể xảy ra là: $1{,}2{,}3{,}4{,}5{,}6{,}7{,}8.$

Có $2$ kết quả thuận lợi của biến cố $A:$ “Số ghi trên thẻ rút được là một số chia hết cho 3” là: 3,6

Khi đó, xác suất của biến cố $A$ là: $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

1) Thay $x = 9$ (thỏa mãn điều kiện xác định) vào biểu thức $A$, ta được: $A = \frac{{\sqrt 9 + 2}}{{\sqrt 9 - 2}} = \frac{{3 + 2}}{{3 - 2}} = 5$.

Vậy với $x = 9$ thì biểu thức $A = 5$.

2) Với $x > 0;\,x \ne 4$, ta có:

$B = \frac{{x + \sqrt x - 4}}{{x - 2\sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{x + \sqrt x - 4}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}$

$B = \frac{{x + \sqrt x - 4 - \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{x - 4}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}$

Vậy $B = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}$ (điều phải chứng minh).

3) Với $x > 0;\,x \ne 4$, ta có: $\frac{A}{B} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}:\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}$

Để $\frac{A}{B} < \frac{1}{2}$ thì $\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} < \frac{1}{2}$ hay $\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - \frac{1}{2} < 0$ hay $\frac{{\sqrt x + 2}}{{2\left( {\sqrt x - 2} \right)}} < 0$

Mà $\sqrt x + 2 > 0$ với mọi $x$, suy ra: $2\left( {\sqrt x - 2} \right) < 0$

$$\begin{array}{l}\sqrt x < 2\\x < 4\end{array}$$

Kết hợp điều kiện $x > 0;\,x \ne 4$ suy ra $0 < x < 4$, mà $x$ là số nguyên lớn nhất, suy ra $x = 3$.

Gọi độ dài quãng đường ô tô đi từ Hà Nội đến Hải Phòng là $x$ (km, $x > 0$).

Thời gian ô tô đi từ Hà Nội về Hải Phòng là: $\frac{x}{{60}}$ (giờ).

Thời gian ô tô đi từ Hải Phòng về Hà Nội là: $\frac{x}{{40}}$ (giờ).

Vì thời gian ô tô đi từ Hà Nội đến Hải Phòng ít hơn thời gian ô tô đi từ Hải Phòng về Hà Nội là $1$ giờ, nên ta có phương trình:

$\frac{x}{{60}} + 1 = \frac{x}{{40}}$ hay $\frac{{2x}}{{120}} + \frac{{120}}{{120}} = \frac{{3x}}{{120}}$

Suy ra: $3x = 2x + 120$, suy ra $x = 120$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy độ dài quãng đường ô tô đi từ Hà Nội đến Hải Phòng là $120$ km.

Gọi giá tiền niêm yết của một chiếc ba lô và giá tiền niêm yết của một chiếc máy tính cầm tay lần lượt là $x,\,y$ (nghìn đồng, $0 < x,y < 885$).

Vì tổng giá tiền niêm yết của một chiếc ba lô và giá tiền niêm yết của một chiếc máy tính cầm tay là $885$ nghìn đồng, ta có phương trình: $x + y = 885$ (1).

Giá tiền của một chiếc ba lô sau khi giảm $20\%$ là: $x - 20\% .x = 0{,}8x$ (nghìn đồng).

Giá tiền của một chiếc máy tính cầm tay sau khi giảm $25\%$ là: $y - 25\% .y = 0{,}75y$ (nghìn đồng).

Khi đó, bạn Quốc phải trả $682$ nghìn đồng nên ta có phương trình: $0{,}8x + 0{,}75y = 682$ (2).

Từ (1) suy ra $y = 885 - x$, thế vào phương trình (2) ta được phương trình:

$0{,}8x + 0{,}75\left( {885 - x} \right) = 682$ hay $0{,}8x + 663{,}75 - 0{,}75x = 682$

Suy ra: $0{,}05x = 18{,}25$, suy ra: $x = 365$ (thỏa mãn điều kiện).

Với $x = 365$ thì $y = 885 - 365 = 520$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy giá tiền niêm yết của một chiếc ba lô và giá tiền niêm yết của một chiếc máy tính cầm tay lần lượt là $365$ nghìn đồng và $520$ nghìn đồng.