Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán Sở GD&ĐT TP Hà Nội năm học 2025-2026 có đáp án

Dựa vào bảng tần số ghép nhóm đã cho, suy ra tần số của nhóm $\left[ {12;16} \right)$ là bằng $75$.

Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm $\left[ {12;16} \right)$ là: $\frac{{75}}{{300}}.100\% = 25\% .$

Do $8$ chiếc thẻ cùng loại, rút ngẫu nhiên $1$ thẻ trong hộp nên các kết quả xảy ra là đồng khả năng.

Ta có $8$ kết quả có thể xảy ra là: $1{,}2{,}3{,}4{,}5{,}6{,}7{,}8.$

Có $2$ kết quả thuận lợi của biến cố $A:$ “Số ghi trên thẻ rút được là một số chia hết cho 3” là: 3,6

Khi đó, xác suất của biến cố $A$ là: $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

1) Thay $x = 9$ (thỏa mãn điều kiện xác định) vào biểu thức $A$, ta được: $A = \frac{{\sqrt 9 + 2}}{{\sqrt 9 - 2}} = \frac{{3 + 2}}{{3 - 2}} = 5$.

Vậy với $x = 9$ thì biểu thức $A = 5$.

2) Với $x > 0;\,x \ne 4$, ta có:

$B = \frac{{x + \sqrt x - 4}}{{x - 2\sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{x + \sqrt x - 4}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}$

$B = \frac{{x + \sqrt x - 4 - \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{x - 4}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}$

Vậy $B = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}$ (điều phải chứng minh).

3) Với $x > 0;\,x \ne 4$, ta có: $\frac{A}{B} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}:\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}$

Để $\frac{A}{B} < \frac{1}{2}$ thì $\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} < \frac{1}{2}$ hay $\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - \frac{1}{2} < 0$ hay $\frac{{\sqrt x + 2}}{{2\left( {\sqrt x - 2} \right)}} < 0$

Mà $\sqrt x + 2 > 0$ với mọi $x$, suy ra: $2\left( {\sqrt x - 2} \right) < 0$

$$\begin{array}{l}\sqrt x < 2\\x < 4\end{array}$$

Kết hợp điều kiện $x > 0;\,x \ne 4$ suy ra $0 < x < 4$, mà $x$ là số nguyên lớn nhất, suy ra $x = 3$.

Gọi độ dài quãng đường ô tô đi từ Hà Nội đến Hải Phòng là $x$ (km, $x > 0$).

Thời gian ô tô đi từ Hà Nội về Hải Phòng là: $\frac{x}{{60}}$ (giờ).

Thời gian ô tô đi từ Hải Phòng về Hà Nội là: $\frac{x}{{40}}$ (giờ).

Vì thời gian ô tô đi từ Hà Nội đến Hải Phòng ít hơn thời gian ô tô đi từ Hải Phòng về Hà Nội là $1$ giờ, nên ta có phương trình:

$\frac{x}{{60}} + 1 = \frac{x}{{40}}$ hay $\frac{{2x}}{{120}} + \frac{{120}}{{120}} = \frac{{3x}}{{120}}$

Suy ra: $3x = 2x + 120$, suy ra $x = 120$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy độ dài quãng đường ô tô đi từ Hà Nội đến Hải Phòng là $120$ km.

Gọi giá tiền niêm yết của một chiếc ba lô và giá tiền niêm yết của một chiếc máy tính cầm tay lần lượt là $x,\,y$ (nghìn đồng, $0 < x,y < 885$).

Vì tổng giá tiền niêm yết của một chiếc ba lô và giá tiền niêm yết của một chiếc máy tính cầm tay là $885$ nghìn đồng, ta có phương trình: $x + y = 885$ (1).

Giá tiền của một chiếc ba lô sau khi giảm $20\%$ là: $x - 20\% .x = 0{,}8x$ (nghìn đồng).

Giá tiền của một chiếc máy tính cầm tay sau khi giảm $25\%$ là: $y - 25\% .y = 0{,}75y$ (nghìn đồng).

Khi đó, bạn Quốc phải trả $682$ nghìn đồng nên ta có phương trình: $0{,}8x + 0{,}75y = 682$ (2).

Từ (1) suy ra $y = 885 - x$, thế vào phương trình (2) ta được phương trình:

$0{,}8x + 0{,}75\left( {885 - x} \right) = 682$ hay $0{,}8x + 663{,}75 - 0{,}75x = 682$

Suy ra: $0{,}05x = 18{,}25$, suy ra: $x = 365$ (thỏa mãn điều kiện).

Với $x = 365$ thì $y = 885 - 365 = 520$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy giá tiền niêm yết của một chiếc ba lô và giá tiền niêm yết của một chiếc máy tính cầm tay lần lượt là $365$ nghìn đồng và $520$ nghìn đồng.

Xét phương trình bậc hai ${x^2} + 8x - 6 = 0$ có $\Delta = {8^2} - 4.1.\left( { - 6} \right) = 88 > 0$, suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt ${x_1},\,{x_2}$.

Theo định lý Viète, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 8\\{x_1}{x_2} = - 6\end{array} \right.$.

Do ${x_1}{x_2} = - 6 \ne 0$ nên ${x_1} \ne 0;\,{x_2} \ne 0$

Ta có: $\frac{{70 - mx_1^2}}{{{x_2}}} = {x_1} + m{x_2}$.

Suy ra: $70 - mx_1^2 = {x_1}{x_2} + mx_2^2$ hay $m\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + {x_1}{x_2} - 70 = 0$

Suy ra: $m\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right] + {x_1}{x_2} - 70 = 0$ hay $m.\left[ {{{\left( { - 8} \right)}^2} - 2.\left( { - 6} \right)} \right] + \left( { - 6} \right) - 70 = 0$

Suy ra $76m = 76$ hay $m = 1$.

Vậy với $m = 1$ thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

a) Thùng nước dạng hình trụ có bán kính $R = 50$ cm và chiều cao $h = 150$ cm.

Diện tích xung quanh của thùng đựng nước đó là: ${S_{xq}} = 2\pi Rh \approx 2.3{,}14.50.150 = 47100\,\,\left( {c{m^2}} \right)$

b) Thể tích nước trong thùng mà gia đình bạn Khánh đã sử dụng là:

$\pi {R^2}.{h_1} \approx {3{,}14.50^2}.40 = 314000\,\,\left( {c{m^3}} \right)$.

Ta có hình vẽ của bài toán:

a) Vì $AD$ là đường cao của $\Delta ABC$ nên $AD \bot BC$ tại $D$, mà $E \in AD$

Suy ra: $\widehat {ADB} = \widehat {ADC} = \widehat {BDE} = \widehat {CDE} = 90^\circ .$

Có $EK \bot AB$ tại $K$ nên $\widehat {EKB} = \widehat {EKA} = 90^\circ .$

Ta có $\widehat {EDB} = 90^\circ$ nên $\Delta EDB$ vuông tại $D$, suy ra $\Delta EDB$ nội tiếp đường tròn đường kính $BE$

Suy ra ba điểm $D,B,E$ thuộc đường tròn đường kính $BE$. (1)

Ta có $\widehat {EKB} = 90^\circ \Rightarrow \Delta EKB$ vuông tại $K$, suy ra $\Delta EKB$ nội tiếp đường tròn đường kính $BE$

Suy ra ba điểm $K,B,E$ thuộc đường tròn đường kính $BE$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm $E,D,K,B$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BE$.

2) Vì bốn điểm $E,D,K,B$ cùng thuộc một đường tròn, nên tứ giác $BDEK$ là tứ giác nội tiếp

Suy ra $\widehat {KED} + \widehat {KBD} = 180^\circ$ (tính chất), mà $\widehat {ABC} + \widehat {KBD} = {180^{\rm{o}}}$ (hai góc kề bù) $\Rightarrow \widehat {KED} = \widehat {ABC}$

Mà $\widehat {AEC} = \widehat {ABC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn của $\left( O \right)$) nên $\widehat {KED} = \widehat {AEC}$.

Vậy $EA$ là tia phân giác của góc $CEK$

*) Kéo dài $AO$ cắt $\left( O \right)$ tại điểm $J \Rightarrow AJ$ là đường kính của $\left( O \right) \Rightarrow \widehat {ACJ} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét $\Delta ADB$ và $\Delta ACJ$ có:

$\widehat {ABD} = \widehat {ABC} = \widehat {AJC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn của $\left( O \right)$)

$\widehat {ADB} = \widehat {ACJ} = 90^\circ$

(hai góc tương ứng) $\Rightarrow \widehat {BAE} = \widehat {SAC}$.

Ta có: $\widehat {BEA} = \widehat {BCA}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn của $\left( O \right)$), hay $\widehat {BEA} = \widehat {SCA}$.

Xét $\Delta AEB$ và $\Delta ACS$ có

Suy ra: $\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AS}}$ (tỉ số đồng dạng) hay $AB.AC = AE.AS$ (điều phải chứng minh).

c) Vì $H$ là trực tâm của $\Delta ABC \Rightarrow BH \bot AC$ tại $V \Rightarrow \widehat {AVH} = 90^\circ .$

Xét $\Delta AVH$ và $\Delta ADC$ có

Mà $\widehat {BEA} = \widehat {ACB}$ và $\widehat {AHV} = \widehat {BHE}$ (hai góc đối đỉnh), suy ra $\widehat {BEA} = \widehat {BHE}$ hay $\widehat {BEH} = \widehat {BHE}$, khi đó $\Delta BHE$ cân tại $B$, có $BD$ là đường cao nên $BD$ cũng đồng thời là đường trung tuyến của $\Delta BHE \Rightarrow DH = DE = \frac{{HE}}{2}$.

Xét $\Delta ABS$ và $\Delta AEC$ có

Có tứ giác $BDEK$ nội tiếp nên $\widehat {EKD} = \widehat {EBD}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn hay $\widehat {EKD} = \widehat {EBC}\,)$

Lại có $\widehat {EBC} = \widehat {EAC}$, suy ra $\widehat {EKD} = \widehat {BAS}$.

Xét $\Delta ABS$ và $\Delta KED$ có:

Xét $\Delta BIS$ và $\Delta EKH$ có: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{BI}}{{BS}} = \frac{{EK}}{{EH}}\\\widehat {IBS} = \widehat {KEH}\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {BIS} = \widehat {EKH}$ (hai góc tương ứng).

Gọi $U$ là giao điểm của $KH$ và $IS$.

Ta có: $\widehat {BIS} + \widehat {IKH} = \widehat {EKH} + \widehat {IKH} = \widehat {EKA} = 90^\circ$ hay $\widehat {KIU} + \widehat {IKU} = 90^\circ$.

Xét $\Delta IKU$ có $\widehat {KIU} + \widehat {IKU} + \widehat {IUK} = 180^\circ$ (định lý tổng ba góc trong một tam giác).

$\Rightarrow \widehat {IUK} = 180^\circ - \left( {\widehat {KIU} + \widehat {IKU}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \Rightarrow IS \bot KH$ (điểu phải chứng minh).

Gọi số xe mà công ty cần bổ sung là $x$ (xe, $x \in \mathbb{N}$).

Lợi nhuận trung bình của mỗi xe sau khi bổ sung thêm $x$ xe là: $1000 - 2x$ (nghìn đồng).

Số xe của đội xe sau khi bổ sung thêm $x$ xe là: $35 + x$ (xe).

Tổng lợi nhuận mà đội xe thu được là: $L\left( x \right) = \left( {35 + x} \right)\left( {1000 - x} \right)$ (nghìn đồng)

Có: $L\left( x \right) = \left( {35 + x} \right)\left( {1000 - 20x} \right) = - 20{x^2} + 300x + 35000 = - 5{\left( {2x - 15} \right)^2} + 36125$

Do $x \in \mathbb{N} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 15 \ne 0\\{\left( {2x - 15} \right)^2} \ge 0\end{array} \right.$ nên ${\left( {2x - 15} \right)^2} \ge 1$, suy ra $- 5{\left( {2x - 15} \right)^2} \le - 5$

Khi đó: $L\left( x \right) \le 36120$

Dấu “=” xảy ra khi ${\left( {2x - 15} \right)^2} = 1$, suy ra $\left[ \begin{array}{l}2x - 15 = 1\\2x - 15 = - 1\end{array} \right.$ hay $\left[ \begin{array}{l}x = 7\\x = 8\end{array} \right.$ (thỏa mãn).

Vậy công ty nên bổ sung thêm 7 xe chở hàng cùng loại để lợi nhuận trung bình mỗi ngày là lớn nhất.