Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2026 THPT Chuyên Sơn Tây (Hà Nội) lần 1 có đáp án

Tần số của nhóm $\left[ {6;\,\,8} \right)$ là: $18$

Tần số tương đối của nhóm $\left[ {6;\,\,8} \right)$ là $\frac{{18}}{{40}}\, \cdot \,100\% = 45\%$

Gọi $\Omega$ là không gian mẫu của phép thử lấy ngẫu nhiên 1 quả bi-a từ trong hộp

Không gian mẫu là:$Ω=$ $\{1\ ;\ 2;3\ ;\ 4;\ 5;\ 6;\ 7;\ 8;\ 9;\ 10;\ 11\ ;\ 12\ ;\ 13\ ;\ 14\ ;\ 15\}$

Số phần tử của không gian mẫu là: $n\left( \Omega \right) = 15$

Các số nguyên tố trong khoảng từ $1$ đến $15$ là: $2\,;\,3\,;\,5\,;\,7\,;\,11\,;\,13\,$

Tập hợp kết quả thuận lợi cho biến cố $M$ là: $\left\{ {\,2;3\,;\,5\,;\,7\,;\,11\,;\,13\,} \right\}$

Số phần tử của biến cố $M$ là $n\left( M \right) = 6\,$

Xác suất của biến cố $M$: $P\left( M \right) = \frac{{n\left( M \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{6}{{15}} = \frac{2}{5}$

1) Khi $x = 25$ (TMĐK), giá trị của biểu thức $A$ là: $A = \frac{4}{{\sqrt {25} - 1}}$ $= \frac{4}{{5 - 1}}$ $= 1$.

Vậy $A = 1$ khi $x = 25$.

2) $B = \frac{2}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{2\sqrt x - 6}}{{1 - x}}$$= \frac{2}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{2\sqrt x - 6}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$$= \frac{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{2\sqrt x - 6}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$= \frac{{4\sqrt x - 4}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$$= \frac{{4\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$$= \frac{4}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

Vậy $B = \frac{4}{{\sqrt x + 1}}$

3) $H = A:B$$= \frac{4}{{\sqrt x - 1}}:\frac{4}{{\sqrt x + 1}}$$= \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}$

Xét hiệu ${H^2} - H = H\left( {H - 1} \right)$

• Xét $H - 1 = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} - 1$$= \frac{2}{{\sqrt x - 1}}$

• Xét $H.\left( {H - 1} \right) = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} \cdot \frac{2}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}$

Vì $x \ge 0,x \ne 1$ nên $\frac{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}} > 0$ với mọi $x$.

Suy ra $H.\left( {H - 1} \right) > 0$ nên ${H^2} - H > 0$do đó ${H^2} > H$

Vậy ${H^2} > H$.

Gọi số tiền gửi tiết kiệm và mua vàng lần lượt là $x$ và $y$ ( $x,y > 0$, triệu đồng)

Bác Huy gửi tổng 250 triệu đồng nên ta có phương trình: $x + y = 250$ (1)

Vì gửi ngân hàng với lãi suất 5%/năm, lãi mua vàng là 7%/năm, tổng lãi hai loại là 15 triệu đồng ta có phương trình:

$5\% x + 7\% y = 15$ hay $0{,}05x + 0{,}07y = 15$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 250\\0{,}05x + 0{,}07y = 15\end{array} \right.$.

Giải hệ phương trình, ta được: $\left\{ \begin{array}{l}x = 125\\y = 125\end{array} \right.$ (TMĐK).

Vậy bác đã gửi tiết kiệm và mua vàng lần lượt số tiền là $125$ và $125$ triệu đồng.

Gọi số sản phẩm mỗi ngày làm được theo dự định là $x$ ($x \in \mathbb{N}$, sản phẩm)

Theo kế hoạch tổ phải sản xuất được 1800 sản phẩm nên số ngày dự định là $\frac{{1800}}{x}$ (ngày)

Mỗi ngày làm chậm hơn 20 sản phẩm nên số sản phẩm mỗi ngày theo thực tế là : $x - 20$ (sản phẩm)

Thực tế đã làm số ngày là $\frac{{1800}}{{x - 20}}$ (ngày)

Tổ hoàn thành sau dự định 3 ngày nên ta có phương trình:

$\frac{{1800}}{{x - 20}} - \frac{{1800}}{x} = 3$

$\frac{{1800x}}{{\left( {x - 20} \right)x}} - \frac{{1800\left( {x - 20} \right)}}{{x\left( {x - 20} \right)}} = \frac{{3x\left( {x - 20} \right)}}{{x\left( {x - 20} \right)}}$

$1800x - 1800x + 36000 = 3{x^2} - 60x$

$3{x^2} - 60x - 36000 = 0$

$x = 120\,\,\left( {tm} \right)$ hoặc $x = - 100\,\,\left( {ktm} \right)$

Vậy dự định mỗi ngày tổ làm được 120 sản phẩm.