Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2026 THPT Chuyên Sơn Tây (Hà Nội) lần 1 có đáp án

Tần số của nhóm $\left[ {6;\,\,8} \right)$ là: $18$

Tần số tương đối của nhóm $\left[ {6;\,\,8} \right)$ là $\frac{{18}}{{40}}\, \cdot \,100\% = 45\%$

Gọi $\Omega$ là không gian mẫu của phép thử lấy ngẫu nhiên 1 quả bi-a từ trong hộp

Không gian mẫu là:$Ω=$ $\{1\ ;\ 2;3\ ;\ 4;\ 5;\ 6;\ 7;\ 8;\ 9;\ 10;\ 11\ ;\ 12\ ;\ 13\ ;\ 14\ ;\ 15\}$

Số phần tử của không gian mẫu là: $n\left( \Omega \right) = 15$

Các số nguyên tố trong khoảng từ $1$ đến $15$ là: $2\,;\,3\,;\,5\,;\,7\,;\,11\,;\,13\,$

Tập hợp kết quả thuận lợi cho biến cố $M$ là: $\left\{ {\,2;3\,;\,5\,;\,7\,;\,11\,;\,13\,} \right\}$

Số phần tử của biến cố $M$ là $n\left( M \right) = 6\,$

Xác suất của biến cố $M$: $P\left( M \right) = \frac{{n\left( M \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{6}{{15}} = \frac{2}{5}$

1) Khi $x = 25$ (TMĐK), giá trị của biểu thức $A$ là: $A = \frac{4}{{\sqrt {25} - 1}}$ $= \frac{4}{{5 - 1}}$ $= 1$.

Vậy $A = 1$ khi $x = 25$.

2) $B = \frac{2}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{2\sqrt x - 6}}{{1 - x}}$$= \frac{2}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{2\sqrt x - 6}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$$= \frac{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{2\sqrt x - 6}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$= \frac{{4\sqrt x - 4}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$$= \frac{{4\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$$= \frac{4}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

Vậy $B = \frac{4}{{\sqrt x + 1}}$

3) $H = A:B$$= \frac{4}{{\sqrt x - 1}}:\frac{4}{{\sqrt x + 1}}$$= \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}$

Xét hiệu ${H^2} - H = H\left( {H - 1} \right)$

• Xét $H - 1 = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} - 1$$= \frac{2}{{\sqrt x - 1}}$

• Xét $H.\left( {H - 1} \right) = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} \cdot \frac{2}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}$

Vì $x \ge 0,x \ne 1$ nên $\frac{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}} > 0$ với mọi $x$.

Suy ra $H.\left( {H - 1} \right) > 0$ nên ${H^2} - H > 0$do đó ${H^2} > H$

Vậy ${H^2} > H$.

Gọi số tiền gửi tiết kiệm và mua vàng lần lượt là $x$ và $y$ ( $x,y > 0$, triệu đồng)

Bác Huy gửi tổng 250 triệu đồng nên ta có phương trình: $x + y = 250$ (1)

Vì gửi ngân hàng với lãi suất 5%/năm, lãi mua vàng là 7%/năm, tổng lãi hai loại là 15 triệu đồng ta có phương trình:

$5\% x + 7\% y = 15$ hay $0{,}05x + 0{,}07y = 15$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 250\\0{,}05x + 0{,}07y = 15\end{array} \right.$.

Giải hệ phương trình, ta được: $\left\{ \begin{array}{l}x = 125\\y = 125\end{array} \right.$ (TMĐK).

Vậy bác đã gửi tiết kiệm và mua vàng lần lượt số tiền là $125$ và $125$ triệu đồng.

Gọi số sản phẩm mỗi ngày làm được theo dự định là $x$ ($x \in \mathbb{N}$, sản phẩm)

Theo kế hoạch tổ phải sản xuất được 1800 sản phẩm nên số ngày dự định là $\frac{{1800}}{x}$ (ngày)

Mỗi ngày làm chậm hơn 20 sản phẩm nên số sản phẩm mỗi ngày theo thực tế là : $x - 20$ (sản phẩm)

Thực tế đã làm số ngày là $\frac{{1800}}{{x - 20}}$ (ngày)

Tổ hoàn thành sau dự định 3 ngày nên ta có phương trình:

$\frac{{1800}}{{x - 20}} - \frac{{1800}}{x} = 3$

$\frac{{1800x}}{{\left( {x - 20} \right)x}} - \frac{{1800\left( {x - 20} \right)}}{{x\left( {x - 20} \right)}} = \frac{{3x\left( {x - 20} \right)}}{{x\left( {x - 20} \right)}}$

$1800x - 1800x + 36000 = 3{x^2} - 60x$

$3{x^2} - 60x - 36000 = 0$

$x = 120\,\,\left( {tm} \right)$ hoặc $x = - 100\,\,\left( {ktm} \right)$

Vậy dự định mỗi ngày tổ làm được 120 sản phẩm.

Xét phương trình $- {x^2} - bx + 1 = 0$

Vì $x = \frac{{1 - \sqrt 3 }}{2}$ là nghiệm của phương trình nên ta có :

$- {\left( {\frac{{1 - \sqrt 3 }}{2}} \right)^2} - b.\frac{{1 - \sqrt 3 }}{2} + 1 = 0$

$- 2 + \sqrt 3 - b.\frac{{1 - \sqrt 3 }}{2} + 1 = 0$

$b.\frac{{1 - \sqrt 3 }}{2} = - 1 + \sqrt 3$

$b = - 2$

Khi $b = - 2$, phương trình có dạng $- {x^2} + 2x + 1 = 0$

Xét $\Delta = 8 > 0$

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt thoả mãn hệ thức Viet $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}.{x_2} = - 1\end{array} \right.$

Vì ${x_1}.{x_2} = - 1$ nên ${x_1} \ne 0$; ${x_2} \ne 0$

Tổng nghịch đảo của hai nghiệm là $\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}.{x_2}}} = - 2$.

a) Ta có bán kính đáy hình trụ là $R = 6:2 = 3\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$

Khi đó thể tích nước trọng ly là $V = \pi .{R^2}.h = {3{,}14.3^2}.15 = 423{,}9\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)$

b) Mỗi quả cầu có bán kính $r = 1\,{\rm{cm}}$. Khi đó thể tích $5$ quả cầu là:

$$V' = 5.\frac{4}{3}.\pi .{r^3} = 5.\frac{4}{3}{.3{,}14.1^3} \approx 20{,}9\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)$$

Vậy thể tích nước còn lại trong ly là: $V - V' = 423{,}9 - 20{,}9 = 403\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)$.

a) Chứng minh bốn điểm $A,I,B,H$ cùng nằm trên một đường tròn.

Xét $\Delta AOI$ vuông tại $A$ (Vì $IA$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$) nên ba điểm $O,A,I$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $OI$ $\left( 1 \right)$

Tương tự, $\Delta OBI$ vuông tại $B$ nên ba điểm $O,B,I$ nằm trên đường tròn đường kính $OI$ $\left( 2 \right)$

Ta có $OM = ON = R$ nên tam giác $OMN$ cân tại $M$, lại có $H$ là trung điểm $MN$ nên $\widehat {OHN} = 90^\circ$.

Do đó tam giác $OHI$ vuông tại $H$.

Nên ba điểm $O,H,I$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $OI$ $\left( 3 \right)$

Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)$ suy ra bốn điểm $A,I,B,H$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $OI$.

b) Chứng minh $J$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $IAB$.

Ta có: $OB = OA = R$, $IB = IA$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên $IO$ là đường trung trực của $AB$ và $IO$ cũng là tia phân giác của $\widehat {AIB}$ $\left( 4 \right)$

$\widehat {OAI} = 90^\circ$ (vì $IA$ là tiếp tuyến đường tròn $\left( O \right)$ nên $\widehat {IAJ} + \widehat {JAO} = 90^\circ$).

Tam giác $OAJ$ cân tại $O$ $\left( {OA = OJ = R} \right)$ nên $\widehat {JAO} = \widehat {OJA}$.

Mà $\widehat {OJA} + \widehat {JAB} = 90^\circ$ ($IO$ là đường trung trực của $AB$ nên $IO$ vuông góc với $AB$).

Suy ra $\widehat {IAJ} = \widehat {JAB}$, hay $AJ$ là tia phân giác của góc $\widehat {JAB}$ $\left( 5 \right)$

Từ $\left( 4 \right)$ và $\left( 5 \right)$ nên $J$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $IAB$.

c) Chứng minh $MN\parallel BD$.

Ta có $\widehat {BDA} = \frac{1}{2}\widehat {AOB}$ (tính chất góc nội tiếp) mà $OI$ là tia phân giác của góc $\widehat {AOB}$ nên $\widehat {IOA} = \frac{1}{2}\widehat {AOB}$.

Ta chứng minh được bốn điểm $O\,,\,H\,,\,A\,,\,I$ nằm trên đường tròn đường kính $OI$. Nên $\widehat {IOA} = \widehat {IHA}$ (hai góc cùng nội tiếp đường tròn đường kính $OI$ và cùng chắn cung $AI$).

Vậy $\widehat {BDA} = \widehat {IHA}$ mà hai góc ở vị trí đồng vị nên $MN\parallel BD$.

* Khi $J$ vừa là tâm đường tròn nội tiếp vừa là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $IAB$ thì tam giác $IAB$ là tam giác đều nên $OI = 2R$, $IB = IA = AB = R\sqrt 3$.

Dựng $MQ$ vuông góc với $IB$ tại $Q$.

${S_{MID}} = {S_{MIB}} = \frac{1}{2}.IB.MQ$.

Mà $MQ \le BP$ (với $BP$ là đường kính đường tròn tâm $O$).

Suy ra ${S_{\Delta MID}} = {S_{\Delta MIB}} \le \frac{1}{2}.IB.BP = \frac{1}{2}.R\sqrt 3 .2R = \sqrt 3 {R^2}$ (đvdt).

Vậy diện tích lớn nhất tam giác $MID$ đạt được là $\sqrt 3 {R^2}$ đvdt.

Gọi số lần giảm giá chụp $20$ nghìn đồng là $x$ (lần) $\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)$

Giá chụp sau khi giảm $x$ lần là $800 - 20x$ (nghìn đồng)

Số lượng HS đăng ký sau khi giảm giá $x$ lần là $40 + 4x$ (HS)

Tổng số tiền thu được sau khi giảm giá $x$ lần là $\left( {800 - 20x} \right)\left( {40 + 4x} \right)$ (nghìn đồng)

Ta có $\left( {800 - 20x} \right)\left( {40 + 4x} \right)$$= 32\,\,000 + 2\,\,400x - 80{x^2}$

$= - 80\left( {{x^2} - 30x - 400} \right)$$= - 80\left( {{x^2} - 2.x.15 + {{15}^2} - {{15}^2} - 400} \right)$

$= - 80{\left( {x - 15} \right)^2} + 500\,000$.

Mà ${\left( {x - 15} \right)^2} \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{N}*$ nên $\Rightarrow - 80{\left( {x - 15} \right)^2} + 500\,000 \le 500\,000$.

Dấu $'' = ''$ xảy ra khi và chỉ khi $x = 15$

Do đó, giá chụp ảnh để doanh thu từ tiền bán chụp ảnh lớn nhất là $800 - 20.15 = 500$ nghìn đồng.

Doanh thu lớn nhất là $\left( {800 - 20.15} \right)\left( {40 + 4.15} \right)$$= 50\,000$ nghìn đồng.

Vậy nhóm chụp ảnh sẽ đưa mức thu mỗi học sinh là 500 nghìn đồng để có doanh thu lớn nhất là 50 triệu đồng.