Đề thi thử TS vào 10 (Tháng 2) năm học 2025 - 2026_Môn Toán_THCS Nguyễn Trường Tộ_Quận Đống Đa_TP. Hà Nội

Thay $x = 9$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A,$ ta được: $A = \frac{{3\sqrt 9 }}{{\sqrt 9 + 2}} = \frac{{3 \cdot 3}}{{3 + 2}} = \frac{9}{5}.$

Vậy khi $x = 9$ thì $A = \frac{9}{5}$.

Với $x \ge 0,\,\,x \ne 4$ ta có:

$B = \frac{{x + 4}}{{x - 4}} - \frac{2}{{\sqrt x - 2}}$$= \frac{{x + 4}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{{2\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$

$$= \frac{{x + 4 - 2\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{x + 4 - 2\sqrt x - 4}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$$

$$= \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}.$$

Vậy với $x \ge 0,\,\,x \ne 4$ thì $B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}.$

Với $x \ge 0,\,\,x \ne 4$ ta có:

$$A - B = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}.$$

Theo bài, $A - B < \frac{5}{4}$

Suy ra $\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} < \frac{5}{4}$

$$\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} - \frac{5}{4} < 0$$

$$\frac{{8\sqrt x }}{{4\left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \frac{{5\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{4\left( {\sqrt x + 2} \right)}} < 0$$

$$\frac{{8\sqrt x - 5\sqrt x - 10}}{{4\left( {\sqrt x + 2} \right)}} < 0$$

$\frac{{3\sqrt x - 10}}{{4\left( {\sqrt x + 2} \right)}} < 0$ (*)

Với mọi $x \ge 0,\,\,x \ne 4$ ta có: $\sqrt x \ge 0$ nên $\sqrt x + 2 > 0$ nên từ bất phương trình (*) suy ra:

$$3\sqrt x - 10 < 0$$

$$3\sqrt x < 10$$

$$\sqrt x < \frac{{10}}{3}$$

$x < \frac{{100}}{9}$.

Kết hợp điều kiện xác định $x \ge 0,\,\,x \ne 4$ ta có $0 \le x < \frac{{100}}{9},\,\,x \ne 4.$

Mà $x$ là số nguyên dương lớn nhất nên $x = 11$.

Vậy $x = 11$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Gọi khối lượng thóc thu hoạch được năm ngoái của đơn vị thứ nhất và thứ hai sản xuất được lần lượt là $x,y$ (tấn thóc, $0 < x,\,\,y < 600).$

Do năm ngoái hai đơn vị thu hoạch được $600$ tấn thóc nên ta có phương trình: $x + y = 600.\,\,\left( 1 \right)$

Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức $10{\rm{\% }}$ so với năm ngoái nên khối lượng thóc thu hoạch được là $\left( {100\% + 10\% } \right)x = 110\% x = 1{,}1x$ (tấn thóc).

Năm nay, đơn vị thứ hai làm vượt mức $20{\rm{\% }}$ so với năm ngoái nên khối lượng thóc thu hoạch được là $\left( {100\% + 20\% } \right)y = 120\% y = 1{,}2y$ (tấn thóc).

Năm nay cả hai đơn vị thu hoạch được $685$ tấn thóc nên ta có phương trình: $1{,}1x + 1{,}2y = 685$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 600\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\1{,}1x + 1{,}2y = 685\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Nhân hai vế của phương trình (1) với $1{,}2$ ta được hệ phương trình mới $\left\{ \begin{array}{l}1{,}2x + 1{,}2y = 720\,\,\,\,\left( 3 \right)\\1{,}1x + 1{,}2y = 685\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Trừ từng vế của phương trình (3) cho phương trình (2), ta được:

$0{,}1x = 35$ suy ra $x = 350$ (thỏa mãn).

Thay $x = 350$ vào phương trình (1) ta được $350 + y = 600,$ suy ra $y = 250$ (thỏa mãn).

Vậy, năm ngoái, đơn vị thứ nhất thu hoạch được $350$ tấn thóc; đơn vị thứ hai thu hoạch được $250$ tấn thóc.

Đổi 12 phút $= \frac{1}{5}$ giờ.

Gọi quãng đường $AB$ là $x$ $(x > 0,$ km).

Thời gian dự định đi hết quãng đường $AB$ là $\frac{x}{{50}}$ (giờ).

Thời gian đi hết quãng đường 40 km là: $\frac{{40}}{{50}} = \frac{4}{5}$ (giờ).

Quãng đường còn lại là $x - 40$ (km) và vận tốc di chuyển trên quãng đường đó là $50 + 10 = 60$ (km/h).

Thời gian xe tải di chuyển trên quãng đường còn lại là $\frac{{x - 40}}{{60}}$ (giờ).

Do xe tải đến $B$ đúng dự định nên ta có phương trình: $\frac{4}{5} + \frac{1}{5} + \frac{{x - 40}}{{60}} = \frac{x}{{50}}.$

Giải phương trình:

$\frac{4}{5} + \frac{1}{5} + \frac{{x - 40}}{{60}} = \frac{x}{{50}}$

$\frac{{x - 40}}{{60}} - \frac{x}{{50}} + 1 = 0$

$\frac{{5\left( {x - 40} \right)}}{{300}} - \frac{{6x}}{{300}} + \frac{{300}}{{300}} = 0$

$5\left( {x - 40} \right) - 6x + 300 = 0$

$5x - 200 - 6x + 300 = 0$

$- x + 100 = 0$

$x = 100$ (thỏa mãn).

Vậy quãng đường $AB$ dài $100$ km.