Đề thi thử TS vào 10 (Lần 1 - Tháng 3) năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Phòng GD&ĐT Quận Đống Đa_TP. Hà Nội

Thay $x = 25$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A,$ ta được:

$A = \frac{7}{{\sqrt {25} + 8}} = \frac{7}{{5 + 8}} = \frac{7}{{13}}.$

Vậy khi $x = 25$ thì $A = \frac{7}{{13}}.$

Với $x \ge 0,\,\,x \ne 9,$ ta có:

$B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{2\sqrt x - 24}}{{x - 9}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} + \frac{{2\sqrt x - 24}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$

$= \frac{{x + 3\sqrt x + 2\sqrt x - 24}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$$= \frac{{x + 5\sqrt x - 24}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$

$$= \frac{{x - 3\sqrt x + 8\sqrt x - 24}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right) + 8\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$$

$$= \frac{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 8} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}}.$$

Vậy với $x \ge 0,\,\,x \ne 9$ thì $B = \frac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}}.$

Với $x \ge 0,\,\,x \ne 9,$ ta có: $P = AB = \frac{7}{{\sqrt x + 8}} \cdot \frac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}} = \frac{7}{{\sqrt x + 3}}.$

Với $x \ge 0,\,\,x \ne 9,$ ta có: $\sqrt x \ge 0,$ suy ra $\sqrt x + 3 \ge 3$ nên $\frac{7}{{\sqrt x + 3}} \le \frac{7}{3}$ hay $P \le \frac{7}{3}.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x = 0$ (thỏa mãn).

Vậy biểu thức $P$ đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{7}{3}$ khi $x = 0.$

Gọi $x,\,\,y$ lần lượt là số ngày mà người thứ nhất, người thứ hai hoàn thành công việc khi làm một mình $\left( {x > 0,\,\,y > 0} \right).$

Trong một ngày, người thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ (công việc), người thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ (công việc).

Hai người cùng làm trong 12 ngày thì xong công việc nên trong một ngày, cả hai người làm được $\frac{1}{{12}}$ công việc. Khi đó, ta có phương trình: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}.\,\,\,\left( 1 \right)$

Hai người cùng nhau làm trong 4 ngày thì được $4 \cdot \frac{1}{{12}} = \frac{1}{3}$ (công việc).

Người thứ hai làm một mình trong 14 ngày được $14 \cdot \frac{1}{y} = \frac{{14}}{y}$ (công việc).

Theo bài, hai người làm cùng nhau trong 4 ngày thì người thứ nhất được chuyển đi làm công việc khác, người thứ hai làm một mình trong 14 ngày nữa mới xong nên ta có phương trình: $\frac{1}{3} + \frac{{14}}{y} = 1$ hay $\frac{{14}}{y} = \frac{2}{3}.\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}\,\,\,\left( 1 \right)\\\frac{{14}}{y} = \frac{2}{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Từ phương trình (2) suy ra $y = \frac{{14 \cdot 3}}{2} = 21$ (thỏa mãn).

Thay $y = 21$ vào phương trình (1), ta được:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{{21}} = \frac{1}{{12}},$ suy ra $\frac{1}{x} = \frac{1}{{28}}$ nên $x = 28$ (thỏa mãn).

Vậy nếu làm riêng, để làm xong công việc thì người thứ nhất làm trong $28$ ngày và người thứ hai làm trong $21$ ngày.

Xét phương trình ${x^2} - 3x + 2m = 0$ có $\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot 2m = 9 - 8m.$

Để phương trình trên có 2 nghiệm ${x_1},\,\,{x_2}$ thì $\Delta > 0,$ tức là $9 - 8m > 0$ hay $m < \frac{9}{8}.$

Theo định lí Viète, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3\\{x_1}{x_2} = 2m.\end{array} \right.$

Theo bài, $x_1^2 + x_2^2 = 5$

$x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} = 5$

${\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 5$

${3^2} - 2 \cdot 2m = 5$

$9 - 4m = 5$

$4m = 4$

$m = 1$ (thỏa mãn $m < \frac{9}{8}).$

Vậy $m = 1$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.