Đề thi thử TS vào 10 (Tháng 3) năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Phòng GD&ĐT Huyện Tiền Hải_Tỉnh Thái Bình

1) Với $a \ge 0,\,\,a \ne 9,$ ta có:

$P = \frac{{2\sqrt a }}{{\sqrt a + 3}} + \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a - 3}} + \frac{{ - 3 - 7\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 3} \right)}}$

$$= \frac{{2\sqrt a \cdot \left( {\sqrt a - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 3} \right)}} + \frac{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 3} \right)}} + \frac{{ - 3 - 7\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 3} \right)}}$$

$$= \frac{{2a - 6\sqrt a + a + 3\sqrt a + \sqrt a + 3 - 3 - 7\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 3} \right)}}$$

$= \frac{{3a - 9\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 3} \right)}} = \frac{{3\sqrt a \left( {\sqrt a - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 3} \right)}} = \frac{{3\sqrt a }}{{\sqrt a + 3}}.$

Vậy với $a \ge 0,\,\,a \ne 9$ thì $P = \frac{{3\sqrt a }}{{\sqrt a + 3}}.$

Với $a \ge 0,\,\,a \ne 9,$ ta có: $P = \frac{{3\sqrt a }}{{\sqrt a + 3}} = \frac{{3\left( {\sqrt a + 3} \right) - 9}}{{\sqrt a + 3}} = 3 - \frac{9}{{\sqrt a + 3}}.$

Vì $a \ge 0$ nên $\sqrt a \ge 0,\,\,3\sqrt a \ge 0$ và $\sqrt a + 3 \ge 3 > 0,$ suy ra $\frac{{3\sqrt a }}{{\sqrt a + 3}} \ge 0$ nên $P \ge 0.$ (1)

Ta có $- \frac{9}{{\sqrt a + 3}} < 0$ nên $3 - \frac{9}{{\sqrt a + 3}} < 3$ suy ra $P < 3.$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $0 \le P < 3.$

Mà $P$ có giá trị nguyên suy ra $P \in \left\{ {0;\,\,1;\,\,2} \right\}.$

⦁ $P = 0$ tức là $3 - \frac{9}{{\sqrt a + 3}} = 0$ suy ra $\frac{9}{{\sqrt a + 3}} = 3,$ do đó $\sqrt a + 3 = 3,$ nên $a = 0;$

⦁ $P = 1$ tức là $3 - \frac{9}{{\sqrt a + 3}} = 1$ suy ra $\frac{9}{{\sqrt a + 3}} = 2,$ do đó $\sqrt a + 3 = \frac{9}{2}$ nên $a = \frac{9}{4};$

⦁ $P = 2$ tức là $3 - \frac{9}{{\sqrt a + 3}} = 2$ suy ra $\frac{9}{{\sqrt a + 3}} = 1,$ do đó $\sqrt a + 3 = 9$ nên $a = 36.$

Kết hợp điều kiện xác định $a \ge 0,\,\,a \ne 9$ suy ra $a = \left\{ {0;\,\,\frac{9}{4};\,\,36} \right\}.$

Xét hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{5x + y = 11}\\{2x + 3y = 7}\end{array}} \right.$

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3, ta được hệ $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{15x + 3y = 33}\\{2x + 3y = 7}\end{array}} \right..$

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ mới, ta được:

$13x = 26,$ suy ra $x = 2.$

Thay $x = 2$ vào phương trình $5x + y = 11,$ ta được:

$5 \cdot 2 + y = 11,$ suy ra $y = 1$.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {2;\,\,1} \right).$

Không gian mẫu của phép thử là: $\Omega = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\, \ldots ;\,\,40} \right\}.$ Không gian mẫu có 40 phần tử.

Gọi $A$ là biến cố lấy được thẻ ghi số chia hết cho 6.

Có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là $6;\,\,12;\,\,18;\,\,24;\,\,30;\,\,36.$

Vậy xác suất biến cố $A$ là: $P\left( A \right) = \frac{6}{{40}} = 0{,}15.$

a) Thay $m = 1$ vào phương trình (*), ta được:

${x^2} - \left( {1 + 5} \right)x + 3 \cdot 1 + 6 = 0$

${x^2} - 6x + 9 = 0$

${\left( {x - 3} \right)^2} = 0$

$x - 3 = 0$

$x = 3.$

Vậy với $m = 1$ thì phương trình (*) có nghiệm $x = 3.$

b) Xét phương trình ${x^2} - \left( {m + 5} \right)x + 3m + 6 = 0$ (*) có $a = 1 \ne 0;\,\,b = - \left( {m + 5} \right);\,\,c = 3m + 6.$

Ta có$\Delta = {b^2} - 4ac = {\left[ { - \left( {m + 5} \right)} \right]^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( {3m + 6} \right)$

$= {m^2} + 10m + 25 - 12m - 24$$= {m^2} - 2m + 1 = {\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0$ với mọi $m.$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $\Delta > 0,$ tức là ${\left( {m - 1} \right)^2} > 0,$ suy ra ${\left( {m - 1} \right)^2} \ne 0$ hay $m - 1 \ne 0$ nên $m \ne 1$.

Áp dụng định lí Viète ta có $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_1} + {x_2} = m + 5}\\{{x_1}{x_2} = 3m + 6}\end{array}} \right..$

Vì ${x_1},\,\,{x_2}$ là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông nên ${x_1} > 0,\,\,{x_2} > 0.$ Suy ra ${x_1} + {x_2} > 0$ và ${x_1}{x_2} > 0.$

Khi đó, ta có $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{m + 5 > 0}\\{3m + 6 > 0}\end{array}} \right.$ hay $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{m > - 5}\\{m > - 2}\end{array}} \right.$ nên $m > - 2.$

Vì ${x_1},\,\,{x_2}$ là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền 5 nên ta áp dụng định lí Pythagore, có:

$x_1^2 + x_2^2 = {5^2}$

$x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} = 25$

${\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 25$

${\left( {m + 5} \right)^2} - 2\left( {3m + 6} \right) = 25$

${m^2} + 10m + 25 - 6m - 12 = 25$

${m^2} + 4m - 12 = 0$

${m^2} + 6m - 2m - 12 = 0$

$m\left( {m + 6} \right) - 2\left( {m + 6} \right) = 0$

$\left( {m + 6} \right)\left( {m - 2} \right) = 0$

$m + 6 = 0$ hoặc $m - 2 = 0$

$m = - 6$ hoặc $m = 2.$

Kết hợp điều kiện $m > - 2$ suy ra $m = 2.$

Vậy $m = 2$ thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt ${x_1},\,\,{x_2}$ là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền 5.