Đề thi thử TS vào 10 (Tháng 2) năm học 2025 - 2026_Môn Toán_THCS Nguyễn Trường Tộ_Quận Đống Đa_TP. Hà Nội

Thay $x = 9$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A,$ ta được: $A = \frac{{3\sqrt 9 }}{{\sqrt 9 + 2}} = \frac{{3 \cdot 3}}{{3 + 2}} = \frac{9}{5}.$

Vậy khi $x = 9$ thì $A = \frac{9}{5}$.

Với $x \ge 0,\,\,x \ne 4$ ta có:

$B = \frac{{x + 4}}{{x - 4}} - \frac{2}{{\sqrt x - 2}}$$= \frac{{x + 4}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{{2\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$

$$= \frac{{x + 4 - 2\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{x + 4 - 2\sqrt x - 4}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$$

$$= \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}.$$

Vậy với $x \ge 0,\,\,x \ne 4$ thì $B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}.$

Với $x \ge 0,\,\,x \ne 4$ ta có:

$$A - B = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}.$$

Theo bài, $A - B < \frac{5}{4}$

Suy ra $\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} < \frac{5}{4}$

$$\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} - \frac{5}{4} < 0$$

$$\frac{{8\sqrt x }}{{4\left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \frac{{5\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{4\left( {\sqrt x + 2} \right)}} < 0$$

$$\frac{{8\sqrt x - 5\sqrt x - 10}}{{4\left( {\sqrt x + 2} \right)}} < 0$$

$\frac{{3\sqrt x - 10}}{{4\left( {\sqrt x + 2} \right)}} < 0$ (*)

Với mọi $x \ge 0,\,\,x \ne 4$ ta có: $\sqrt x \ge 0$ nên $\sqrt x + 2 > 0$ nên từ bất phương trình (*) suy ra:

$$3\sqrt x - 10 < 0$$

$$3\sqrt x < 10$$

$$\sqrt x < \frac{{10}}{3}$$

$x < \frac{{100}}{9}$.

Kết hợp điều kiện xác định $x \ge 0,\,\,x \ne 4$ ta có $0 \le x < \frac{{100}}{9},\,\,x \ne 4.$

Mà $x$ là số nguyên dương lớn nhất nên $x = 11$.

Vậy $x = 11$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Gọi khối lượng thóc thu hoạch được năm ngoái của đơn vị thứ nhất và thứ hai sản xuất được lần lượt là $x,y$ (tấn thóc, $0 < x,\,\,y < 600).$

Do năm ngoái hai đơn vị thu hoạch được $600$ tấn thóc nên ta có phương trình: $x + y = 600.\,\,\left( 1 \right)$

Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức $10{\rm{\% }}$ so với năm ngoái nên khối lượng thóc thu hoạch được là $\left( {100\% + 10\% } \right)x = 110\% x = 1{,}1x$ (tấn thóc).

Năm nay, đơn vị thứ hai làm vượt mức $20{\rm{\% }}$ so với năm ngoái nên khối lượng thóc thu hoạch được là $\left( {100\% + 20\% } \right)y = 120\% y = 1{,}2y$ (tấn thóc).

Năm nay cả hai đơn vị thu hoạch được $685$ tấn thóc nên ta có phương trình: $1{,}1x + 1{,}2y = 685$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 600\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\1{,}1x + 1{,}2y = 685\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Nhân hai vế của phương trình (1) với $1{,}2$ ta được hệ phương trình mới $\left\{ \begin{array}{l}1{,}2x + 1{,}2y = 720\,\,\,\,\left( 3 \right)\\1{,}1x + 1{,}2y = 685\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Trừ từng vế của phương trình (3) cho phương trình (2), ta được:

$0{,}1x = 35$ suy ra $x = 350$ (thỏa mãn).

Thay $x = 350$ vào phương trình (1) ta được $350 + y = 600,$ suy ra $y = 250$ (thỏa mãn).

Vậy, năm ngoái, đơn vị thứ nhất thu hoạch được $350$ tấn thóc; đơn vị thứ hai thu hoạch được $250$ tấn thóc.

Đổi 12 phút $= \frac{1}{5}$ giờ.

Gọi quãng đường $AB$ là $x$ $(x > 0,$ km).

Thời gian dự định đi hết quãng đường $AB$ là $\frac{x}{{50}}$ (giờ).

Thời gian đi hết quãng đường 40 km là: $\frac{{40}}{{50}} = \frac{4}{5}$ (giờ).

Quãng đường còn lại là $x - 40$ (km) và vận tốc di chuyển trên quãng đường đó là $50 + 10 = 60$ (km/h).

Thời gian xe tải di chuyển trên quãng đường còn lại là $\frac{{x - 40}}{{60}}$ (giờ).

Do xe tải đến $B$ đúng dự định nên ta có phương trình: $\frac{4}{5} + \frac{1}{5} + \frac{{x - 40}}{{60}} = \frac{x}{{50}}.$

Giải phương trình:

$\frac{4}{5} + \frac{1}{5} + \frac{{x - 40}}{{60}} = \frac{x}{{50}}$

$\frac{{x - 40}}{{60}} - \frac{x}{{50}} + 1 = 0$

$\frac{{5\left( {x - 40} \right)}}{{300}} - \frac{{6x}}{{300}} + \frac{{300}}{{300}} = 0$

$5\left( {x - 40} \right) - 6x + 300 = 0$

$5x - 200 - 6x + 300 = 0$

$- x + 100 = 0$

$x = 100$ (thỏa mãn).

Vậy quãng đường $AB$ dài $100$ km.

a) Sau $2$ giây, vật rơi được quãng đường là: $s = 6 \cdot {2^2} = 24{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Như vậy, sau 2 giây, vật này cách mặt đất số mét là: $150 - 24 = 126{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

b) Khi vật chạm đất thì vật đã rơi được quãng đường là $s = 150{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Khi đó, ta có: $6{t^2} = 150$

$${t^2} = 25$$

$t = 5$ (do $t > 0).$

Vậy, sau $5$ giây thì vật này sẽ chạm đất.

a) Hàng rào có chiều dài là:

$$L = l + 2R = \frac{{\pi \cdot 50 \cdot 72}}{{180}} + 2 \cdot 50 \approx \frac{{3{,}14 \cdot 50 \cdot 72}}{{180}} + 100 = 162{,}8{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$$

Diện tích công viên là: $S = \frac{{\pi \cdot {{50}^2} \cdot 72}}{{360}} \approx \frac{{3{,}14 \cdot {{50}^2} \cdot 72}}{{360}} = 1570{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Diện tích trồng cỏ trong công viên là: $S' = 30\% S \approx 30\% \cdot 1570 = 471{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

a) Ta có $\Delta DMB$ vuông tại $M$ nên ba điểm $M,\,\,D,\,\,B$ thuộc đường tròn đường kính $DB.$ (1)

Do $\Delta DFB$ vuông tại $F$ nên ba điểm $F,\,\,D,\,\,B$ thuộc đường tròn đường kính $DB.$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm $M,\,\,D,\,\,B,\,\,F$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $DB.$

Do đó tứ giác $BMDF$ nội tiếp đường kính $DB.$

⦁ Xét $ΔODE$ cân tại $O$ có $OM$ là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến của tam giác.

Do đó $M$ là trung điểm của $DE.$

Xét tứ giác $ADBE$ có $M$ là trung điểm của hai đường chéo $DE,\ \ AB$ nên $ADBE$ là hình bình hành.

Lại có $AB\perp DE$ nên tứ giác $ADBE$ là hình thoi.

⦁ Xét đường tròn $(O)$ có $\widehat{ADC}={90}^{∘}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $AD\perp DC.$

Do tứ giác $ADBE$ là hình thoi nên $AD\ //\ BE,$ suy ra $BE\perp DC.$

Mà $BF\perp DC$ suy ra ba điểm $E,\ \ B,\ \ F$ thẳng hàng.

Xét $ΔDEF$ vuông tại $F$ có $FM$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $DE$ nên $MF=\frac{1}{2}DE=DM.$ (3)

Xét $ΔADM$ và $ΔDCM$ có: $\widehat{AMD}=\widehat{DMC}={90}^{∘}$ và $\widehat{DAM}=\widehat{CDM}$ (cùng phụ với $\widehat{ADM})$

Do đó (g.g). Suy ra $\frac{DM}{CM}=\frac{AM}{DM}$ hay $D{M}^{2}=MA\cdot MC.$

Mà $MA=MB$ (do $M$ là trung điểm của $AB),$ suy ra $D{M}^{2}=MB\cdot MC$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra$M{F}^{2}=MB\cdot MC.$

Kẻ $AJ\,{\rm{//}}\,HK$ và $BI\,{\rm{//}}\,HK$ $\left( {I,\,\,J \in DE} \right).$

Theo định lí Thalès, ta có: $\frac{{DA}}{{DH}} = \frac{{DJ}}{{DK}};\,\,\frac{{DB}}{{DS}} = \frac{{DI}}{{DK}}.$

Suy ra $\frac{{DA}}{{DH}} + \frac{{DB}}{{DS}} = \frac{{DJ}}{{DK}} + \frac{{DI}}{{DK}} = \frac{{DJ + DI}}{{DK}}$ (5)

Do $AJ\,{\rm{//}}\,HK$ và $BI\,{\rm{//}}\,HK$ nên $AJ\,{\rm{//}}\,BI$ suy ra $\widehat {MBI} = \widehat {MAJ}$ (so le trong).

Xét $\Delta BIM$ và $\Delta AJM$ có:

$\widehat {BMI} = \widehat {AMJ} = 90^\circ ,$ $MA = MB,$ $\widehat {MBI} = \widehat {MAJ}$

Do đó $\Delta BIM = \Delta AJM$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề). Suy ra $MI = MJ$ (hai cạnh tương ứng).

Lại có $MD = ME$ nên $MD - MI = ME - MJ$ hay $DI = EJ$ (6)

Từ (5) và (6) suy ra $\frac{{DA}}{{DH}} + \frac{{DB}}{{DS}} = \frac{{DJ + JE}}{{DK}} = \frac{{DE}}{{DK}}.$

Thể tích của hình hộp chữ nhật là:

$V = a \cdot a \cdot h = {a^2}h{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Theo bài, hình hộp chữ nhật có thể tích bằng $27\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$ nên ta có ${a^2}h = 27,$ suy ra $h = \frac{{27}}{{{a^2}}}.$

Diện tích toàn phần của hình hộp là:

${S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{S_d} = 4ah + 2{a^2}$

$= 4a \cdot \frac{{27}}{{{a^2}}} + 2{a^2} = \frac{{108}}{a} + 2{a^2} = 2\left( {{a^2} + \frac{{27}}{a} + \frac{{27}}{a}} \right)$

$\ge 2 \cdot 3\sqrt[3]{{{a^2} \cdot \frac{{27}}{a} \cdot \frac{{27}}{a}}}$ (Bất đẳng thức Cauchy)

$= 2 \cdot 3 \cdot 9 = 54.$

Như vậy, ${S_{tp}} \ge 54$. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ${a^2} = \frac{{27}}{a}$ hay $a = 3$ (thỏa mãn $a > 0).$

Khi đó, $h = \frac{{27}}{{{a^2}}} = \frac{{27}}{{{3^2}}} = 3{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Vậy hình hộp có diện tích toàn phần nhỏ nhất là $54{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^3},$ khi cạnh đáy hình vuông là $3{\rm{\;cm}}$ và chiều cao là $3{\rm{\;cm}}.$