Đề thi thử TS vào 10 (Lần 1 - Tháng 3) năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Phòng GD&ĐT Quận Đống Đa_TP. Hà Nội

Thay $x = 25$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A,$ ta được:

$A = \frac{7}{{\sqrt {25} + 8}} = \frac{7}{{5 + 8}} = \frac{7}{{13}}.$

Vậy khi $x = 25$ thì $A = \frac{7}{{13}}.$

Với $x \ge 0,\,\,x \ne 9,$ ta có:

$B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{2\sqrt x - 24}}{{x - 9}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} + \frac{{2\sqrt x - 24}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$

$= \frac{{x + 3\sqrt x + 2\sqrt x - 24}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$$= \frac{{x + 5\sqrt x - 24}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$

$$= \frac{{x - 3\sqrt x + 8\sqrt x - 24}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right) + 8\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$$

$$= \frac{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 8} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}}.$$

Vậy với $x \ge 0,\,\,x \ne 9$ thì $B = \frac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}}.$

Với $x \ge 0,\,\,x \ne 9,$ ta có: $P = AB = \frac{7}{{\sqrt x + 8}} \cdot \frac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}} = \frac{7}{{\sqrt x + 3}}.$

Với $x \ge 0,\,\,x \ne 9,$ ta có: $\sqrt x \ge 0,$ suy ra $\sqrt x + 3 \ge 3$ nên $\frac{7}{{\sqrt x + 3}} \le \frac{7}{3}$ hay $P \le \frac{7}{3}.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x = 0$ (thỏa mãn).

Vậy biểu thức $P$ đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{7}{3}$ khi $x = 0.$

Gọi $x,\,\,y$ lần lượt là số ngày mà người thứ nhất, người thứ hai hoàn thành công việc khi làm một mình $\left( {x > 0,\,\,y > 0} \right).$

Trong một ngày, người thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ (công việc), người thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ (công việc).

Hai người cùng làm trong 12 ngày thì xong công việc nên trong một ngày, cả hai người làm được $\frac{1}{{12}}$ công việc. Khi đó, ta có phương trình: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}.\,\,\,\left( 1 \right)$

Hai người cùng nhau làm trong 4 ngày thì được $4 \cdot \frac{1}{{12}} = \frac{1}{3}$ (công việc).

Người thứ hai làm một mình trong 14 ngày được $14 \cdot \frac{1}{y} = \frac{{14}}{y}$ (công việc).

Theo bài, hai người làm cùng nhau trong 4 ngày thì người thứ nhất được chuyển đi làm công việc khác, người thứ hai làm một mình trong 14 ngày nữa mới xong nên ta có phương trình: $\frac{1}{3} + \frac{{14}}{y} = 1$ hay $\frac{{14}}{y} = \frac{2}{3}.\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}\,\,\,\left( 1 \right)\\\frac{{14}}{y} = \frac{2}{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Từ phương trình (2) suy ra $y = \frac{{14 \cdot 3}}{2} = 21$ (thỏa mãn).

Thay $y = 21$ vào phương trình (1), ta được:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{{21}} = \frac{1}{{12}},$ suy ra $\frac{1}{x} = \frac{1}{{28}}$ nên $x = 28$ (thỏa mãn).

Vậy nếu làm riêng, để làm xong công việc thì người thứ nhất làm trong $28$ ngày và người thứ hai làm trong $21$ ngày.

Xét phương trình ${x^2} - 3x + 2m = 0$ có $\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot 2m = 9 - 8m.$

Để phương trình trên có 2 nghiệm ${x_1},\,\,{x_2}$ thì $\Delta > 0,$ tức là $9 - 8m > 0$ hay $m < \frac{9}{8}.$

Theo định lí Viète, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3\\{x_1}{x_2} = 2m.\end{array} \right.$

Theo bài, $x_1^2 + x_2^2 = 5$

$x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} = 5$

${\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 5$

${3^2} - 2 \cdot 2m = 5$

$9 - 4m = 5$

$4m = 4$

$m = 1$ (thỏa mãn $m < \frac{9}{8}).$

Vậy $m = 1$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Tần số tương đối của điểm 7 là: $\frac{6}{{40}} \cdot 100\% = 15\% .$

Tần số tương đối của điểm 8 là: $\frac{{14}}{{40}} \cdot 100\% = 35\% .$

Tần số tương đối của điểm 9 là: $\frac{{16}}{{40}} \cdot 100\% = 40\% .$

Tần số tương đối của điểm 10 là: $\frac{4}{{40}} \cdot 100\% = 10\% .$

Bảng tần số tương đối của mẫu số liệu thống kê đã cho như sau:

2) Biểu đồ tần số tương đối ở dạng biểu đồ cột của mẫu số liệu thống kê đã cho như sau:

Vì $MP,\,\,MQ$ lần lượt là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ tại $P,\,\,Q$ nên $OP \bot MP,\,\,OQ \bot MQ.$

Do $\Delta OMP$ vuông tại $P$ nên ba điểm $O,\,\,M,\,\,P$ cùng thuộc đường tròn đường kính $OM.$

Do $\Delta OMQ$ vuông tại $Q$ nên ba điểm $O,\,\,M,\,\,Q$ cùng thuộc đường tròn đường kính $OM.$

Do đó 4 điểm $M,\,\,P,\,\,O,\,\,Q$ cùng thuộc đường tròn đường kính $OM.$

⦁ Vì $MP,\,\,MQ$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ cắt nhau tại $M$ nên $MO$ là tia phân giác của $\widehat {PMQ}.$ Suy ra $\widehat {PMO} = \widehat {OMQ}.$

Xét $\Delta OMQ$ vuông tại $Q$ ta có $\widehat {OMQ} + \widehat {MOQ} = 90^\circ$ (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông).

Mà $\widehat {NOM} + \widehat {MOQ} = \widehat {NOQ} = 90^\circ$ (do $ON \bot OQ)$ nên $\widehat {NOM} = \widehat {OMQ} = \widehat {PMO}.$

Xét $\Delta NOM$ có $\widehat {NOM} = \widehat {NMO}$ nên $\Delta NOM$ cân tại $N,$ suy ra $ON = OM.$

⦁ Vì $MP,\,\,MQ$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ cắt nhau tại $M$ nên $MP = MQ,$ suy ra điểm $M$ nằm trên đường trung trực của $PQ.$

Vì $OP = OQ$ nên điểm $O$ cũng nằm trên đường trung trực của $PQ.$

Do đó $OM$ là đường trung trực của $PQ$ nên $OM \bot PQ$ tại $K.$

Xét $\Delta OIK$ và $\Delta OMH$ có: $\widehat {OKI} = \widehat {OHM} = 90^\circ$ và $\widehat {HOM}$ là góc chung

Do đó (g.g). Suy ra $\frac{{OI}}{{OM}} = \frac{{OK}}{{OH}}$ nên $IO \cdot OH = OK \cdot OM.$

Xét $\Delta OPK$ và $\Delta OMP$ có: $\widehat {OKP} = \widehat {OPM} = 90^\circ$ và $\widehat {POM}$ là góc chung

Do đó (g.g). Suy ra $\frac{{OP}}{{OM}} = \frac{{OK}}{{OP}}$ nên $O{P^2} = OK \cdot OM.$

Mà $IO \cdot OH = OK \cdot OM$ (câu 2) nên $O{P^2} = IO \cdot OH.$ Suy ra $OI = \frac{{O{P^2}}}{{OH}} = \frac{{{R^2}}}{{OH}}.$

Vì đường tròn $\left( O \right)$ và đường thẳng $d$ cố định nên $OH$ cố định. Như vậy, điểm $I$ nằm trên $OH$ cố định với $OI = \frac{{{R^2}}}{{OH}}$ không đổi là một điểm cố định.

Mà $PQ$ đi qua điểm $I$ nên khi điểm $M$ di động trên đường thẳng $d$ thì $PQ$ luôn đi qua điểm $I$ cố định.

Hướng dẫn giải

Gọi chiều rộng của đáy hầm biogas có dạng hình hộp chữ nhật là $x{\rm{\;(m)}}$ $\left( {x > 0} \right).$

Khi đó, chiều cao của hầm biogas cũng là $x{\rm{\;(m)}}.$

Gọi $a{\rm{\;(m)}}$ là chiều dài của hầm biogas $\left( {a > 0} \right).$

Ta có thể tích của hầm biogas đó là: $V = a \cdot x \cdot x = a{x^2}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Mà theo bài, hầm biogas có thể tích $27\;\;{{\rm{m}}^3}$ nên ta có $a{x^2} = 27,$ suy ra $a = \frac{{27}}{{{x^2}}}{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Diện tích đáy của hầm biogas là: ${S_d} = x \cdot \frac{{27}}{{{x^2}}} = \frac{{27}}{x}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Diện tích xung quanh của hầm biogas là: ${S_{xq}} = 2\left( {x + \frac{{27}}{{{x^2}}}} \right) \cdot x = 2{x^2} + \frac{{54}}{x}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Diện tích toàn phần của hầm biogas là: ${S_{tp}} = 2{S_d} + {S_{xq}} = 2 \cdot \frac{{27}}{x} + 2{x^2} + \frac{{54}}{x} = 2{x^2} + \frac{{108}}{x}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Để thi công tiết kiệm nguyên liệu nhất thì ta cần tìm điều kiện của $x$ để biểu thức ${S_{tp}}$ có giá trị nhỏ nhất.

Ta có: ${S_{tp}} = 2{x^2} + \frac{{108}}{x} = 2{x^2} + \frac{{54}}{x} + \frac{{54}}{x}.$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương $2{x^2},\,\,\frac{{54}}{x},\,\,\frac{{54}}{x}$ ta được:

${S_{tp}} = 2{x^2} + \frac{{54}}{x} + \frac{{54}}{x} \ge 3\sqrt[3]{{2{x^2} \cdot \frac{{54}}{x} \cdot \frac{{54}}{x}}} = 3 \cdot 18 = 54.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $2{x^2} = \frac{{54}}{x},$ hay $x = 3$ (thỏa mãn). Khi đó $a = \frac{{27}}{{{3^2}}} = 3{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Vậy để thi công tiết kiệm nguyên liệu nhất (không tính đến bề dày của thành hầm) thì hầm biogas có đáy là hình vuông với cạnh bằng $3{\rm{\;m}}{\rm{.}}$