Toán · Tốt nghiệp THPT

Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Liên trường THPT (Nghệ An) có đáp án

22 câu · 90 phút · Ngân hàng đề TopStudy. Đáp án và lời giải do TopStudy biên soạn, mở ngay dưới từng câu.

Nội dung đề

Phần I. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn

Câu 1

0,25 điểm

Trong mặt phẳng

Oxy

, cho đường tròn

\left( C \right)

có phương trình

{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5

. Tọa độ tâm

I

và bán kính

R

của đương tròn

\left( C \right)

là

Đáp án A: $I\left( { - 2;3} \right),R = \sqrt 5$ .
Đáp án B: $I\left( {2; - 3} \right),R = 5$ .
Đáp án C: $I\left( {2; - 3} \right),R = \sqrt 5$
Đáp án D: $I\left( { - 2;3} \right),R = 5$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Chọn A

Câu 2

0,25 điểm

Cho hàm số $y = \frac{{ax + 2}}{{x + c}}$ có đồ thị như hình sau đây. Tính giá trị của biểu thức $P = 2a - c$

Hình minh hoạ

Đáp án A: $4$ .
Đáp án B: $- 4$ .
Đáp án C: $- 5$
Đáp án D: $5$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Chọn A

Dựa vào đồ thị ta có:

Tiệm cận đứng $x = 2$ nên $- c = 2 \Leftrightarrow c = - 2$ .

Tiệm cận ngang $y = 1$ nên $a = 1$ .

$P = 2a - c = 2.1 - \left( { - 2} \right) = 4$ .

Câu 3

0,25 điểm

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Chọn đẳng thức đúng

Hình minh hoạ

Đáp án A: $\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {AD}$ .
Đáp án B: $\overrightarrow {DB'} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DD'} + \overrightarrow {DB}$ .
Đáp án C: $\overrightarrow {DB'} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DD'} + \overrightarrow {DC}$
Đáp án D: $\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD}$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: B

Chọn B

Theo quy tắc hình hộp.

Câu 4

0,25 điểm

Trong không gian với hệ trục tọa độ

Oxyz

, cho điểm

M

có hình chiếu vuông góc lên mặt phẳng

\left( {Oxy} \right)

và

\left( {Oxz} \right)

lần lượt là

{M_1}\left( { - 2;3;0} \right)

và

{M_2}\left( { - 2;0;5} \right)

. Tọa độ của điểm

M

là

Đáp án A: $M\left( { - 2; - 3;5} \right)$
Đáp án B: $M\left( {2; - 3;5} \right)$
Đáp án C: $M\left( {2; - 5;3} \right)$
Đáp án D: $M\left( { - 2;3;5} \right)$

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: D

Chọn D

Điểm $M$ có hình chiếu vuông góc lên mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ và $\left( {Oxz} \right)$ lần lượt là ${M_1}\left( { - 2;3;0} \right)$ và ${M_2}\left( { - 2;0;5} \right)$ . Tọa độ của điểm $M$ là $M\left( { - 2;3;5} \right)$ .

Câu 5

0,25 điểm

Trong không gian với hệ trục tọa độ

Oxyz

, cho hai vector

\vec a = (1; - 2;1)

\vec b = ( - 2;1;1)

. Góc giữa hai vector

\vec a

và

\vec b

là

Đáp án A: ${30^\circ }$ .
Đáp án B: ${120^\circ }$ .
Đáp án C: ${60^\circ }$ .
Đáp án D: ${150^\circ }$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: B

Chọn B
Cho hai vector

\vec a = (1; - 2;1)

và

\vec b = ( - 2;1;1)

.
Ta có:

\vec a \cdot \vec b = - 2 - 2 + 1 = - 3

|\vec a| = \sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2} + {1^2}} = \sqrt 6

;

|\vec b| = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 6

\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{ - 3}}{{\sqrt 6 \cdot \sqrt 6 }} = - \frac{1}{2}

Suy ra

\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {120^\circ }

. Vậy góc giữa hai vector

\vec a

và

\vec b

là

{120^\circ }

Câu 6

0,25 điểm

Bạn Hải có một tấm bìa hình vuông cạnh $40$ cm. Bạn muốn cắt bỏ ở bốn góc bốn hình vuông nhỏ bằng nhau để gấp và dán lại thành một hộp hình hộp chữ nhật không có nắp (tham khảo hình vẽ).

Hình minh hoạ

Để hộp có thể tích lớn nhất thì độ dài cạnh của hình vuông nhỏ bị cắt là:

Đáp án A: $6$ cm.
Đáp án B: $5$ cm.
Đáp án C: $\frac{{20}}{3}$ cm.
Đáp án D: $\frac{{10}}{3}$ cm.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 6

Câu 7

0,25 điểm

Hàm số nào sau đây nghịch biến trên

\mathbb{R}

Đáp án A: $y = {\left( {\frac{{2026}}{{2025}}} \right)^x}$ .
Đáp án B: $y = {\log _{\frac{1}{2}}}x$ .
Đáp án C: $y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}$ .
Đáp án D: $y = {e^{ - x}}$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 7

Câu 8

0,25 điểm

Cho hàm số $f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ có đồ thị như hình sau đây

Hình minh hoạ

Điểm cực đại của hàm số $y = f(x)$ là

Đáp án A: $x = 0$ .
Đáp án B: $x = 2$ .
Đáp án C: $y = 3$ .
Đáp án D: $M(2;3)$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 8

Câu 9

0,25 điểm

Cô Hải thống kê đường kính thân gỗ của một số cây xoan đào $6$ năm tuổi được trồng ở một lâm trường như sau

Đường kính (cm)	$\left[ {40;45} \right)$	$\left[ {45;50} \right)$	$\left[ {50;55} \right)$	$\left[ {55;60} \right)$	$\left[ {60;65} \right)$	$\left[ {65;70} \right)$
Tần số	$5$	$20$	$18$	$7$	$3$	$1$

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

Đáp án A: $30$ .
Đáp án B: $25$ .
Đáp án C: $18$ .
Đáp án D: $5$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 9

Câu 10

0,25 điểm

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

y = \frac{{2x + 3}}{{x - 1}}

là

Đáp án A: $x = 2$ .
Đáp án B: $y = 1$ .
Đáp án C: $y = 2$ .
Đáp án D: $x = 1$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 10

Câu 11

0,25 điểm

Một cấp số nhân có ba số hạng liên tiếp là

12;\,30;\,a

. Tính

2a

Đáp án A: $81$ .
Đáp án B: $150$ .
Đáp án C: $75$ .
Đáp án D: $56$

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 11

Câu 12

0,25 điểm

Cho hàm số

f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {x + 1} - 2}}{{x - 3}}\,\,khi\,x > 3\\mx + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,x \le 3\end{array} \right.

. Tìm giá trị của tham số

m

để hàm số

f\left( x \right)

liên tục trên

\mathbb{R}

Đáp án A: $\frac{1}{{12}}$ .
Đáp án B: $- \frac{7}{4}$ .
Đáp án C: $\frac{1}{4}$ .
Đáp án D: $- \frac{7}{{12}}$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 12

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 13

1 điểm

Khảo sát thời gian tập thể dục mỗi ngày (tính theo phút) của $32$ người thuộc hai câu lạc bộ: CLB Yoga và CLB Gym. Kết quả được thu thập và tổng hợp trong bảng tần số ghép nhóm sau:

Hình minh hoạ

Ý a: [NB] Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm cho cả $32$ người là $R = \,100$ (phút).
Ý b: [TH] Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm cho cả $32$ người là $60$ (phút).
Ý c: [TH] Mức độ tập luyện của những người ở CLB Yoga ổn định (đồng đều) hơn CLB Gym.
Ý d: [VD,VDC] Chọn ngẫu nhiên $4$ người từ $32$ người trên. Xác suất để trong $4$ người được chọn có cả hai CLB Yoga, Gym và có đúng $2$ người tập thể dục từ $110$ phút trở lên là $\frac{{4388}}{{35960}}$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 13

Câu 14

1 điểm

Cho hàm số

y = \frac{{ - {x^2} + 5x - 7}}{{x - 2}}

, có đồ thị

\left( C \right)

Ý a: [TH] Hàm số nghịch biến trên $\left( { - \infty ;1} \right)$ .
Ý b: [TH] Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị $\left( C \right)$ bằng $2\sqrt 5$ .
Ý c: [TH] Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng $y = - x - 3$ .
Ý d: [TH] Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[ { - 2026;\frac{3}{2}} \right]$ bằng 3.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 14

Câu 15

1 điểm

Một hãng công nghệ dự định tung ra thị trường một loại tai nghe không dây mới. Chi phí sản xuất mỗi chiếc tai nghe là 500 nghìn đồng với giá bán ra niêm yết là

1{,}2

triệu đồng. Bộ phận bán hàng ước tính rằng, số lượng tai nghe bán ra được

n\,(x)

phụ thuộc vào chi phí quảng cáo

x

(đơn vị: triệu đồng) theo công thức

n\,(x) = A + 30.\ln (1 + x)

. Biết rằng nếu chi

\left( {{e^3} - 1} \right)

triệu đồng cho quảng cáo thì bán được190 sản phẩm.

Ý a: $A = 100$ .
Ý b: Hàm lợi nhuận của hãng (tính theo triệu đồng) là $L(x) = 70 + 21.\ln (1 + x) - 2x$ .
Ý c: Khi chi phí quảng cáo đang ở mức 6 triệu đồng thì lợi nhuận đạt 99 triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Ý d: Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì số tiền chi cho quảng cáo là $19{,}766$ triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn).

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 15

Câu 16

1 điểm

Bạn Mạnh rất yêu thích tập Gym và bạn thường thực hiện bài tập ép ngực với máy tập cáp chéo có tên Tiếng Anh là “Cable Crossover”. Thiết lập hệ trục tọa độ $Oxyz$ với đơn vị trên mỗi trục là mét có gốc tọa độ $O\left( {0;\,0;\,0} \right)$ nằm trên sàn ngay chính giữa hai trụ của máy tập, các trục $Ox$ , $Oy$ , $Oz$ được chọn như hình vẽ minh họa. Các ròng rọc của hai dây cáp được gắn tại các điểm $A\left( { - 1{,}3;0;1{,}9} \right)$ và $B\left( {1{,}3;0;1{,}9} \right)$ . Khi tập thì Mạnh kéo và giữ hai tay cầm tại điểm $D\left( {0;0{,}7;1{,}2} \right)$ và tại đó hai tay sẽ chịu tác dụng của hai lực căng $\overrightarrow {{T_1}}$ và $\overrightarrow {{T_2}}$ . Biết rằng mức tạ được cài đặt sao cho độ lớn lực căng trên mỗi sợi dây cáp đều là $320\left( N \right)$ (kết quả tính được ở các ý đều làm tròn đến hàng phần trăm).

Hình minh hoạ

Ý a: [NB] Chiều dài đoạn dây cáp tính từ ròng rọc $A$ đến tay cầm $D$ bằng $1{,}63\left( m \right)$ .
Ý b: [TH] Vectơ hợp lực tác dụng lên tay Mạnh có phương không song song với trục $Oz$ .
Ý c: [VD] Để giữ yên hai tay tại vị trí $D$ thì Mạnh phải tác dụng một lực giữ có độ lớn bằng $387{,}74N$ .
Ý d: [VD] Để tối ưu hóa nhóm cơ ngực, huấn luyện viên yêu cầu Mạnh điều chỉnh vị trí giữ tay (thay đổi tung độ $y$ của điểm $D$ ) sao cho góc tạo bởi hai dây cáp tại $D$ đúng bằng $90^\circ$ . Biết cao độ của tay vẫn giữ nguyên ở ${z_D} = 1{,}2\left( m \right)$ thì khi đó Mạnh cần giữ tay cầm ở vị trí sao cho ${y_D} = 0{,}99\left( m \right)$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 16

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 17

0,5 điểm

Một hộp đựng 25 lá thăm khác nhau được đánh số từ 1 đến 25. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 4 lá thăm từ hộp. Tính xác suất để trong 4 lá thăm được chọn có ít nhất 2 lá thăm là số nguyên tố và tổng của 4 số đó là một số chẵn (Làm tròn đến hàng phần trăm).

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 17

Câu 18

0,5 điểm

Việt Nam đang triển khai dự án đường sắt tốc độ cao chặng Thành phố Hồ Chí Minh – Nha Trang với tổng chiều dài quãng đường là

375\,km

. Tổng công ty đường sắt xác định vận tốc khai thác

v\,\,\,(km/h)

cho đoàn tàu

\left( {200 \le v \le 350} \right)

để đạt lợi nhuận cao nhất cho mỗi chuyến tàu. Qua các số liệu tính toán kỹ thuật và khảo sát thị trường, ta có các thông tin sau: Chi phí điện năng tiêu thụ cho toàn bộ hành trình

375\,km

được tính toán chính xác theo công thức:

{C_1}(v) = 15{v^2}

(nghìn đồng). Chi phí vận hành cố định: bao gồm nhân sự, khấu hao thiết bị và bảo trì đường ray tính cho mỗi giờ tàu chạy là

250

triệu đồng/giờ. Số lượng khách mua vé cho mỗi chuyến tàu phụ thuộc vào vận tốc

v

theo hàm số :

N(v) = 4v

(khách). Giá vé bình quân cố định cho toàn chặng là

1\,500\,000

đồng/khách. Xác định vận tốc khai thác

v

để lợi nhuận ròng của một chuyến tàu là lớn nhất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 18

Câu 19

0,5 điểm

Trong không gian $Oxyz$ (mỗi đơn vị trên trục tương ứng 1 km), tại thời điểm 8 giờ sáng, hai máy bay A và B có vị trí và lộ trình chuyển động như sau:

Máy bay A: Đang ở vị trí $M(0;0;9)$ , bay thẳng đều theo hướng đến điểm $N(1200;0;9)$ với tốc độ hành trình ${v_1} = 800$ km/h.

Máy bay B: Đang ở vị trí $P(103; - 97;12)$ , bay thẳng đều theo hướng đến điểm $Q(703;103;12)$ với tốc độ hành trình ${v_2} = 200\sqrt {10}$ km/h.

Hãy xác định khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay A và máy bay B trong quá trình bay (làm tròn kết quả đến hàng phần mười, đơn vị: km).

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 19

Câu 20

0,5 điểm

Cho hình chóp

S.ABCD

có đáy

ABCD

là hình chữ nhật ,

AB = 4,\,AD = 8

SA

vuông góc với đáy và

SA = 4\sqrt 3

. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

SC

và

BD

(kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 20

Câu 21

0,5 điểm

Một trang trại quy hoạch trồng bưởi da xanh và cam sành trên tổng diện tích tối đa là 10 ha. Để trồng 1 ha bưởi da xanh cần 20 công lao động và 20 triệu đồng tiền vốn. Để trồng 1 ha cam sành cần 10 công lao động và 30 triệu đồng tiền vốn. Trang trại hiện có tối đa 160 công lao động và nguồn vốn đầu tư không vượt quá 270 triệu đồng. Lợi nhuận thu được ước tính là 30 triệu/ha bưởi da xanh và 40 triệu/ha cam sành. Hãy xác định mức lợi nhuận tối đa có thể đạt được (đơn vị triệu đồng).

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 21