Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Liên trường THPT (Nghệ An) có đáp án

Chọn A

Dựa vào đồ thị ta có:

Tiệm cận đứng $x = 2$ nên $- c = 2 \Leftrightarrow c = - 2$.

Tiệm cận ngang $y = 1$ nên $a = 1$.

$P = 2a - c = 2.1 - \left( { - 2} \right) = 4$.

Chọn B

Theo quy tắc hình hộp.

Chọn D

Điểm $M$ có hình chiếu vuông góc lên mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ và $\left( {Oxz} \right)$ lần lượt là ${M_1}\left( { - 2;3;0} \right)$ và ${M_2}\left( { - 2;0;5} \right)$. Tọa độ của điểm $M$ là $M\left( { - 2;3;5} \right)$.

Chọn C

Gọi $x$ (cm) là độ dài cạnh của hình vuông nhỏ bị cắt ở bốn góc ($x > 0$).
Khi cắt bỏ bốn hình vuông nhỏ ở bốn góc và gấp lại, ta được một hộp hình hộp chữ nhật không có nắp.
Chiều cao của hộp là $x$ cm.
Cạnh của đáy hộp (hình vuông) là $40 - 2x$ cm.
Điều kiện để cạnh đáy và chiều cao có nghĩa là: $x > 0$ và $40 - 2x > 0 \Rightarrow 2x < 40 \Rightarrow x < 20$
Vậy miền xác định của $x$ là $(0;20)$.
Thể tích của hộp là $V(x) = {(40 - 2x)^2} \cdot x$
$V(x) = (1600 - 160x + 4{x^2})x = 4{x^3} - 160{x^2} + 1600x$
$V'(x) = 12{x^2} - 320x + 1600$
Cho $V'(x) = 0$$\Leftrightarrow 12{x^2} - 320x + 1600 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{20}}{3}\left( {TM} \right)\\x = 20\left( {KTM} \right)\end{array} \right.$.
$V''(x) = 24x - 320$
$V''\left( {\frac{{20}}{3}} \right) = 24\left( {\frac{{20}}{3}} \right) - 320 = - 160$
Vì $V''\left( {\frac{{20}}{3}} \right) < 0$, nên thể tích $V(x)$ đạt cực đại tại $x = \frac{{20}}{3}$.
Vậy để hộp có thể tích lớn nhất thì độ dài cạnh của hình vuông nhỏ bị cắt là $\frac{{20}}{3}$ cm.

Chọn D

Xét hàm số $y = {e^{ - x}}$ có tập xác định $D = \mathbb{R}$ và $y' = - {e^{ - x}} < 0,\forall x \in \mathbb{R}$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Chọn A

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là $R = 70 - 40 = 30$.

Chọn D

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = 1$.

Chọn B

Công bội của cấp số nhân là $q = \frac{{30}}{{12}} = \frac{5}{2}$$\Rightarrow a = 30.\frac{5}{2} = 75$. Khi đó $2a = 150$.

Chọn D

Ta có hàm số liên tục trên các khoảng $\left( { - \infty ;\,3} \right)$ và $\left( {3;\, + \infty } \right)$.

Xét tính liên tục của hàm số tại $x = 3$.

Có $f\left( 3 \right) = 3m + 2 = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right)$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{\sqrt {x + 1} - 2}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} = \frac{1}{4}$.

Để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ thì $f\left( 3 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) \Leftrightarrow 3m + 2 = \frac{1}{4} \Leftrightarrow m = - \frac{7}{{12}}$.

a) Đúng vì $R = 130 - 30 = 100$.

b) Đúng vì $n = 32$. Vị trí ${Q_1}$ là $\frac{{{x_8} + {x_9}}}{2}$ thuộc nhóm $\left[ {50;70} \right)$. ${Q_1} = 50 + \frac{{8 - 6}}{4} \cdot 20 = 60$

Vị trí ${Q_3}$ là $\frac{{{x_{24}} + {x_{25}}}}{2}$ thuộc nhóm $\left[ {90;110} \right)$. ${Q_3} = 90 + \frac{{24 - 22}}{4} \cdot 20 = 100$.

${{\rm{\Delta }}_Q} = 100 - 60 = 40.$(Khẳng định 60 phút là sai).

c) Gọi A là câu lạc bộ Yoga và B là câu lạc bộ Gym$\overline {{x_A}} = \frac{{2 \cdot 40 + 3.60 + 6.80 + 3.100 + 2.120}}{{16}} = 80$ (phút). $\overline {{x_B}} = \frac{{4.40 + 1.60 + 6.80 + 1.100 + 4.120}}{{16}} = 80$ (phút).

Nhận xét: Hai câu lạc bộ có thời gian tập trung bình bằng nhau.

Câu lạc bộ Yoga có : $s_A^2 = \frac{1}{{16}}\left[ {2 \cdot {{40}^2} + {{3.60}^2} + {{6.80}^2} + {{3.100}^2} + 2 \cdot {{120}^2}} \right] - {80^2} = 550$

Câu lạc bộ Gym có: $s_B^2 = \frac{1}{{16}}\left[ {{{4.40}^2} + {{1.60}^2} + {{6.80}^2} + {{1.100}^2} + {{4.120}^2}} \right] - {80^2} = 850$

Kết luận: Vì $s_A^2 < s_B^2$ nên mức độ tập luyện của những người ở CLB Yoga ổn định (đồng đều) hơn CLB Gym. Vậy mệnh đề đúng.

d) Gọi nhóm ‘Top” là nhóm có thời gian tập luyện từ $110$ phút trở lên: $2A,4B$ (6 người).

Nhóm “Còn lại”: $14A,12B$ (26 người).

Số cách chọn 2 Top, 2 Còn lại có cả A và B:

$C_6^2 \cdot C_{26}^2 - \left( {C_2^2 \cdot C_{14}^2} \right) - \left( {C_4^2 \cdot C_{12}^2} \right) = 4875 - 91 - 396 = 4388$.

$n\left( {\rm{\Omega }} \right) = C_{32}^4 = 35960$.

Xác suất: $\frac{{4388}}{{35960}} = \frac{{1097}}{{8990}}$. Vậy mệnh đề đúng.

a) Đúng.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$.

Hàm số: $y = \frac{{ - {x^2} + 5x - 7}}{{x - 2}}$

$y' = \frac{{\left( { - 2x + 5} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( { - {x^2} + 5x - 7} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} + 4x - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$.

Xét $y' = 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 4x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.$.

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {3; + \infty } \right)$.

b) Đúng.

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là $A\left( {1;3} \right)$ và $B\left( {3; - 1} \right)$.

Khi đó $AB = \sqrt {{{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 3} \right)}^2}} = 2\sqrt 5$.

c) Sai.

Xét $y = f\left( x \right)$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = - 1$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( { - x} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( { - x} \right)} \right] = 3$.

Vậy phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: $y = - x + 3$.

d) Đúng.

Ta có $x = 1 \in \left[ { - 2026;\frac{3}{2}} \right]$, $x = 1$ là điểm cực tiểu của hàm số nên$\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2026;\frac{3}{2}} \right]} y = f\left( 1 \right) = 3$.

Đổi $500$ nghìn đồng = $0{,}5$ triệu đồng

Ta có $x$(triệu đồng) là chi phí quảng cáo. Điều kiện: $x > 0$

a) Theo bài, nếu chi $x = {e^3} - 1$ triệu đồng thì bán được $n(x) = 190$ sản phẩm

Ta có: $A + 30.\ln (1 + {e^3} - 1) = 190 \Leftrightarrow A = 190 - 90 = 100$. Vậy (a) đúng.

b) Doanh thu của cửa hàng là: $D(x) = 1{,}2.\,n(x) = 1{,}2\,.\left[ {A + 30.\ln (1 + x)} \right] = 1{,}2\,.\left[ {100 + 30.\ln (1 + x)} \right] = 120 + 36.\ln (1 + x)$

Chi phí sản xuất $n(x)$ sản phẩm là: $0{,}5.\,n(x) = 0{,}5.\,\left[ {A + 30.\ln (1 + x)} \right] = 50 + 15.\ln (1 + x)$

Chi phí quảng cáo là $x$ (triệu đồng)

Lợi nhuận = Doanh thu – chi phí sản xuất – chi phí quảng cáo

Hàm lợi nhuận là: $L(x) = D(x) - C(x) - x = 120 + 36.\ln (1 + x) - \left[ {50 + 15.\ln (1 + x)} \right] - x$

$L(x) = 70 + 21.\ln (1 + x) - x$

Vậy (b) sai.

c) Khi chi phí quảng cáo đang ở mức $x = 6$ triệu đồng thì lợi nhuận đạt được là

$L(6) = 70 + 21.\ln (1 + 6) - 6 = 104{,}864 \approx 105$ (triệu đồng)

Vậy (c) sai.

d) Hàm lợi nhuận là:

$L(x) = 70 + 21.\ln (1 + x) - x$ $\Rightarrow L'(x) = \frac{{21}}{{1 + x}} - 1 = \frac{{20 - x}}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 20$

Bảng biến thiên:

Vậy lợi nhuận lớn nhất khi số tiền chi cho quảng cáo là $20$ triệu đồng. Vậy (d) sai.

a) Đúng

$\overrightarrow {DA} = \left( { - 1{,}3; - 0{,}7;0{,}7} \right)$ suy ra $AD = \sqrt {{{\left( { - 1{,}3} \right)}^2} + {{\left( { - 0{,}7} \right)}^2} + 0,{7^2}} \approx 1{,}63\left( m \right)$.

b) Đúng

Ta có $\overrightarrow {DB} = \left( {1{,}3; - 0{,}7;0{,}7} \right)$ và $\overrightarrow u = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} = \left( {0; - 1{,}4;1{,}4} \right)$

Hợp lực $\overrightarrow F$ sẽ cùng phương với $\overrightarrow u = \left( {0; - 1{,}4;1{,}4} \right)$. Vectơ chỉ phương của $Oz$ là $\overrightarrow k = \left( {0;\,0;\,1} \right)$

Do $- 1{,}4 \ne 0$ nên nó không song song với trục $Oz$.

c) Đúng

Điều kiện cân bằng $\overrightarrow F = \overrightarrow {{T_1}} + \overrightarrow {{T_2}}$.

Ta có: $\overrightarrow {{T_1}} = 320 \cdot \frac{{\overrightarrow {DA} }}{{\left| {\overrightarrow {DA} } \right|}}$, $\overrightarrow {{T_2}} = 320 \cdot \frac{{\overrightarrow {DB} }}{{\left| {\overrightarrow {DB} } \right|}}$, $DA = DB = \sqrt {2{,}67}$.

Suy ra

$\left| {\overrightarrow F } \right| = \left| {320 \cdot \frac{{\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} }}{{\sqrt {2{,}67} }}} \right| = \frac{{320}}{{\sqrt {2{,}67} }} \cdot \left| {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} } \right| = \frac{{320}}{{\sqrt {2{,}67} }} \cdot \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 1{,}4} \right)}^2} + 1,{4^2}} \approx 387{,}74\left( N \right)$.

d) Sai

Gọi vị trí mới của tay có tọa độ $D'\left( {0;y;1{,}2} \right)$. Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {D'A} = \left( { - 1{,}3; - y;0{,}7} \right)\\\overrightarrow {D'B} = \left( {1{,}3; - y;0{,}7} \right)\end{array} \right.$

Để góc giữa hai dây bằng $90^\circ$ thì $\overrightarrow {D'A} \cdot \overrightarrow {D'B} = 0 \Leftrightarrow y_D^2 = 1{,}2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{y_D} \approx 1{,}10\\{y_D} \approx - 1{,}10.\end{array} \right.$

Vị trí đứng tập ở chiều dương nên ${y_D} = 1{,}10\left( m \right)$.

ĐS: 0,23

Không gian mẫu là số cách chọn 4 lá thăm từ 25 lá: $n(\Omega ) = C_{25}^4 = 12650$

Trong tập hợp các số từ 1 đến 25, ta phân loại như sau:

Tập hợp các số nguyên tố $P = \{ 2{,}3{,}5{,}7{,}11{,}13{,}17{,}19{,}23\}$ có 9 số. Trong đó, số 2 là số chẵn, còn lại 8 số là số lẻ.

Tập hợp các số không phải số nguyên tố $K = \{ 1{,}4{,}6{,}8{,}9{,}10{,}12{,}14{,}15{,}16{,}18{,}20{,}21{,}22{,}24{,}25\}$ có 16 số. Trong đó có 11 số chẵn và 5 số lẻ.

Để tổng 4 số là một số chẵn, số lượng các số lẻ được chọn phải là số chẵn (0, 2, hoặc 4 số lẻ). Đồng thời, bộ số phải chứa ít nhất 2 số nguyên tố. Ta xét các trường hợp thỏa mãn như sau:

Trường hợp 1: Có đúng 2 số nguyên tố

Nếu 2 số nguyên tố là {số 2, số lẻ} (tức là: 1 số chẵn, 1 số lẻ): Để tổng chẵn, 2 số còn lại (từ tập K) phải có 1 số chẵn 1 số lẻ. Số cách: $C_1^1.C_8^1.(C_{11}^1.C_5^1) = 440$

Nếu 2 số nguyên tố là {số lẻ, só lẻ} (tức là 2 số lẻ): Để tổng chẵn, 2 số còn lại phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Số cách: $C_8^2.(C_{11}^2 + C_5^2) = 1820$

Trường hợp 2: Có đúng 3 số nguyên tố

Nếu 3 số nguyên tố là {2, số lẻ, số lẻ} (tức là 1 chẵn, 2 lẻ): Để tổng chẵn, số còn lại phải là số chẵn. Số cách: $(C_1^1.C_8^2).C_{11}^1 = 308$

Nếu 3 số nguyên tố là {lẻ, lẻ, lẻ} (tức là 3 lẻ): Để tổng chẵn, số còn lại phải là 1 số lẻ. Số cách: $C_8^3.C_5^1 = 280$

Trường hợp 3: Có đúng 4 số nguyên tố

Nếu 4 số nguyên tố là {2, lẻ, lẻ, lẻ} (tức là 1 chẵn, 3 lẻ): Tổng sẽ là số lẻ (loại).

Nếu 4 số nguyên tố là {lẻ, lẻ, lẻ, lẻ} (tức là 4 lẻ): Tổng sẽ là số chẵn. Số cách: $C_8^4 = 70$

Tổng số cách chọn thuận lợi cho biến cố là: $n(A) = 440 + 1820 + 308 + 280 + 70 = 2918$

Xác suất cần tìm là: $P(A) = \frac{{2918}}{{12650}} \approx 0{,}23$.

Đáp án: 250.

Gọi vận tốc khai thác $v\,\,\,(km/h)$ cho đoàn tàu $\left( {200 \le v \le 350} \right)$

Ta có doanh thu bằng $1500 \times 4v = 6000v$ nghìn đồng

Tổng chi phí bằng $15{v^2} + 250000 \times \frac{{375}}{v}$ nghìn đồng

Khi đó ta có lợi nhuận bằng $f(v) = 6000v - 15{v^2} - \frac{{93750000}}{v}$

Ta có $f'(v) = 6000 - 30v + \frac{{93750000}}{{{v^2}}} = 0 \Rightarrow v = 250$

$v$	$200$ $250$ $350$
$f'(v)$	+ 0 -
$f(v)$

Vậy vận tốc của tàu bằng $v = 250\,\,km/h$ lợi nhuận ròng của một chuyến tàu là lớn nhất.

Đáp án: $5{,}2$

+) $\overrightarrow {MN} \left( {1200;0;0} \right)$. Vecto vận tốc $\overrightarrow {{v_1}} \left( {800;0;0} \right)$.

Tọa độ máy bay A tại thời điểm $t$: $A(t) = (800t;0;9)$

+) $\overrightarrow {PQ} = (600;200;0)$. Vecto vận tốc của nó là: ${\vec v_2} = (600;200;0)$

Tọa độ của máy bay B tại thời điểm $t$: $B(t) = (103 + 600t; - 97 + 200t;12)$

Ta có $\overrightarrow {AB} (t) = (103 - 200t;200t - 97;3)$

Bình phương khoảng cách giữa hai máy bay là

$f(t) = |\overrightarrow {AB} (t){|^2} = {(103 - 200t)^2} + {(200t - 97)^2} + {3^2}$

$f'(t) = - 41200 + 80000t + 80000t - 38800 = 160000t - 80000$

$f'(t) = 0 \Leftrightarrow 160000t = 80000 \Leftrightarrow t = 0{,}5$ (giờ),

Tại thời điểm $t = 0{,}5 \Rightarrow \overrightarrow {AB} \left( {3;3;3} \right)$.

Khoảng cách thực tế ngắn nhất là: $d = \sqrt {{3^2} + {3^2} + {3^2}} = \sqrt {27} \approx 5{,}1961...$

Làm tròn đến hàng phần trăm, ta được kết quả: 5,2.

Đáp án: $2{,}49$.

Chọn hệ trục toạ độ ${\rm{Ox}}yz$ như hình vẽ, với điểm $A$là gốc toạ độ.

Khi đó $A\left( {0;0;0} \right),B\left( {4;0;0} \right),C\left( {4;8;0} \right),D\left( {0;8;0} \right),S\left( {0;0;4\sqrt 3 } \right).$

$$\begin{array}{l}\overrightarrow {BD} \left( { - 4;8;0} \right),\overrightarrow {SC} \left( {4;8; - 4\sqrt 3 } \right),\left[ {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( { - 32\sqrt 3 ; - 16\sqrt 3 ; - 64} \right),\overrightarrow {BC} \left( {0;8;0} \right),\\\left[ {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {SC} } \right].\overrightarrow {BC} = - 128\sqrt 3 ,d\left( {BD,SC} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {SC} } \right].\overrightarrow {BC} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {SC} } \right]} \right|}} \approx 2{,}49.\end{array}$$

Đáp án: 370

Gọi diện tích trồng bưởi da xanh và cam sành lần lượt là $x,y\,\,\left( {x,y \ge 0} \right)$, đơn vị: ha.

Lập luận để tìm ra hệ bất phương trình:

Do trang trại quy hoạch trồng bưởi da xanh và cam sành trên tổng diện tích tối đa là 10 ha nên $x + y \le 10$.

Để trồng 1 ha bưởi da xanh cần 20 công lao động và 1 ha cam sành cần 10 công lao động, mà trang trại hiện có tối đa 160 công lao động nên $20x + 10y \le 160$$\Leftrightarrow 2x + y \le 16$.

Để trồng 1 ha bưởi da xanh cần 20 triệu đồng tiền vốn và 1 ha cam sành cần 30 triệu đồng tiền vốn, mà trang trại hiện có nguồn vốn đầu tư không vượt quá 270 triệu đồng nên $20x + 30y \le 270$$\Leftrightarrow 2x + 3y \le 27$.

Lợi nhuận thu được ước tính là 30 triệu/ha bưởi da xanh và 40 triệu/ha cam sành nên ta có hàm lợi nhuận là: $F\left( {x,y} \right) = 30x + 40y$ (triệu đồng).

Khi đó bài toán trở thành: Cho hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 10\\2x + y \le 16\\2x + 3y \le 27\end{array} \right.$. Tìm GTLN của $F\left( {x,y} \right) = 30x + 40y$.

Biểu diễn miền nghiệm là ngũ giác $OABCD$ (phần màu xám) kể cả bờ với $O\left( {0;0} \right),A\left( {0;9} \right),B\left( {3;7} \right),C\left( {6;4} \right),D\left( {8;0} \right)$.

Ta tính được F lớn nhất tại B: $F\left( B \right) = 30 \cdot 3 + 40 \cdot 7 = 370$.

Đáp án: 8.

Tốc độ giảm ô nhiễm: $v\left( t \right) = - P'\left( t \right) = - {t^2} + 16t - 48$

$\Rightarrow v'\left( t \right) = - 2t + 16 = 0 \Leftrightarrow t = 8$.

Hàm số $v\left( t \right) = - {t^2} + 16t - 48$ liên tục trên $\left[ {0;12} \right]$, mà $v\left( 0 \right) = - 48,v\left( 8 \right) = 16,v\left( {12} \right) = 0$

Suy ra thời điểm $t = 8$ thì tốc độ giảm ô nhiễm đạt giá trị lớn nhất.