Toán · Tốt nghiệp THPT

Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Cụm 5 các trường THPT Ninh Bình có đáp án

22 câu · 90 phút · Ngân hàng đề TopStudy. Đáp án và lời giải do TopStudy biên soạn, mở ngay dưới từng câu.

Nội dung đề

Phần I. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn

Câu 1

0,25 điểm

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án

Trong không gian $Oxyz$ , phương trình của mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A(2;1; - 3)$ , đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng $(Q):x + y + 3z = 0$ , $(R):2x - y + z = 0$ là

Đáp án A: $4x - 5y - 3z - 12 = 0$ .
Đáp án B: $4x + 5y - 3z - 4 = 0$ .
Đáp án C: $4x - 5y - 3z - 8 = 0$ .
Đáp án D: $4x + 5y - 3z - 22 = 0$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: D

Chọn D

Mặt phẳng $(Q)$ có véctơ pháp tuyến là ${\vec n_Q} = (1;1;3)$ .

Mặt phẳng $(R)$ có véctơ pháp tuyến là ${\vec n_R} = (2; - 1;1)$ .

Vì mặt phẳng $(P)$ vuông góc với cả hai mặt phẳng $(Q)$ và $(R)$ nên véctơ pháp tuyến của $(P)$ là ${\vec n_P}$ sẽ vuông góc với cả ${\vec n_Q}$ và ${\vec n_R}$ .

Do đó, ta có thể chọn ${\vec n_P} = \left[ {{{\vec n}_Q},{{\vec n}_R}} \right]$ $= (4;5; - 3)$ .

Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A(2;1; - 3)$ và có véctơ pháp tuyến ${\vec n_P} = (4;5; - 3)$ nên phương trình của $(P)$ là: $4(x - 2) + 5(y - 1) - 3(z - ( - 3)) = 0$ $\Leftrightarrow 4x + 5y - 3z - 22 = 0$ .

Vậy phương trình mặt phẳng $(P)$ là $4x + 5y - 3z - 22 = 0$ .

Câu 2

0,25 điểm

Hình vẽ sau đây là đồ thị của một trong bốn hàm số cho ở các đáp án $A,B,C,D$ . Hỏi đó là hàm số nào?

Hình minh hoạ

Đáp án A: $y = {x^3} + 2x + 1$ .
Đáp án B: $y = {x^3} - 3x$ .
Đáp án C: $y = - {x^3} + 3x$ .
Đáp án D: $y = {x^3} + 3{x^2}$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: B

Chọn B

Từ đồ thị ta có $a > 0$ nên loại đáp án C

Đồ thị đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$ nên $c = 0$ ( loại đáp án A)

Đồ thị có hai điểm cực trị nên pt $y' = 0$ có 2 nghiệm phân biệt (loại đáp án D).

Câu 3

0,25 điểm

Cho hình chóp đều

S.ABCD

có cạnh đáy

2a

, cạnh bên

4a

. Tính độ dài đường cao hình chóp.

Đáp án A: $3a$ .
Đáp án B: $2a$ .
Đáp án C: $a\sqrt {14}$ .
Đáp án D: $a\sqrt {15}$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Chọn C

Hình minh hoạ

Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$ . Do $S.ABCD$ là hình chóp đều nên $SO$ là đường cao của hình chóp.

Cạnh đáy của hình chóp là $AB = 2a$ .

Đường chéo của hình vuông $ABCD$ là $AC = AB\sqrt 2 = (2a)\sqrt 2$ .

Tâm $O$ của hình vuông là trung điểm của $AC$ .

Vậy $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}(2a\sqrt 2 ) = a\sqrt 2$ .

Cạnh bên của hình chóp là $SA = 4a$ .

Xét tam giác vuông $SOA$ tại $O$ , ta có: $S{A^2} = S{O^2} + A{O^2}$ $\Rightarrow {(4a)^2} = S{O^2} + {(a\sqrt 2 )^2}$

$\Rightarrow SO = \sqrt {14{a^2}} = a\sqrt {14}$ .

Vậy độ dài đường cao hình chóp là $a\sqrt {14}$ .

Câu 4

0,25 điểm

Cho bảng phân bố tần số ghép lớp về độ dài của 60 lá dương xỉ trưởng thành như sau:

Hình minh hoạ

Tính khoảng tứ phân vị (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) của mẫu số liệu trên?

Đáp án A: $13{,}5$ .
Đáp án B: $13{,}6$ .
Đáp án C: $13{,}8$ .
Đáp án D: $13{,}7$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: D

Chọn D

$N = 7 + 19 + 24 + 10 = 60$ .

Để tính khoảng tứ phân vị, ta cần tìm ${Q_1}$ và ${Q_3}$ .

1. Tính tứ phân vị thứ nhất ( ${Q_1}$ ): Vị trí của ${Q_1}$ là $\frac{N}{4} = \frac{{60}}{4} = 15$ .

Lớp chứa ${Q_1}$ là $[20;30)$ .

${Q_1} = 20 + \frac{{15 - 7}}{{19}} \cdot 10 = 20 + \frac{8}{{19}} \cdot 10 = 20 + \frac{{80}}{{19}} = \frac{{460}}{{19}}$ .

2. Tính tứ phân vị thứ ba ( ${Q_3}$ ):

Vị trí của ${Q_3}$ là $\frac{{3N}}{4} = \frac{{3 \cdot 60}}{4} = 45$ .

Lớp chứa ${Q_3}$ là $[30;40)$ . ${Q_3} = 30 + \frac{{45 - 26}}{{24}} \cdot 10 = 30 + \frac{{19}}{{24}} \cdot 10 = 30 + \frac{{190}}{{24}} = 30 + \frac{{95}}{{12}} = \frac{{455}}{{12}}$ .

3. Tính khoảng tứ phân vị:

Khoảng tứ phân vị là ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}$ $= \frac{{455}}{{12}} - \frac{{460}}{{19}} = \frac{{3125}}{{228}} \approx 13{,}7$ .

Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất, ta được ${\Delta _Q} \approx 13.7$ .

Câu 5

0,25 điểm

Cho

F(x)

là nguyên hàm của hàm số

f(x) = 6{x^5} + \frac{1}{{{x^3}}}

thỏa mãn

F(1) = 0

. Tìm

F(x)

Đáp án A: $F(x) = {x^6} - \frac{1}{{2{x^2}}} + \frac{1}{2}$ .
Đáp án B: $F(x) = {x^6} + \frac{1}{{2{x^2}}} - \frac{3}{2}$ .
Đáp án C: $F(x) = {x^6} - \frac{1}{{2{x^2}}} - \frac{1}{2}$ .
Đáp án D: $F(x) = {x^6} - \frac{3}{{{x^2}}} + 2$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Chọn C

$f(x) = 6{x^5} + \frac{1}{{{x^3}}} \Rightarrow F(x) = \int {f(x)dx = \int {(6{x^5} + \frac{1}{{{x^3}}})dx} } = {x^6} - \frac{1}{{2{x^2}}} + C$ .

Ta có: $F(1) = 0 \Rightarrow {1^6} - \frac{1}{{{{2.1}^2}}} + C = 0 \Rightarrow C = - \frac{1}{2}$ .

Khi đó: $F(x) = {x^6} - \frac{1}{{2{x^2}}} - \frac{1}{2}$ .

Câu 6

0,25 điểm

Dãy số nào sau đây là cấp số cộng?

Đáp án A: $\left( {{u_n}} \right):{u_n} = \frac{1}{n}$ .
Đáp án B: $\left( {{u_n}} \right):{u_n} = 2{u_{n - 1}},\forall n \ge 2$ .
Đáp án C: $\left( {{u_n}} \right):{u_n} = {u_{n - 1}} - 2,\forall {\rm{n}} \ge 2$ .
Đáp án D: $\left( {{u_n}} \right):{u_n} = {2^n} - 1$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 6

Câu 7

0,25 điểm

Khoảng cách giữa hai điểm

I(1;4; - 3)

và

K(6;4;5)

là:

Đáp án A: $\sqrt {95}$ .
Đáp án B: $\sqrt {103}$ .
Đáp án C: $\sqrt {89}$ .
Đáp án D: $\sqrt {114}$

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 7

Câu 8

0,25 điểm

Cho

{\log _{0{,}2}}x > {\log _{0{,}2}}y

. Chọn khẳng định đúng:

Đáp án A: $y > x \ge 0$ .
Đáp án B: $x > y \ge 0$ .
Đáp án C: $x > y > 0$ .
Đáp án D: $y > x > 0$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 8

Câu 9

0,25 điểm

Cho hàm số

y = f\left( x \right)

có đạo hàm

f'\left( x \right) = \left( {2x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)

. Hàm số

y = f\left( x \right)

có giá trị lớn nhất trên

\left[ { - 2;\,0} \right]

bằng

Đáp án A: $f\left( { - \frac{1}{2}} \right)$ .
Đáp án B: $f\left( { - 1} \right)$ .
Đáp án C: $f\left( 0 \right)$ .
Đáp án D: $f\left( { - 2} \right)$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 9

Câu 10

0,25 điểm

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số

y = 2x + 3 + \frac{1}{{x - 1}}

là

Đáp án A: $0$ .
Đáp án B: $3$ .
Đáp án C: $1$ .
Đáp án D: $2$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 10

Câu 11

0,25 điểm

Cho hình hộp

ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}

. Khẳng định nào dưới dây sai?

Đáp án A: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {A{A_1}} = \overrightarrow {A{C_1}}$ .
Đáp án B: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {D{D_1}} = \overrightarrow {A{D_1}}$ .
Đáp án C: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {C{C_1}} = \overrightarrow {A{B_1}}$ .
Đáp án D: $\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {B{B_1}} = \overrightarrow {A{D_1}}$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 11

Câu 12

0,25 điểm

Biết

\int {g\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = G\left( x \right) + C

(với

C

là hằng số). Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?

Đáp án A: $g'\left( x \right) = G\left( x \right) + C$ .
Đáp án B: $G'\left( x \right) = g\left( x \right)$ .
Đáp án C: $G'\left( x \right) = g\left( x \right) - C$ .
Đáp án D: $g'\left( x \right) = G\left( x \right)$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 12

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 13

1 điểm

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng (Đ) hoặc sai (S)

Cho một bể chứa nước và ban đầu chưa có nước. Người ta bắt đầu bơm nước vào bể với lưu lượng là ${L_1}(t) = 6t + 3$ (lít/phút). Cùng lúc đó, do bể có một vết nứt dưới đáy nên nước bị chảy ra ngoài với lưu lượng là ${L_2}(t) = 2t$ (lít/phút). Dung tích tối đa của bể là $2015$ lít.Hỏi trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào là đúng, mệnh đề nào là sai?

Ý a: [VD] Khi nước chảy vào vừa làm đầy bể, thì đã có nhiều hơn $900$ lít nước bị chảy ra ngoài (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Ý b: [TH] Nếu bơm được $30$ phút thì dừng thì lượng nước trong bể chưa đầy bể.
Ý c: [NB] Thể tích nước được bơm vào bể trong 5 phút đầu tiên là $90$ (lít).
Ý d: [NB] Thể tích nước chảy ra từ bể trong 5 phút đầu tiên là 10 (lít).

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 13

Câu 14

1 điểm

Một công ty sau khi ra mắt sản phẩm mới đã ghi nhận lợi nhuận

P\left( t \right)

(đơn vị: triệu đồng) sau

t

tháng kinh doanh. Trong năm đầu tiên, giả sử mối liên hệ giữa lợi nhuận và thời gian kinh doanh được mô hình hóa bởi hàm số:

P\left( t \right) = - {t^3} + 10{t^2} + 63t - 45,\,0 \le t \le 12

Ý a: [NB] Lợi nhuận của công ty sau $1$ quý là $27$ triệu đồng.
Ý b: [TH] Lợi nhuận của công ty đạt mức tối đa tại thời điểm $t = 9$ .
Ý c: [TH] Tại thời điểm $t = 4$ thì tốc độ tăng trưởng lợi nhuận là lớn nhất.
Ý d: [NB] Hàm số biểu thị tốc độ tăng trưởng lợi nhuận $P'\left( t \right) = - 3{t^2} + 20t + 63t$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 14

Câu 15

1 điểm

Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

, cho ba điểm

A\left( {a;0;0} \right),\,B\left( {0;b;0} \right),\,C\left( {0;0;c} \right)

với

a,b,c

đều dương.

Ý a: [NB] Mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ có phương trình: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ .
Ý b: [TH] Mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ đi qua điểm $G\left( {1;2;3} \right)$ sao cho $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ có phương trình là $6x + 3y + 2z + 18 = 0$ .
Ý c: [TH] Mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ đi qua điểm $H\left( {1;1;1} \right)$ sao cho $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ có phương trình là $x + y + z - 3 = 0$ .
Ý d: [VDC] Mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ đi qua điểm $M\left( {2; - 2;3} \right)$ sao cho độ dài $OA,\,OB,\,OC$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng có công sai bằng $2$ . Khoảng cách từ điểm $D\left( {1;1;1} \right)$ đến mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ bằng $\frac{m}{n}$ , với $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Khi đó $T = m + n = 8$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 15

Câu 16

1 điểm

Một công ty bất động sản thực hiện cuộc khảo sát khách hàng xem họ có nhu cầu mua ở mức giá nào cho một căn nhà, để tiến hành dự án xây dựng khu đô thị mới sắp tới. Kết quả khảo sát 500 khách hàng được ghi lại ở bảng sau:

Hình minh hoạ

Ý a: Tứ phân vị thứ ba là $25$
Ý b: Độ dài mỗi nhóm là $4$
Ý c: Biết rằng công ty sẽ xây dựng phân phúc nhà giá rẻ cho $25\%$ số khách hàng có nhu cầu ở mức giá thấp nhất theo khảo sát, xây dựng phân khúc nhà giá cao cấp cho $25\%$ số khách hàng mua ở mức giá cao nhất theo khảo sát. Tuy nhiên trước hết sẽ ưu tiên xây dựng phân khúc nhà tầng trung hướng tới $50\%$ khách hàng còn lại. Khi đó, theo khảo sát, độ chênh lệch giá cao nhất và giá thấp nhất (đúng đến hàng phần mười, đơn vị triệu đồng) dành cho phân khúc nhà tầm trung là $6{,}1$ triệu đồng.
Ý d: Phương sai xấp xỉ $20{,}52$

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 16

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 17

0,5 điểm

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Một nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy B, nhà máy A chỉ bán sản phẩm cho nhà máy B và nhà máy B cam kết thu mua hết số sản phẩm mà nhà máy A sản xuất được. Nhà máy A có khả năng sản xuất tối đa là 200 tấn sản phẩm trong một tháng. Nếu bán ra $x$ tấn sản phẩm cho nhà máy B thì giá bán mỗi tấn sản phẩm là $50 - 0{,}0002{x^2}$ triệu đồng. Trong một tháng nhà máy A phải chi phí cho nhân công và chi phí khấu hao máy móc một lượng cố định là 150 triệu đồng, ngoài ra khi sản xuất mỗi tấn sản phẩm thì nhà máy phải chi thêm cho mua nguyên vật liệu là 35 triệu đồng. Biết rằng nhà máy A phải nộp 5% doanh thu cho cơ quan thuế. Tính lợi nhuận sau thuế (lợi nhuận khi đã trừ thuế) lớn nhất thu được trong một tháng của nhà máy A (đơn vị tính là tỉ đồng và kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 17

Câu 18

0,5 điểm

Trong không gian với hệ trục toạ độ

Oxyz

, cho hình hộp

ABCD.A'B'C'D'

có

A\left( { - 3;2;1} \right),

C\left( {4;2;0} \right),B'\left( { - 2;1;1} \right),D'\left( {3;5;4} \right)

. Gọi toạ độ điểm

A'\left( {a;b;c} \right)

. Tính giá trị của biểu thức

\frac{{a - b - c}}{2}

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 18

Câu 19

0,5 điểm

Một mái nhà được tạo bởi hai nửa lục giác đều $ABCD,\,\,ABC'D'$ và hai tam giác bằng nhau $ADD',\,\,BCC'.$ Biết $CDD'C'$ là hình chữ nhật và $AB{\rm{//}}CD{\rm{//}}C'D',$ $CD = C'D' = 2AB = 6\,\,{\rm{m}},\,$ $DD' = 4\,\,{\rm{m}}.$ Tìm số đo góc nhị diện $\left[ {D',\,\,AD,\,\,C} \right].$ (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

Hình minh hoạ

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 19

Câu 20

0,5 điểm

Trong hệ trục tọa độ Oxy, đơn vị mỗi trục là mét, một đường trượt mới sẽ được xây dựng theo bản thiết kế đã trình bày như hình vẽ. Thanh trượt bắt đầu từ A và kết thúc tại $C$ , đường cong của thanh trượt là một phần của đồ thị hàm số $f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + d}}$ , biết đồ thị hàm số $f(x)$ tiếp xúc với trục Ox tại điểm $B$ .

Hình minh hoạ

Bạn Nam bắt đầu trượt từ điểm A, hỏi khi Nam cách vị trí ban đầu theo phương ngang một khoảng 5 mét thì Nam cách mặt đất bao nhiêu mét, biết trục Ox nằm trên mặt đất (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 20

Câu 21

0,5 điểm

Một hộ gia đình muốn xây dựng một kho chứa mini dạng khối tứ diện OABC tận dụng góc tường nhà (với O là góc tường, ba cạnh OA, OB, OC nằm trên ba mép tường vuông góc). Để lắp đặt hệ thống thông gió, mặt phía trước của kho (mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ ) bắt buộc phải đi qua một van điều tiết đặt tại vị trí M có tọa độ $M\left( {1;2;1} \right)$ (đơn vị tính là mét). Gia đình muốn thiết kế kho sao cho thể tích của kho là nhỏ nhất để không làm ảnh hưởng quá nhiều đến diện tích sinh hoạt của sân chung. Khi kho được thiết kế với thể tích nhỏ nhất, hãy tính khoảng cách từ góc tường O đến mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ .

Hình minh hoạ

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 21

Câu 22

0,5 điểm

Giả sử dân số Việt Nam được dự báo theo mô hình logistis, giai đoạn từ năm 2023 đến năm 2035 là hàm số

P\left( t \right) = \frac{{120}}{{1 + 0{,}2{e^{ - 0{,}06t}}}}

(triệu người), trong đó

t

là số năm tính từ 2023. Chi phí an sinh xã hội bình quân theo đầu người được mô hình hóa bằng hàm số

C\left( t \right) = 25 - 20{e^{ - 0{,}05t}}

(triệu đồng/đầu người/năm). Tính tốc độ thay đổi của tổng chi phí an sinh xã hội toàn quốc (nghìn tỷ đồng/năm) vào đầu năm 2030 (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 22

Làm bài

Đề cùng chủ đề

Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Sở GD&ĐT Đồng Nai lần 2 có đáp án 22 câu · Ngân hàng đề TopStudy
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Sở GD&ĐT Điện Biên có đáp án 22 câu · Ngân hàng đề TopStudy
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Sở GD&ĐT Ninh Bình lần 3 có đáp án 22 câu · Ngân hàng đề TopStudy
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Sở Nghệ An lần 2 có đáp án 22 câu · Ngân hàng đề TopStudy
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Cụm chuyên môn 4 Đắk Lắk có đáp án 22 câu · Ngân hàng đề TopStudy
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Sở GD&ĐT Cao Bằng lần 1 có đáp án 22 câu · Ngân hàng đề TopStudy

Tất cả đề Đề thi thử Toán Tốt nghiệp THPT 2025-2026 (từ Trường/Sở) · Các bộ sách Toán Tốt nghiệp THPT