Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Cụm 5 các trường THPT Ninh Bình có đáp án

Chọn D

Mặt phẳng $(Q)$ có véctơ pháp tuyến là ${\vec n_Q} = (1;1;3)$.

Mặt phẳng $(R)$ có véctơ pháp tuyến là ${\vec n_R} = (2; - 1;1)$.

Vì mặt phẳng $(P)$ vuông góc với cả hai mặt phẳng $(Q)$ và $(R)$ nên véctơ pháp tuyến của $(P)$ là ${\vec n_P}$ sẽ vuông góc với cả ${\vec n_Q}$ và ${\vec n_R}$.

Do đó, ta có thể chọn ${\vec n_P} = \left[ {{{\vec n}_Q},{{\vec n}_R}} \right]$$= (4;5; - 3)$.

Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A(2;1; - 3)$ và có véctơ pháp tuyến ${\vec n_P} = (4;5; - 3)$ nên phương trình của $(P)$ là: $4(x - 2) + 5(y - 1) - 3(z - ( - 3)) = 0$$\Leftrightarrow 4x + 5y - 3z - 22 = 0$.

Vậy phương trình mặt phẳng $(P)$ là $4x + 5y - 3z - 22 = 0$.

Chọn B

Từ đồ thị ta có $a > 0$ nên loại đáp án C

Đồ thị đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$ nên $c = 0$( loại đáp án A)

Đồ thị có hai điểm cực trị nên pt $y' = 0$ có 2 nghiệm phân biệt (loại đáp án D).

Chọn C

Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$. Do $S.ABCD$ là hình chóp đều nên $SO$ là đường cao của hình chóp.

Cạnh đáy của hình chóp là $AB = 2a$.

Đường chéo của hình vuông $ABCD$ là $AC = AB\sqrt 2 = (2a)\sqrt 2$.

Tâm $O$ của hình vuông là trung điểm của $AC$.

Vậy $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}(2a\sqrt 2 ) = a\sqrt 2$.

Cạnh bên của hình chóp là $SA = 4a$.

Xét tam giác vuông $SOA$ tại $O$, ta có: $S{A^2} = S{O^2} + A{O^2}$$\Rightarrow {(4a)^2} = S{O^2} + {(a\sqrt 2 )^2}$

$\Rightarrow SO = \sqrt {14{a^2}} = a\sqrt {14}$.

Vậy độ dài đường cao hình chóp là $a\sqrt {14}$.

Chọn D

$N = 7 + 19 + 24 + 10 = 60$.

Để tính khoảng tứ phân vị, ta cần tìm ${Q_1}$ và ${Q_3}$.

1. Tính tứ phân vị thứ nhất (${Q_1}$): Vị trí của ${Q_1}$ là $\frac{N}{4} = \frac{{60}}{4} = 15$.

Lớp chứa ${Q_1}$ là $[20;30)$.

${Q_1} = 20 + \frac{{15 - 7}}{{19}} \cdot 10 = 20 + \frac{8}{{19}} \cdot 10 = 20 + \frac{{80}}{{19}} = \frac{{460}}{{19}}$.

2. Tính tứ phân vị thứ ba (${Q_3}$):

Vị trí của ${Q_3}$ là $\frac{{3N}}{4} = \frac{{3 \cdot 60}}{4} = 45$.

Lớp chứa ${Q_3}$ là $[30;40)$.${Q_3} = 30 + \frac{{45 - 26}}{{24}} \cdot 10 = 30 + \frac{{19}}{{24}} \cdot 10 = 30 + \frac{{190}}{{24}} = 30 + \frac{{95}}{{12}} = \frac{{455}}{{12}}$.

3. Tính khoảng tứ phân vị:

Khoảng tứ phân vị là ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}$$= \frac{{455}}{{12}} - \frac{{460}}{{19}} = \frac{{3125}}{{228}} \approx 13{,}7$.

Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất, ta được ${\Delta _Q} \approx 13.7$.

Chọn C

$f(x) = 6{x^5} + \frac{1}{{{x^3}}} \Rightarrow F(x) = \int {f(x)dx = \int {(6{x^5} + \frac{1}{{{x^3}}})dx} } = {x^6} - \frac{1}{{2{x^2}}} + C$.

Ta có: $F(1) = 0 \Rightarrow {1^6} - \frac{1}{{{{2.1}^2}}} + C = 0 \Rightarrow C = - \frac{1}{2}$.

Khi đó: $F(x) = {x^6} - \frac{1}{{2{x^2}}} - \frac{1}{2}$.

Chọn C

Ta có ${u_n} = {u_{n - 1}} - 2,\forall {\rm{n}} \ge 2 \Leftrightarrow {u_n} - {u_{n - 1}} = - 2,\forall {\rm{n}} \ge 2$ không đổi nên dãy $\left( {{u_n}} \right)$là CSC với công sai $d = - 2$

Chọn C

Khoảng cách giữa hai điểm I và K là: $IK = \sqrt {{{(1 - 6)}^2} + {{(4 - 4)}^2} + {{( - 3 - 5)}^2}} = \sqrt {89}$.

Chọn D

ĐKXĐ: $x > 0,y > 0$.

Vì cơ số $0{,}2 < 1$ nên hàm số logrit cơ số 0,2 là hàm nghịch biến.

Ta có:${\log _{0{,}2}}x > {\log _{0{,}2}}y$ $\Rightarrow y > x > 0$.

Chọn B

Ta có: $f'\left( x \right) = \left( {2x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = \frac{1}{2}}\\{x = - 1}\end{array}} \right.$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy: $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;\,0} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right)$

Chọn D

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {2x + 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {\frac{1}{{x - 1}}} \right) = 0 \Rightarrow y = 2x + 3$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {2x + 3 + \frac{1}{{x - 1}}} \right) = + \infty$$\Rightarrow x = 1$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Chọn B

Theo quy tắc hình hộp ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {A{A_1}} = \overrightarrow {A{C_1}}$$\Rightarrow$A đúng.

Ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {D{D_1}} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {B{B_1}} = \overrightarrow {A{B_1}} \Rightarrow$B sai.

$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {C{C_1}} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {B{B_1}} = \overrightarrow {A{B_1}}$$\Rightarrow$C đúng.

$\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {B{B_1}} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {D{D_1}} = \overrightarrow {A{D_1}}$$\Rightarrow$D đúng.

Chọn B

$\int {g\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = G\left( x \right) + C$$\Leftrightarrow G'\left( x \right) = g\left( x \right)$.

a) Đúng.

Ta có lưu lượng nước ròng là $L(t) = {L_1}(t) - {L_2}(t) = 4t + 3$.

Thời điểm $a$(phút) khi nước đầy bể là

$\int\limits_0^a {(4t + 3)dt} = 2015$$\Leftrightarrow 2{a^2} + 3a = 2015 \Rightarrow a = 31$ phút.

Vậy lượng nước chảy ra sau 31 phút bằng $\int\limits_0^{31} {2t} dt = 961 > 900$.

b) Đúng. Thời điểm $30$ phút khi bơm thì nước trong bể là $\int\limits_0^{30} {(4t + 3)dt} = 1890$ $< 2015$.

c) Đúng. Thể tích nước được bơm vào bể trong 5 phút đầu tiên là $\int\limits_0^5 {(6t + 3)} dt = 90$lít.

d) Sai. Thể tích nước chảy ra từ bể trong 5 phút đầu tiên là $\int\limits_0^5 {(2t)} dt = 25$lít.

a) Sai.

Lợi nhuận của công ty sau $1$ quý tương ứng với thời điểm $t = 3$ là $P\left( 3 \right) = 207$(triệu đồng).

b) Đúng.

Ta có: $P'\left( t \right) = - 3{t^2} + 20t + 63 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - \frac{7}{3}\\t = 9\end{array} \right.$.

Khi đó: $P\left( 0 \right) = - 45$, $P\left( 9 \right) = 603$, $P\left( {12} \right) = 423$.

Vậy lợi nhuận của công ty đạt mức tối đa là $603$ triệu đồng tại thời điểm $t = 9$ (tháng).

c) Sai.

Ta có: $P'\left( t \right) = - 3{t^2} + 20t + 63 = 0 = - 3\left( {{t^2} - \frac{{20}}{3}t + \frac{{100}}{9}} \right) + \frac{{289}}{3} = - 3{\left( {t - \frac{{10}}{3}} \right)^2} + \frac{{289}}{3} \le \frac{{289}}{3}$.

Vậy tốc độ tăng trưởng lợi nhuận là lớn nhất tại thời điểm $t = \frac{{10}}{3}$ (tháng).

d) Sai.

Hàm số biểu thị tốc độ tăng trưởng lợi nhuận là $P'\left( t \right) = - 3{t^2} + 20t + 63$.

a) Theo lý thuyết phương trình đoạn chắn thì mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$có phương trình:$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\,\,\,\left( 1 \right)$. Vậy a) Đúng.

b) Vì $G\left( {1;2;3} \right)$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên ta có: $\left\{ \begin{array}{l}1 = \frac{{a + 0 + 0}}{3}\\2 = \frac{{0 + b + 0}}{3}\\3 = \frac{{0 + 0 + c}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 6\\c = 9\end{array} \right.$

Thay vào $\left( 1 \right)$ta được phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là: $\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1\,\, \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 18 = 0$Vậy b) Sai.

c) Xét tứ diện $OABC$ có $OA,\,OB,\,OC$ đôi một vuông góc và $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ suy ra $OH \bot \left( {ABC} \right)$ nên $\left( {ABC} \right)$ đi qua $H$ và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {OH} = \left( {1;1;1} \right)$.

Khi đó $\left( {ABC} \right):x + y + z - 3 = 0$. Vậy c) Đúng

d) Phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ $\left( 1 \right)$

$M\left( {2; - 2;3} \right)$ thuộc mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ nên $\frac{2}{a} - \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1\,\,\left( 2 \right)$

Vì $a,b,c$đều dương nên ta có $OA = a;\,OB = b;\,OC = c$.

$OA,\,OB,\,OC$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng có công sai bằng $2$ nên suy ra

$b = a + 2$ và $c = a + 4$.

$\left( 2 \right) \Leftrightarrow$$\frac{2}{a} - \frac{2}{{a + 2}} + \frac{3}{{a + 4}} = 1\,\, \Leftrightarrow {a^3} + 3{a^2} - 2a - 16 = 0 \Leftrightarrow a = 2$.

Từ đó ta được $b = 4;\,c = 6$.

Thay vào $\left( 1 \right)$ta được phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là: $\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 12 = 0$

$D\left( {1;1;1} \right)$, $d\left( {D;\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{1}{7}$

Suy ra $m = 1;\,n = 7$. Do đó $T = m + n = 8$.

Vậy d) Đúng.

a) Kích thước mẫu $n = 500 \to \frac{n}{2} = 250$.

Xác định nhóm chứa ${Q_3}$: Xét nửa mẫu số liệu bên phải ${Q_2}$ gồm $250$ số liệu: Trung vị của nửa mẫu số liệu gốc này là trung bình cộng của hai giá trị đứng thứ $125$và đứng thứ $126$.

Suy ra ${Q_3}$ thuộc nhóm $3$.

${Q_3}$ của mẫu số liệu ghép nhóm được tính bởi:

${Q_3} = 18 + \frac{{\frac{{3 \times 500}}{4} - \left( {75 + 105)} \right)}}{{197}} \times \left( {22 - 18} \right) = 21{,}96$.

Vậy a) sai.

b) Độ dài mỗi nhóm bằng $14 - 10 = 4$. Vậy b) đúng.

c) ${Q_1}$ của mẫu số liệu gốc thuộc nhóm $2$

${Q_1}$ của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1} = 14 + \frac{{\frac{{500}}{4} - 75}}{{105}} \times \left( {18 - 14} \right) \approx 15{,}9$.

Suy ra $\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} \approx 21{,}96 - 15{,}9 = 6{,}06 \approx 6{,}1$.

Suy ra c) đúng.

d)

Giá trị trung bình của mẫu là $\overline x = \frac{{12 \times 75 + 16 \times 105 + 20 \times 197 + 24 \times 80 + 28 \times 43}}{{500}} = 19{,}288$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

$$s_x^2 = \frac{{75 \times {{\left( {12 - 19{,}288} \right)}^2} + 105 \times {{\left( {16 - 19{,}288} \right)}^2} + 197 \times {{\left( {20 - 19{,}288} \right)}^2} + 80 \times {{\left( {24 - 19{,}288} \right)}^2} + 43 \times {{\left( {28 - 19{,}288} \right)}^2}}}{{500}}$$

$s_x^2 \approx 20{,}52$. Suy ra chọn d) đúng.

Đáp án: $1{,}08$.

Doanh thu của nhà máy A trong một tháng là:

$D\left( x \right) = \left( {50 - 0{,}0002{x^2}} \right)x = 50x - 0{,}0002{x^3}$ (triệu đồng).

Tiền thuế nhà máy A phải nộp là $T\left( x \right) = D\left( x \right).5\%$ (triệu đồng).

Chi phí sản xuất: $C\left( x \right) = 150 + 35x$ (triệu đồng).

Lợi nhuận sau thuế trong một tháng của nhà máy A là:

$L\left( x \right) = D\left( x \right) - D\left( x \right).5\% - C\left( x \right) = 0{,}95.\left( {50x - 0{,}0002{x^3}} \right) - \left( {150 + 35x} \right)$

$= - 0{,}00019{x^3} + 12{,}5x - 150$ (triệu đồng)

Ta có $L'\left( x \right) = - 0{,}00057{x^2} + 12{,}5$

$L'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt {\frac{{125}}{{0{,}0057}}}$

Bảng biến thiên

Lợi nhuận sau thuế lớn nhất trong một tháng của nhà máy A là:

$\max L\left( x \right) = L\left( {\sqrt {\frac{{125}}{{0{,}0057}}} } \right) \times \frac{1}{{1000}} \approx 1{,}08$ (tỉ đồng).

Lời giải

Đáp án: $- 4{,}5$.

Gọi toạ độ điểm $C'\left( {m;n;p} \right)$.Vì $ACC'A'$ là hình bình hành nên

$$\left\{ \begin{array}{l}a + m = - 2 + 3\\b + n = 1 + 5\\c + p = 1 + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1 - 1\\n = 6 - b\\p = 5 - c\end{array} \right. \Rightarrow C'\left( {1 - a;6 - b;5 - c} \right)$$

Vì $A'B'C'D'$ là hình bình hành nên

$\left\{ \begin{array}{l} - 3 + 1 - a = a + 4\\2 + 6 - b = b + 2\\1 + 5 - c = c + 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\b = 3\\c = 3\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( { - 3;3;3} \right) \Rightarrow \frac{{a - b - c}}{2} = - 4{,}5$.

Đáp số: $121$

Gọi $M,\,N$ lần lượt là trung điểm của $DC,\,DA$. Kẻ $NP \bot AD$ tại $N,\,P \in DD'$ $\Rightarrow \left[ {D',\,\,AD,\,\,C} \right] = \widehat {MNP}$.

Từ giả thiết suy ra $AM = AD = AD' = DM = 3$. Tam giác $ADM$ đều nên $MN = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}$.

Xét $\Delta ADD'$ có ${\rm{cos}}\widehat {ADD'} = \frac{{D{A^2} + D{{D'}^2} - A{{D'}^2}}}{{2.DA.DD'}} = \frac{{{3^2} + {4^2} - {3^2}}}{{2.3.4}} = \frac{2}{3}$.

Xét $\Delta DNP$ vuông tại $N$ có

${\rm{cos}}\widehat {NDP} = \frac{{DN}}{{DP}} \Rightarrow DP = \frac{{DN}}{{{\rm{cos}}\widehat {NDP}}} = \frac{9}{4}$$\Rightarrow PN = \sqrt {D{P^2} - D{N^2}} = \frac{{3\sqrt 5 }}{4}$;

Xét $\Delta DMP$ vuông tại $D$ có $MP = \sqrt {D{M^2} + D{P^2}} = \frac{{15}}{4}$.

Xét $\Delta MNP$ có

$${\rm{cos}}\widehat {MNP} = \frac{{N{M^2} + N{P^2} - P{M^2}}}{{2.NM.NP}} = \frac{{{{\left( {\frac{{3\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{3\sqrt 5 }}{4}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{15}}{4}} \right)}^2}}}{{2.\frac{{3\sqrt 3 }}{2}.\frac{{3\sqrt 5 }}{4}}} = - \frac{{2\sqrt {15} }}{{15}} \Rightarrow \widehat {MNP} \approx 121^\circ$$

Vậy $\left[ {D',\,\,AD,\,\,C} \right] \approx 121^\circ$.

Đáp án: 1,67.

Ta có đồ thị hàm số $f(x)$ tiếp xúc với trục Ox tại điểm $B\left( {10;0} \right)$ nên $f\left( x \right) = \frac{{a{{\left( {x - 10} \right)}^2}}}{{x + d}}$

Đồ thị đi qua $A\left( {0;10} \right) \Rightarrow 10 = \frac{{a.100}}{d} \Rightarrow d = 10a$.

Đồ thị đi qua $C\left( {15;1} \right) \Rightarrow 1 = \frac{{a.25}}{{15 + d}} \Rightarrow 15 + d = 25a \Rightarrow 15 + 10a = 25a \Rightarrow a = 1;d = 10$.

Do đó $f\left( x \right) = \frac{{{{\left( {x - 10} \right)}^2}}}{{x + 10}}$.

Có $x = 5 \Rightarrow y = \frac{{25}}{{15}} \approx 1{,}67$

Vậy Nam cách vị trí ban đầu theo phương ngang 1 khoảng 5 mét thì nam cách mặt đất $1{,}67\left( m \right)$

Đáp án: 2.

Đặt hệ trục tọa độ Oxyz có gốc $O(0;0;0)$, các tia Ox, Oy, Oz lần lượt chứa các cạnh OA, OB, OC của tứ diện. Gọi tọa độ các điểm là $A(a;0;0)$, $B(0;b;0)$, $C(0;0;c)$ với $a,b,c > 0$.

Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ có dạng mặt phẳng theo đoạn chắn: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$.

Vì mặt phẳng $(ABC)$ đi qua điểm $M(1;2;1)$ nên ta có hệ thức: $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1$.

Thể tích khối tứ diện OABC là: $V = \frac{1}{6}abc$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) cho ba số dương $\frac{1}{a},\frac{2}{b},\frac{1}{c}$, ta có:

$1 = \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{a} \cdot \frac{2}{b} \cdot \frac{1}{c}}} = 3\sqrt[3]{{\frac{2}{{abc}}}}$ $\Rightarrow 1 \ge 27 \cdot \frac{2}{{abc}} \Rightarrow abc \ge 54$.

Thể tích nhỏ nhất ${V_{min}} = \frac{1}{6} \cdot 54 = 9{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}$ khi và chỉ khi: $\frac{1}{a} = \frac{2}{b} = \frac{1}{c} = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow a = 3,b = 6,c = 3$.

Khi đó, phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là: $\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{3} = 1 \Leftrightarrow 2x + y + 2z - 6 = 0$.

Khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến mặt phẳng $(ABC)$ là:

$d(O,(ABC)) = \frac{{|2 \cdot 0 + 0 + 2 \cdot 0 - 6|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{{| - 6|}}{{\sqrt 9 }} = \frac{6}{3} = 2{\rm{ m}}$.

Đáp án: 83.

Gọi $T\left( t \right)$ là tổng chi phí an sinh xã hội toàn quốc tại thời điểm $t$ (tính từ đầu năm 2023)

Khi đó $T\left( t \right) = P\left( t \right).C\left( t \right)$

$T'\left( t \right) = \frac{{1.44{e^{ - 0{,}06t}}}}{{{{\left( {1 + 0{,}2{e^{ - 0{,}06t}}} \right)}^2}}}\left( {25 - 20{e^{ - 0{,}05t}}} \right) + \frac{{120}}{{1 + 0{,}2{e^{ - 0{,}06t}}}}{e^{ - 0{,}05t}}$.

Tốc độ thay đổi của tổng chi phí an sinh xã hội toàn quốc (nghìn tỷ đồng/năm) vào đầu năm 2030

$T'\left( 7 \right) \approx 83$ (nghìn tỷ đồng/năm).