Toán · Lớp 12

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Việt Đức (Hà Nội) có đáp án

22 câu · 33 phút · Ngân hàng đề TopStudy. Đáp án và lời giải do TopStudy biên soạn, mở ngay dưới từng câu.

Nội dung đề

Phần I. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn

Câu 1

1 điểm

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Vectơ $\vec u = \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {A'D'}$ bằng vectơ nào dưới đây?

Đáp án A: $\vec u = \overrightarrow {AC'}$ .
Đáp án B: $\vec u = \overrightarrow {CA'}$ .
Đáp án C: $\vec u = \overrightarrow {A'C} .$
Đáp án D: $\vec u = \overrightarrow {C'A}$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Theo quy tắc hình hộp đối với hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có chung đỉnh xuất phát là $A'$ , ta có:

$\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {A'D'} = \overrightarrow {A'C}$

Do đó, $\vec u = \overrightarrow {A'C}$ .

Chọn C.

Câu 2

1 điểm

Đồ thị sau là của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?

Hình minh hoạ

Đáp án A: $y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}$ .
Đáp án B: $y = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}.$
Đáp án C: $y = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}.$
Đáp án D: $y = \frac{{x + 2}}{{x - 1}}.$

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: B

Kiểm tra giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ:

- Cắt trục hoành tại điểm $\left( {2;0} \right)$ .
- Cắt trục tung tại điểm $\left( {0; - 2} \right)$ .

Chỉ có hàm số $y = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}$ thỏa mãn.

Chọn B.

Câu 3

1 điểm

Số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

y = \frac{{3{x^2} - 2x}}{{{x^2} - x - 1}}

là

Đáp án A: 0.
Đáp án B: 3.
Đáp án C: 2.
Đáp án D: 1.

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: D

Ta xét giới hạn của hàm số khi $x \to \pm \infty$ :

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3{x^2} - 2x}}{{{x^2} - x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3 - \frac{2}{x}}}{{1 - \frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}}} = 3$ ;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3{x^2} - 2x}}{{{x^2} - x - 1}} = 3$ .

Vậy đồ thị hàm số có đúng 1 đường tiệm cận ngang là $y = 3$ .

Chọn D.

Câu 4

1 điểm

Trong không gian

Oxyz

, cho hai điểm

A,B

thỏa mãn

\overrightarrow {OA} = \left( {2; - 1;3} \right)

\overrightarrow {OB} = \left( {5;2; - 1} \right).

Tọa độ vectơ

\overrightarrow {AB}

là

Đáp án A: $\overrightarrow {AB} = \left( {3;3; - 4} \right)$ .
Đáp án B: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 3;4} \right)$ .
Đáp án C: $\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 1;3} \right).$
Đáp án D: $\overrightarrow {AB} = \left( {7;1;2} \right).$

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Tọa độ của điểm $A$ và $B$ lần lượt là $A\left( {2; - 1;3} \right)$ và $B\left( {5;2; - 1} \right)$ .

Tọa độ của vectơ $\overrightarrow {AB}$ được tính bằng công thức:

$\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right) = \left( {5 - 2;2 - \left( { - 1} \right); - 1 - 3} \right) = \left( {3;3; - 4} \right)$ .

Chọn A.

Câu 5

1 điểm

Bảng sau biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm về nhiệt độ không khí trung bình các tháng năm 2022 tại Bãi Cháy - Quảng Ninh (đơn vị: độ C).

Nhóm	$\left[ {14;17} \right)$	$\left[ {17;20} \right)$	$\left[ {20;23} \right)$	$\left[ {23;26} \right)$	$\left[ {26;29} \right)$	$\left[ {29;32} \right)$
Tần số	1	2	1	4	2	2

Tính tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Đáp án A: 26,75.
Đáp án B: 29.
Đáp án C: 27,5.
Đáp án D: 38.

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Tổng số cỡ mẫu là $n = 1 + 2 + 1 + 4 + 2 + 2 = 12$ .

Tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$ là giá trị ở vị trí thứ $\frac{{3n}}{4} = \frac{{3 \cdot 12}}{4} = 9$ .

Vị trí thứ 9 thuộc vào nhóm thứ 5 là $\left[ {26;29} \right)$ .

Ta có các thông số: $L = 26$ , $h = 29 - 26 = 3$ , ${n_5} = 2$ , tổng tần số tích lũy trước nhóm 5 là $c{f_4} = 8$ .

Áp dụng công thức tính ${Q_3}$ cho mẫu số liệu ghép nhóm:

${Q_3} = L + \left( {\frac{{\frac{{3n}}{4} - c{f_4}}}{{{n_5}}}} \right) \cdot h = 26 + \left( {\frac{{9 - 8}}{2}} \right) \cdot 3 = 26 + 0{,}5 \cdot 3 = 27{,}5$ .

Chọn C.

Câu 6

1 điểm

Cho hình chóp tứ giác đều

S.ABCD

có độ dài tất cả các cạnh đều bằng

a

. Tính tích vô hướng

\overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {CD}

Đáp án A: $\overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {CD} = - \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.$
Đáp án B: $\overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {CD} = - \frac{{{a^2}}}{2}.$
Đáp án C: $\overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {CD} = \frac{{{a^2}}}{2}.$
Đáp án D: $\overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {CD} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 6

Câu 7

1 điểm

Trong không gian

Oxyz

, số đo góc giữa hai vectơ

\vec a = \left( { - 2; - 1;2} \right)

và

\vec b = \left( {0;1; - 1} \right)

là

Đáp án A: $45^\circ$ .
Đáp án B: $60^\circ$ .
Đáp án C: $135^\circ$ .
Đáp án D: $90^\circ$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 7

Câu 8

1 điểm

Khoảng nghịch biến của hàm số

y = \frac{{x - 1}}{{x - 2}}

là

Đáp án A: $\left( { - \infty ;5} \right)$ .
Đáp án B: $\mathbb{R}.$
Đáp án C: $\left( { - \infty ;2} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$ .
Đáp án D: $\left( {1; + \infty } \right)$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 8

Câu 9

1 điểm

Cho một mẫu số liệu có phương sai bằng

49{,}1

. Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đã cho (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án A: 7,001.
Đáp án B: 7,1.
Đáp án C: 7,0001.
Đáp án D: 7,01.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 9

Câu 10

1 điểm

Một huấn luyện viên luyện tập cự li 100 m cho đội điền kinh có 20 vận động viên đã ghi lại kết quả tập luyện như sau:

Thời gian (giây)	$\left[ {10{,}2;10{,}4} \right)$	$\left[ {10{,}4;10{,}6} \right)$	$\left[ {10{,}6;10{,}8} \right)$	$\left[ {10{,}8;11} \right)$
Số vận động viên	3	7	8	2

Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu (làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án A: 0,71.
Đáp án B: 1,7.
Đáp án C: 0,17.
Đáp án D: 10,08.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 10

Câu 11

1 điểm

Cho hàm số

y = f\left( x \right)

có đạo hàm

f'\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^2}{\left( {x - 1} \right)^5}\left( {x - 3} \right)

\left( {\forall x \in \mathbb{R}} \right)

. Hàm số có bao nhiêu điểm cực đại?

Đáp án A: 2.
Đáp án B: 3.
Đáp án C: 0.
Đáp án D: 1.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 11

Câu 12

1 điểm

Bảng sau biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm thống kê mức lương của công ty A (đơn vị: triệu đồng):

Nhóm	$\left[ {10;15} \right)$	$\left[ {15;20} \right)$	$\left[ {20;25} \right)$	$\left[ {25;30} \right)$	$\left[ {30;35} \right)$	$\left[ {35;40} \right)$
Tần số	$15$	$18$	$10$	$10$	$5$	$2$

Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Đáp án A: 25.
Đáp án B: 29.
Đáp án C: 20.
Đáp án D: 30.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 12

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 13

1 điểm

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Hình vẽ sau mô tả vị trí của một chiếc flycam vào thời điểm 9 giờ 30 phút. Biết các đơn vị trên hình tính theo kilomet (km). Người lái để flycam ở chế độ tự động bay theo hướng đông với vận tốc $30{\rm{\;km/h}}$ độ cao không đổi. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

Hình minh hoạ

Ý a: Flycam đang bay ở độ cao 0,9 (km).
Ý b: Giả sử vận tốc flycam không đổi và lúc đó trời lặng gió thì tọa độ của flycam tại thời điểm lúc 9 giờ 35 phút là $B\left( {1{,}5;5;0{,}9} \right)$ .
Ý c: Tọa độ của flycam tại thời điểm 9 giờ 30 phút là $A\left( {2{,}5;1{,}5;0{,}9} \right)$ .
Ý d: Biết rằng gió thổi theo hướng đông với vận tốc $3{\rm{\;km/h}}$ . Sau khi flycam bay từ vị trí A (lúc 9 giờ 30 phút) đến vị trí B (lúc 9 giờ 35 phút) thì flycam bay ngược lại với vận tốc $30{\rm{\;km/h}}$ với độ cao không đổi. Tọa độ của flycam tại thời điểm 9 giờ 45 phút là $\left( {1{,}5;0;0{,}9} \right)$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 13

Câu 14

1 điểm

Cho hàm số $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ có đồ thị như hình vẽ bên. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Hình minh hoạ

Ý a: Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - 2; - 1} \right)$ .
Ý b: Tổng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right]$ bằng −2.
Ý c: $f'\left( x \right)$ đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua điểm có hoành độ $x = 0$ .
Ý d: $3a + 2b + c - d = 25.$

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 14

Câu 15

1 điểm

Trong không gian

Oxyz

, cho tứ diện

ABCD

có tọa độ các đỉnh

A\left( {1;0;2} \right)

B\left( {3; - 2;1} \right)

C\left( { - 1; - 1;4} \right).

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Ý a: Cho $P$ là điểm thỏa mãn biểu thức vectơ $\overrightarrow {PC} = 3\overrightarrow {PB}$ . Khi đó $\overrightarrow {DP} = \frac{3}{4}\overrightarrow {DB} - \frac{1}{4}\overrightarrow {DC}$ .
Ý b: Tọa độ của vectơ $\vec x = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC}$ là $\left( {4; - 1; - 3} \right)$ .
Ý c: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB}$ .
Ý d: Cho điểm $G$ di động trên mặt phẳng $Oxy$ , khi đó biểu thức $M = \left| {\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GB} + 3\overrightarrow {GC} } \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $\widehat {AGB}$ là góc tù.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 15

Câu 16

1 điểm

Một công ty sau khi mở bán sản phẩm mới đã ghi nhận lợi nhuận

P\left( t \right)

(đơn vị triệu đồng) sau

t

tháng kinh doanh. Trong năm đầu tiên, giả sử mối liên hệ giữa lợi nhuận và thời gian kinh doanh được mô hình hóa bởi hàm số

P\left( t \right) = - {t^3} + 15{t^2} + mt + 50

(

t \in \mathbb{N},1 \le t \le 12

) với

m \in \mathbb{R}.

Biết sau tháng đầu tiên mở bán, công ty thu được lợi nhuận là 136 triệu đồng. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Ý a: Tốc độ tăng trưởng lợi nhuận của công ty là hàm số $P'\left( t \right) = - 3{t^2} + 30t + 50.$
Ý b: Lợi nhuận của công ty đạt mức tối đa tại thời điểm $t = 3$ .
Ý c: Sau 2 tháng mở bán, lợi nhuận công ty thu về được là 246 triệu đồng.
Ý d: Tại thời điểm $t = 5$ thì tốc độ thay đổi lợi nhuận là lớn nhất.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 16

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 17

1 điểm

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Một siêu thị thống kê số tiền (đơn vị: chục nghìn đồng) mà 44 khách hàng mua hàng ở siêu thị đó trong một ngày. Số liệu thu được ghi lại trong bảng sau:

Nhóm	$\left[ {10;15} \right)$	$\left[ {15;20} \right)$	$\left[ {20;25} \right)$	$\left[ {25;30} \right)$	$\left[ {30;35} \right)$	$\left[ {35;40} \right)$
Tần số	$15$	$18$	$10$	$10$	$5$	$2$

Tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên (kết quả quy tròn đến hàng phần chục).

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 17

Câu 18

1 điểm

Bác An muốn xây một chiếc bể bơi cho trẻ em trong mảnh vườn hình vuông $ABCD$ có diện tích $144{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}$ . Biết bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật có hai đỉnh đối diện của đáy là $A$ và $E$ , với $E$ thuộc đường chéo $BD$ ; độ sâu của bể bơi không đổi bằng $1{,}5{\rm{\;m}}$ (tham khảo hình vẽ). Chi phí lát gạch cho nền bể là $1.000.000{\rm{\;VND/}}{{\rm{m}}^2}$ và chi phí lát gạch cho thành bể là . Hỏi khi diện tích đáy bể đạt giá trị lớn nhất thì chi phí phải bỏ ra để lát gạch cho nền và thành bể bơi này là bao nhiêu triệu đồng?

Hình minh hoạ

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 18

Câu 19

1 điểm

Giả sử chi phí trung bình (tính bằng nghìn đồng) để công ty A sản xuất ra một đơn vị sản phẩm được cho bởi công thức

C\left( x \right) = 9x - 300 + \frac{{400}}{x}

. Hàm tổng doanh thu đạt được khi bán được

x

sản phẩm là

R\left( x \right) = 460x + 6{,}85{x^2}

(nghìn đồng). Hỏi nếu chính phủ đánh thuế 15% trên một đơn vị sản phẩm bán ra thì cần bán bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 19

Câu 20

1 điểm

Đồ thị trong hình bên dưới là của hàm số $y = ax + b + \frac{1}{{x + c}}.$

Hình minh hoạ

Tổng $a + b + c$ bằng bao nhiêu?

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 20

Câu 21

1 điểm

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $O$ nằm trên mặt nước, mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ là mặt nước, trục $Oz$ hướng lên trên (đơn vị đo trên mỗi trục bằng 1 mét trên thực tế), một con chim bói cá đang ở vị trí $C$ cách mặt nước 2 m, cách mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$ , $\left( {Oyz} \right)$ lần lượt là 3 m và 1 m phóng thẳng xuống vị trí con cá (điểm $A$ ) cách mặt nước 50 cm và cách mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$ , $\left( {Oyz} \right)$ lần lượt là 1 m và 1,5 m. Tọa độ của chim bói cá lúc vừa tiếp xúc với mặt nước (điểm $B$ ) là $\left( {a;b;c} \right)$ . Tính $a + b + c$ .