Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Thủ Đức (TP.HCM) có đáp án

Tọa độ của vectơ $\overrightarrow {BA}$ được xác định bằng công thức hiệu tọa độ của điểm cuối và điểm đầu:

$\overrightarrow {BA} = \left( {{x_A} - {x_B};{y_A} - {y_B};{z_A} - {z_B}} \right)$.

Thay tọa độ $A\left( {1;1; - 2} \right)$ và $B\left( {3; - 1;2} \right)$ vào, ta được: $\overrightarrow {BA} = \left( {1 - 3;1 - \left( { - 1} \right); - 2 - 2} \right) = \left( { - 2;2; - 4} \right)$.

Chọn đáp án C.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Tính đạo hàm: $y' = 3{x^2} - 6x$.

Tìm nghiệm của phương trình đạo hàm: $y' = 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.$.

Lập bảng biến thiên, ta thấy

Tại $x = 0$, đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm nên $x = 0$ là điểm cực đại của hàm số.

Tại $x = 2$, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương nên $x = 2$ là điểm cực tiểu của hàm số.

Tính giá trị cực tiểu: ${y_{{\rm{ct}}}} = y\left( 2 \right) = {2^3} - 3 \cdot {2^2} + 2025 = 8 - 12 + 2025 = 2021$.

Chọn đáp án A.

Tập xác định: Hàm số liên tục trên đoạn $\left[ {0;2} \right]$ (vì mẫu số $x + 1 \ne 0$ trên đoạn này).

Tính đạo hàm: $y' = \frac{{3\left( {x + 1} \right) - \left( {3x + 2} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\quad \forall x \in \left[ {0;2} \right]$.

Do $y' > 0$ trên $\left[ {0;2} \right]$ nên hàm số đồng biến trên đoạn $\left[ {0;2} \right]$.

Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số đạt được tại điểm $x = 2$: $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = y\left( 2 \right) = \frac{{3 \cdot 2 + 2}}{{2 + 1}} = \frac{8}{3}$.

Chọn đáp án B.

Hàm doanh thu của công ty khi bán ra $x$ sản phẩm là: $R\left( x \right) = x \cdot p\left( x \right) = x\left( {400 - 2x} \right) = 400x - 2{x^2}$.

Khi bán ra $x = 20$ sản phẩm, doanh thu thu được là:

$R\left( {20} \right) = 20 \cdot \left( {400 - 2 \cdot 20} \right) = 20 \cdot 360 = 7200$ (triệu đồng).

Chọn đáp án B.

Phương trình vận tốc tức thời của xe là đạo hàm bậc nhất của phương trình tọa độ theo thời gian $t$:

$v\left( t \right) = x'\left( t \right) = 12t - 6{t^2},\quad t \in \left[ {0;2} \right]$

Để tìm thời điểm vận tốc đạt giá trị lớn nhất, ta xét hàm số $v\left( t \right)$ trên đoạn $\left[ {0;2} \right]$:

Đạo hàm của vận tốc (gia tốc): $v'\left( t \right) = 12 - 12t$.

Tìm nghiệm của đạo hàm: $v'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 12 - 12t = 0 \Leftrightarrow t = 1 \in \left[ {0;2} \right]$.

Tính giá trị tại các điểm biên và điểm cực trị:

$v\left( 0 \right) = 12 \cdot 0 - 6 \cdot {0^2} = 0{\rm{\;m/s}}$

$v\left( 2 \right) = 12 \cdot 2 - 6 \cdot {2^2} = 24 - 24 = 0{\rm{\;m/s}}$

$v\left( 1 \right) = 12 \cdot 1 - 6 \cdot {1^2} = 6{\rm{\;m/s}}$

Vận tốc đạt giá trị lớn nhất bằng $6{\rm{\;m/s}}$ tại thời điểm $t = 1{\rm{\;s}}$.

Chọn đáp án C.