Toán · Lớp 12

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Lê Trọng Tấn (TP.HCM) có đáp án

22 câu · 33 phút · Ngân hàng đề TopStudy. Đáp án và lời giải do TopStudy biên soạn, mở ngay dưới từng câu.

Nội dung đề

Phần I. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn

Câu 1

1 điểm

**PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. (12 câu, 3 điểm). **Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Trong không gian, với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , tọa độ vectơ đơn vị của trục $Oy$ là:

Đáp án A: $\left( {0;1;0} \right)$ .
Đáp án B: $\left( {1;0;0} \right)$ .
Đáp án C: $\left( {0;0;1} \right)$ .
Đáp án D: $\left( {1;0;1} \right)$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Trong hệ tọa độ $Oxyz$ , các vectơ đơn vị của các trục tọa độ $Ox$ , $Oy$ , $Oz$ lần lượt là: $\vec i = \left( {1;0;0} \right)$ , $\vec j = \left( {0;1;0} \right)$ , $\vec k = \left( {0;0;1} \right)$ .

Do đó, vectơ đơn vị của trục $Oy$ là $\vec j = \left( {0;1;0} \right)$ .

Chọn đáp án: A.

Câu 2

1 điểm

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng xét dấu như hình.

Hình minh hoạ

Hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng nào?

Đáp án A: $\left( { - \infty ;1} \right)$ .
Đáp án B: $\left( {3; + \infty } \right)$ .
Đáp án C: $\left( { - 1;3} \right)$ .
Đáp án D: $\left( { - 3; + \infty } \right)$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: B

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đạo hàm $f'\left( x \right) > 0$ trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {3; + \infty } \right)$ . Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {3; + \infty } \right)$ . Đối chiếu với các phương án lựa chọn, khoảng $\left( {3; + \infty } \right)$ là khoảng đồng biến của hàm số.

Chọn đáp án: B.

Câu 3

1 điểm

Cho hàm số (nhất biến) $y = f\left( x \right)$ có đồ thị $\left( C \right)$ như hình bên.

Hình minh hoạ

Giao điểm của $\left( C \right)$ và trục $Ox$ là:

Đáp án A: $I\left( {0;2} \right)$ .
Đáp án B: $I\left( {2;0} \right)$ .
Đáp án C: $I\left( {0;1} \right)$ .
Đáp án D: $I\left( {1;0} \right)$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: B

Giao điểm của đồ thị $\left( C \right)$ với trục hoành $Ox$ là điểm có tung độ bằng $0$ ( $y = 0$ ). Quan sát đồ thị, ta thấy nhánh bên phải của đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $x = 2$ . Do đó, tọa độ giao điểm cần tìm là $I\left( {2;0} \right)$ .

Chọn đáp án: B.

Câu 4

1 điểm

Một công ty cung cấp nước sạch thống kê lượng nước các hộ gia đình trong một khu vực tiêu thụ trong một tháng ở bảng sau.

Lượng nước tiêu thụ $\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)$	$\left[ {3\,;\,6} \right)$	$\left[ {6\,;\,9} \right)$	$\left[ {9\,;\,12} \right)$	$\left[ {12\,;\,15} \right)$	$\left[ {15\,;\,18} \right)$	$\left[ {18\,;\,21} \right)$
Số hộ gia đình	$18$	$50$	$43$	$32$	$9$	5

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

Đáp án A: $18$ ${{\rm{m}}^{\rm{3}}}$ .
Đáp án B: $16$ ${{\rm{m}}^{\rm{3}}}$ .
Đáp án C: $6$ ${{\rm{m}}^{\rm{3}}}$ .
Đáp án D: $22$ ${{\rm{m}}^{\rm{3}}}$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm, ký hiệu là $R$ , được tính bằng hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên.

Nhóm đầu tiên là $\left[ {3;6} \right)$ , có đầu mút trái là ${x_{{\rm{min}}}} = 3$ .

Nhóm cuối cùng là $\left[ {18;21} \right)$ , có đầu mút phải là ${x_{{\rm{max}}}} = 21$ .

Vậy $R = {x_{{\rm{max}}}} - {x_{{\rm{min}}}} = 21 - 3 = 18{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}$ .

Chọn đáp án: A.

Câu 5

1 điểm

Trong không gian với hệ trục tọa độ

Oxyz

, cho 4 điểm

A\left( {0;1; - 2} \right)

B\left( {3; - 4;0} \right)

C\left( { - 5;2;0} \right)

D\left( {6; - 3;7} \right)

. Giá trị của biểu thức

P = {\overrightarrow {AB} ^2} - \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {CD}

là bao nhiêu?

Đáp án A: $84$ .
Đáp án B: $- 39$ .
Đáp án C: $39$ .
Đáp án D: $- 48$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Ta tính tọa độ của các vectơ:

$\overrightarrow {AB} = \left( {3 - 0; - 4 - 1;0 - \left( { - 2} \right)} \right) = \left( {3; - 5;2} \right)$

$\overrightarrow {AC} = \left( { - 5 - 0;2 - 1;0 - \left( { - 2} \right)} \right) = \left( { - 5;1;2} \right)$

$\overrightarrow {CD} = \left( {6 - \left( { - 5} \right); - 3 - 2;7 - 0} \right) = \left( {11; - 5;7} \right)$

Tính độ dài bình phương của $\overrightarrow {AB}$ : ${\overrightarrow {AB} ^2} = {3^2} + {\left( { - 5} \right)^2} + {2^2} = 9 + 25 + 4 = 38$ .

Tính tích vô hướng $\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {CD}$ : $\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {CD} = \left( { - 5} \right) \cdot 11 + 1 \cdot \left( { - 5} \right) + 2 \cdot 7 = - 55 - 5 + 14 = - 46$ .

Giá trị biểu thức $P$ : $P = 38 - \left( { - 46} \right) = 38 + 46 = 84$ .

Chọn đáp án: A.

Câu 6

1 điểm

Cho hàm số (bậc ba) $y = f\left( x \right)$ có đồ thị $\left( C \right)$ như hình bên.

Hình minh hoạ

Phát biểu đúng là:

Đáp án A: $f\left( 1 \right) = 0$ .
Đáp án B: $f\left( 2 \right) = 3$ .
Đáp án C: $f\left( 3 \right) = - 1$ .
Đáp án D: $f\left( 0 \right) = 1$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 6

Câu 7

1 điểm

Trong không gian, cho ba điểm

A,B,C

tùy ý. Đẳng thức vectơ nào sau đây luôn đúng?

Đáp án A: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AC}$ .
Đáp án B: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}$ .
Đáp án C: $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC}$ .
Đáp án D: $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {CA}$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 7

Câu 8

1 điểm

Mỗi ngày cô Lan đều đi bộ để rèn luyện sức khỏe. Quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị: km) của cô Lan trong 18 ngày được thống kê lại ở bảng sau:

Quãng đường (km)	$\left[ {2{,}7;\,3{,}0} \right)$	$\left[ {3{,}0;\,3{,}3} \right)$	$\left[ {3{,}3;\,3{,}6} \right)$	$\left[ {3{,}6;\,3{,}9} \right)$
Số ngày	3	6	5	4

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là (làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án A: $4{,}07$ .
Đáp án B: $3{,}42$ .
Đáp án C: $0{,}15$ .
Đáp án D: $0{,}09$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 8

Câu 9

1 điểm

Trong không gian, với hệ trục tọa độ

Oxyz

, cho hai điểm

A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)

B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)

. Tọa độ trung điểm

I

của đoạn thẳng

AB

là:

Đáp án A: $\left( {\frac{{{x_A} - {x_B}}}{3};\frac{{{y_A} - {y_B}}}{3};\frac{{{z_A} - {z_B}}}{3}} \right)$ .
Đáp án B: $\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{3}} \right)$ .
Đáp án C: $\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)$ .
Đáp án D: $\left( {\frac{{{x_A} - {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} - {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} - {z_B}}}{2}} \right)$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 9

Câu 10

1 điểm

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như ở hình vẽ.

Hình minh hoạ

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {0;3} \right]$ là:

Đáp án A: $f\left( 2 \right)$ .
Đáp án B: $f\left( 1 \right)$ .
Đáp án C: $f\left( 0 \right)$ .
Đáp án D: $f\left( 3 \right)$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 10

Câu 11

1 điểm

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị $\left( C \right)$ và hai đường tiệm cận như hình.

Hình minh hoạ

Đường tiệm cận đứng của đồ thị $\left( C \right)$ là:

Đáp án A: $x = 1$ .
Đáp án B: $y = 1$ .
Đáp án C: $y = - 1$ .
Đáp án D: $x = - 1$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 11

Câu 12

1 điểm

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị $\left( C \right)$ và hai đường tiệm cận như hình.

Hình minh hoạ

Đường tiệm cận ngang của đồ thị $\left( C \right)$ là:

Đáp án A: $y = 1$ .
Đáp án B: $x = 1$ .
Đáp án C: $y = - 1$ .
Đáp án D: $x = - 1$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 12

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 13

1 điểm

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. (4 câu, 4 điểm). **Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý **a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}$ có đồ thị $\left( C \right)$ .

Ý a: Đường tiệm cận ngang của đồ thị $\left( {C'} \right)$ của hàm số $y = g\left( x \right) = 2f\left( x \right)$ là $y = 2$ .
Ý b: Đường tiệm cận đứng của $\left( C \right)$ là $x = 1$ .
Ý c: Biết $B$ là điểm trên $\left( C \right)$ , có tọa độ nguyên với hoành độ dương. Khoảng cách từ $B$ đến tâm đối xứng $I$ của $\left( C \right)$ là $\sqrt {10}$ .
Ý d: Giao điểm của đồ thị $\left( {C'} \right)$ của hàm số $y = g\left( x \right) = 2f\left( x \right)$ với trục tung là điểm $A\left( {0; - 4} \right)$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 13

Câu 14

1 điểm

Một người ghi lại thời gian đàm thoại của một số cuộc gọi cho kết quả như bảng sau:

Thời gian $t$ (phút)	$\left[ {0;1} \right)$	$\left[ {1;2} \right)$	$\left[ {2;3} \right)$	$\left[ {3;4} \right)$	$\left[ {4;5} \right)$
Số cuộc gọi	8	$17$	25	20	10

Ý a: Khoảng tứ phân vị của mẫu là $\frac{{61}}{{31}}$ .
Ý b: Phương sai của mẫu (làm tròn đến hàng phần trăm) là $1{,}35$ .
Ý c: Khoảng biến thiên của mẫu là 5.
Ý d: Nếu tần số của nhóm cuối bằng 0 thì độ lệch chuẩn của mẫu số liệu lúc này (làm tròn đến hàng phần trăm) là $0{,}97$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 14

Câu 15

1 điểm

Cho hai hàm số

y = f\left( x \right) = \frac{1}{x}

và

y = g\left( x \right) = - {x^3} + 3{x^2} - 4

Ý a: Điểm cực tiểu của hàm số $g\left( x \right)$ là $x = 2$ .
Ý b: Hàm số $y = k\left( x \right) = \left[ {f\left( 1 \right) \cdot f\left( 2 \right) + f\left( 2 \right) \cdot f\left( 3 \right) + f\left( 3 \right) \cdot f\left( 4 \right) + ... + f\left( {2025} \right) \cdot f\left( {2026} \right)} \right] \cdot 2026{x^3} - 6075x$ nghịch biến trên khoảng $\left( { - 1;2} \right)$ .
Ý c: $f'\left( x \right) < 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$ .
Ý d: Hàm số $y = h\left( x \right) = f\left( x \right) + 2$ đạt giá trị lớn nhất trên đoạn $\left[ {3;6} \right]$ bằng $\frac{{13}}{6}$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 15

Câu 16

1 điểm

Trong không gian, cho hình lập phương

ABCD.A'B'C'D'

có đường chéo

AC' = 2a\sqrt 3 ,\left( {a > 0} \right)

Ý a: Độ dài của vectơ $\overrightarrow {AC'}$ bằng $2a\sqrt 3$ ;
Ý b: Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ , sao cho gốc tọa độ $O \equiv A$ và các tia sau đây trùng nhau: $Ox \equiv AB$ , $Oy \equiv AD$ , $Oz \equiv AA'$ . Khi đó, điểm $C$ là hình chiếu vuông góc của $C'$ lên mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ .
Ý c: Biết $I$ là điểm cách đều 8 đỉnh của hình lập phương đã cho và $J$ , $K$ lần lượt là tâm của các hình vuông $A'ABB'$ , $A'ADD'$ . Giá trị của tích vô hướng $\overrightarrow {IJ} \cdot \overrightarrow {KD}$ là $- \frac{{\sqrt 2 }}{4}{a^2}$ .
Ý d: Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ , sao cho gốc tọa độ $O \equiv A$ và các tia sau đây trùng nhau: $Ox \equiv AD$ , $Oy \equiv AB$ , $Oz \equiv AA'$ với $\overrightarrow k$ là vectơ đơn vị của trục Oz. Gọi $M \in \left( {A'B'C'D'} \right)$ thỏa $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right|$ ngắn nhất. Khi đó: $\overrightarrow {OM} - \vec k = \left( {a;a;2a - 1} \right)$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 16

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 17

1 điểm

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. (6 câu, 3 điểm)

Một cột điện thẳng đứng với mặt đất bằng phẳng được dựng vuông góc với mặt đất tại điểm $O$ . Trên mặt đất, có hai điểm $B$ , $C$ phân biệt, đồng phẳng với điểm $O$ và cách đều $O$ các khoảng đều bằng 6 m. Từ đỉnh $A$ của cột điện, người ta căng thẳng hai dây cáp đến $B$ và $C$ để giữ cho cột điện vững chắc. Biết rằng góc phẳng nhị diện $\left[ {B,OA,C} \right] = 135^\circ$ và góc $\left( {AB,\left( {OBC} \right)} \right) = 45^\circ$ . Giá trị của $\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)$ (làm tròn đến hàng phần chục) bằng bao nhiêu?

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 17

Câu 18

1 điểm

Một kỹ sư đang thiết kế viền (biên dạng) của một chi tiết kỹ thuật cần phải chịu lực nén tối ưu. Viền này được mô hình hóa trên mặt phẳng tọa độ

Oxy

. Biên dạng cong của chi tiết được mô tả bởi đồ thị

\left( C \right)

của một hàm số phân thức bậc hai trên bậc một, có dạng tổng quát là

y = f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{mx + n}}

, với

m = 1

. Biết đồ thị

\left( C \right)

này cắt

Oy

tại điểm

A\left( {0;1} \right)

, qua điểm

B\left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)

, có đường tiệm cận đứng

x = 1

và có một điểm cực trị là

C\left( {2;5} \right)

. Khi đó,

a + b - n

bằng bao nhiêu?

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 18

Câu 19

1 điểm

Trong không gian

Oxyz

cho

A\left( {1;0;2} \right)

B\left( { - 1;2;2} \right)

C\left( {3;1;1} \right)

. Gọi

M\left( {a;b;c} \right)

là điểm thuộc mặt phẳng

\left( {Oxz} \right)

sao cho biểu thức

S = 2\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {MC} + 3\overrightarrow {MC} \cdot \overrightarrow {MA}

đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó

T = 6a - 5b + 3c

có giá trị là bao nhiêu?

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 19

Câu 20

1 điểm

Hiệu của điểm cực tiểu và điểm cực đại của hàm số

y = f\left( x \right) = {x^3} - 9x + 8

(làm tròn đến hàng phần chục) là bao nhiêu?

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 20

Câu 21

1 điểm

Từ một tấm bìa hình chữ nhật có chiều rộng $30\,{\rm{cm}}$ và chiều dài $80\,{\rm{cm}}$ (hình a) người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông có cạnh $x\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$ với $5 \le x \le 10$ và gấp lại để tạo thành chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không nắp (hình b). Tìm $x$ để thể tích chiếc hộp là lớn nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Hình minh hoạ

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 21

Câu 22

1 điểm

Bảng dưới đây thống kê cự li ném tạ của một vận động viên.

Hình minh hoạ

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 22

Làm bài

Đề cùng chủ đề

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Thủ Đức (TP.HCM) có đáp án 22 câu · Ngân hàng đề TopStudy
Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Ngô Quyền (TP.HCM) có đáp án 22 câu · Ngân hàng đề TopStudy
Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Mạc Đĩnh Chi (TP.HCM) có đáp án 21 câu · Ngân hàng đề TopStudy
Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THCS - THPT Trần Cao Vân (TP.HCM) có đáp án 22 câu · Ngân hàng đề TopStudy
Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Bùi Thị Xuân (TP.HCM) có đáp án 22 câu · Ngân hàng đề TopStudy
Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Marie Curie (TP.HCM) có đáp án 22 câu · Ngân hàng đề TopStudy

Tất cả đề Đề thi học kì 1 Toán 12 Kết nối tri thức · Các bộ sách Toán Lớp 12