TopStudy

Toán · Lớp 12

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Ngô Quyền (TP.HCM) có đáp án

22 câu · 33 phút · Ngân hàng đề TopStudy. Đáp án và lời giải do TopStudy biên soạn, mở ngay dưới từng câu.

Làm bài

Nội dung đề

Phần I. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn

Câu 1

1 điểm

PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 điểm) Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Dữ liệu về tốc độ của 100 xe ô tô lưu thông trên một đoạn đường cao tốc vào giờ cao điểm được trích xuất từ camera của cơ quan cảnh sát giao thông cho bởi mẫu số liệu ghép nhóm:

Tốc độ (km/h)[60;70)\left[ {60;70} \right)[70;80)\left[ {70;80} \right)[80;90)\left[ {80;90} \right)[90;100)\left[ {90;100} \right)[100;110)\left[ {100;110} \right)
Số xe1020203515

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên thuộc nhóm nào dưới đây?

  1. Đáp án A: [90;100)\left[ {90;100} \right).
  2. Đáp án B: [80;90)\left[ {80;90} \right).
  3. Đáp án C: [70;80)\left[ {70;80} \right).
  4. Đáp án D: [60;70)\left[ {60;70} \right).
Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Ta có N4=1004=25\frac{N}{4} = \frac{{100}}{4} = 25.

Nhóm thứ nhất [60;70)\left[ {60;70} \right) có tần số tích lũy là cf1=10c{f_1} = 10.

Nhóm thứ hai [70;80)\left[ {70;80} \right) có tần số tích lũy là cf2=10+20=30c{f_2} = 10 + 20 = 30.

Vì 10<25≤3010 < 25 \le 30 nên giá trị tứ phân vị thứ nhất Q1{Q_1} thuộc vào nhóm [70;80)\left[ {70;80} \right).

Đáp án đúng: C

Câu 2

1 điểm
Cho hàm số y=f(x)y = f\left( x \right). Biết lim⁡x→+∞f(x)=1\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 1 và lim⁡x→−2f(x)=−∞\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = - \infty, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là
  1. Đáp án A: y=1y = 1.
  2. Đáp án B: y=−2y = - 2.
  3. Đáp án C: x=−2x = - 2.
  4. Đáp án D: x=1x = 1.
Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Theo định nghĩa về đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=f(x)y = f\left( x \right):

Nếu hoặc limx→x0−f(x)=±∞\underset{x\rightarrow x{}_{0}^{-}}{lim}f(x)=\pm \infty thì đường thẳng x=x0x=x{}_{0} là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ở đây ta có limx→−2f(x)=−∞\underset{x\rightarrow -2}{lim}f(x)=-\infty, do đó đường thẳng x=−2x=-2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Đáp án đúng: C

Câu 3

1 điểm
Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x)=mx+5x−mf\left( x \right) = \frac{{mx + 5}}{{x - m}} trên đoạn [0;1]\left[ {0;1} \right] bằng −7- 7. Khẳng định nào sau đây đúng?
  1. Đáp án A: m=3m=3.
  2. Đáp án B: m=57m=\frac{5}{7}.
  3. Đáp án C: m=2m=2.
  4. Đáp án D: m=−2m=-2.
Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Điều kiện xác định của hàm số là x≠mx \ne m. Để hàm số liên tục trên đoạn [0;1]\left[ {0;1} \right] thì giá trị mm không được thuộc vào đoạn [0;1]\left[ {0;1} \right] (tức là m∉[0;1]m \notin \left[ {0;1} \right]).

Đạo hàm của hàm số trên các khoảng xác định là: f′(x)=−m2−5(x−m)2f'\left( x \right) = \frac{{ - {m^2} - 5}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}.

Vì −m2−5<0- {m^2} - 5 < 0 với mọi số thực mm, nên f′(x)<0f'\left( x \right) < 0 với mọi x≠mx \ne m.

Do đó, hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định và liên tục trên đoạn [0;1]\left[ {0;1} \right].

Vì hàm số nghịch biến trên [0;1]\left[ {0;1} \right] nên giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn này sẽ đạt tại điểm x=1x = 1:

min⁡[0;1]f(x)=f(1)=m⋅1+51−m=m+51−m\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = \frac{{m \cdot 1 + 5}}{{1 - m}} = \frac{{m + 5}}{{1 - m}}.

Theo giả thiết, giá trị nhỏ nhất này bằng −7- 7:

m+51−m=−7⇔m+5=−7(1−m)⇔m+5=−7+7m⇔6m=12⇔m=2\frac{{m + 5}}{{1 - m}} = - 7 \Leftrightarrow m + 5 = - 7\left( {1 - m} \right) \Leftrightarrow m + 5 = - 7 + 7m \Leftrightarrow 6m = 12 \Leftrightarrow m = 2.

Kiểm tra điều kiện: m=2∉[0;1]m = 2 \notin \left[ {0;1} \right] (thỏa mãn điều kiện hàm số liên tục trên [0;1]\left[ {0;1} \right]).

Đáp án đúng: C

Câu 4

1 điểm

Cho hàm số y=f(x)y=f(x) có đồ thị như hình vẽ sau.

Hình minh hoạ

Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y=f(x)y = f\left( x \right) là

  1. Đáp án A: x=1x = 1.
  2. Đáp án B: x=−1x = - 1.
  3. Đáp án C: M(−1;−1)M\left( { - 1; - 1} \right).
  4. Đáp án D: M(1;3)M\left( {1;3} \right).
Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Dựa vào đồ thị hàm số y=f(x)y = f\left( x \right) đã cho, ta thấy:

+ Điểm cực tiểu của đồ thị là M(−1;−1)M\left( { - 1; - 1} \right).

+ Điểm cực đại của đồ thị hàm số là (1;3)\left( {1;3} \right).

Đáp án đúng: C

Phần II. Tự luận

Câu 5

1 điểm

Trong không gian OxyzOxyz, cho điểm M(1;−2;3)M\left( {1; - 2;3} \right). Tìm điểm M′∈OyM' \in Oy sao cho độ dài đoạn thẳng MM′MM' ngắn nhất.

A. M′(1;0;3)M'\left( {1;0;3} \right). B. M′(1;−2;0)M'\left( {1; - 2;0} \right). C. M′(0;−2;0)M'\left( {0; - 2;0} \right). D. M′(0;2;0)M'\left( {0;2;0} \right).

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Đoạn thẳng MM′MM' có độ dài ngắn nhất khi và chỉ khi điểm M′M' là hình chiếu vuông góc của điểm M(1;−2;3)M\left( {1; - 2;3} \right) lên trục tung OyOy.

Theo quy tắc tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(x;y;z)M\left( {x;y;z} \right) lên trục OyOy:

Ta giữ nguyên tung độ yy.

Cho hoành độ xx và cao độ zz bằng 00.

Áp dụng cho điểm M(1;−2;3)M\left( {1; - 2;3} \right), ta được tọa độ hình chiếu M′M' là: M′(0;−2;0)M'\left( {0; - 2;0} \right).

Đáp án đúng: C

Phần III. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn

Câu 6

1 điểm

Cho hàm số đa thức y=f(x)y = f\left( x \right). Hàm số y=f′(x)y = f'\left( x \right) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ.

Hình minh hoạ

Hàm số y=f(x)y = f\left( x \right) đồng biến trên khoảng nào sau đây?

  1. Đáp án A: (−∞;−2)\left( { - \infty ; - 2} \right).
  2. Đáp án B: (3;+∞)\left( {3; + \infty } \right).
  3. Đáp án C: (1;3)\left( {1;3} \right).
  4. Đáp án D: (0;2)\left( {0;2} \right).
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 6

Câu 7

1 điểm

Cho hàm số y=f(x)y = f\left( x \right) liên tục và có đồ thị trên đoạn [−2;4]\left[ { - 2;4} \right] như hình vẽ.

Hình minh hoạ

Gọi m,nm,n lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y=f(x)y = f\left( x \right) trên đoạn [−2;4]\left[ { - 2;4} \right]. Tính m−nm - n.

  1. Đáp án A: 55.
  2. Đáp án B: 33.
  3. Đáp án C: 1111.
  4. Đáp án D: −2- 2.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 7

Câu 8

1 điểm

Khi điều tra cân nặng của 50 bé trai 6 tuổi ở một địa phương, người ta thống kê được kết quả như sau:

Cân nặng (kg)[18; 20)[20; 22)[22; 24)[24; 26)
Tần số623129

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng:

  1. Đáp án A: 88.
  2. Đáp án B: 1818.
  3. Đáp án C: 2626.
  4. Đáp án D: 22.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 8

Câu 9

1 điểm
Cho tứ diện ABCDABCD. Lấy GG là trọng tâm của tam giác BCDBCD. Phát biểu nào sau đây sai?
  1. Đáp án A: GB→+GC→+GD→=0⃗\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \vec 0.
  2. Đáp án B: GA→+GB→+GC→+GD→=0⃗\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \vec 0.
  3. Đáp án C: GB→−GA→=AB→\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GA} = \overrightarrow {AB}.
  4. Đáp án D: AB→+AC→+AD→=3AG→\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG}.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 9

Câu 10

1 điểm
Cho hai vectơ u⃗\vec u và v⃗\vec v thỏa mãn ∣u⃗∣=5\left| {\vec u} \right| = 5, ∣v⃗∣=8\left| {\vec v} \right| = 8 và (u⃗,v⃗)=60∘\left( {\vec u,\vec v} \right) = 60^\circ. Tính tích vô hướng u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v.
  1. Đáp án A: u⃗⋅v⃗=20\vec u \cdot \vec v = 20.
  2. Đáp án B: u⃗⋅v⃗=203\vec u \cdot \vec v = 20\sqrt 3.
  3. Đáp án C: u⃗⋅v⃗=−20\vec u \cdot \vec v = - 20.
  4. Đáp án D: u⃗⋅v⃗=40\vec u \cdot \vec v = 40.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 10

Câu 11

1 điểm

Hàm số nào dưới đây có đồ thị như trong hình bên?

Hình minh hoạ

  1. Đáp án A: y=x2−4x+3x−2y = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{x - 2}}.
  2. Đáp án B: y=x2+2x−3x−2y = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{x - 2}}.
  3. Đáp án C: y=x2+2x+1x+2y = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x + 2}}.
  4. Đáp án D: y=−x2−4x+3x−2y = \frac{{ - {x^2} - 4x + 3}}{{x - 2}}.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 11

Câu 12

1 điểm
Trong không gian OxyzOxyz, cho hai vectơ u⃗=(2;m−2;1)\vec u = \left( {2;m - 2;1} \right), v⃗=(−2;1;−1)\vec v = \left( { - 2;1; - 1} \right). Với giá trị nào của mm thì hai vectơ u⃗\vec u và v⃗\vec v cùng phương?
  1. Đáp án A: m=7m = 7.
  2. Đáp án B: m=1m = 1.
  3. Đáp án C: m=0m = 0.
  4. Đáp án D: m=−4m = - 4.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 12

Phần IV. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 13

1 điểm

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4,0 điểm) Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Lợi nhuận thu được LL (triệu đồng) của một công ty khi dùng số tiền xx (triệu đồng) chi cho quảng cáo được cho bởi công thức: L=L(x)=−110x3+6x2+500L = L\left( x \right) = - \frac{1}{{10}}{x^3} + 6{x^2} + 500 với x≥0x \ge 0.

  • Ý a: Hàm số L=L(x)L = L\left( x \right) có hai điểm cực trị.
  • Ý b: Lợi nhuận của công ty tăng khi số tiền chi cho quảng cáo tăng.
  • Ý c: Lợi nhuận tối đa mà công ty thu được là 3,7 tỷ đồng.
  • Ý d: Có hai phương án giúp công ty có thể thu được lợi nhuận bằng 800 triệu đồng.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 13

Câu 14

1 điểm
Trong không gian OxyzOxyz, cho A(2;1;1)A\left( {2;1;1} \right), B(1;2;1)B\left( {1;2;1} \right) và C(2;−1;3)C\left( {2; - 1;3} \right).
  • Ý a: Gọi DD là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCDABCD thì D(3;−2;3)D\left( {3; - 2;3} \right).
  • Ý b: Chu vi của tam giác ABCABC lớn hơn 8.
  • Ý c: G(53;−23;53)G\left( {\frac{5}{3};\frac{{ - 2}}{3};\frac{5}{3}} \right) là tọa độ trọng tâm tam giác .
  • Ý d: BAC^\widehat {BAC} là góc tù.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 14

Câu 15

1 điểm
Cho hàm số y=2x2−3x+6x−2y = \frac{{2{x^2} - 3x + 6}}{{x - 2}}.
  • Ý a: Đạo hàm của hàm số đã cho là y′=2x2−8x(x−2)2y' = \frac{{2{x^2} - 8x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}.
  • Ý b:

    Bảng biến thiên hàm số đã cho là

    Hình minh hoạ
  • Ý c: Tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số lần lượt là x=2x = 2, y=2x+1y = 2x + 1.
  • Ý d: Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng 4174\sqrt {17}.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 15

Câu 16

1 điểm

Mẫu số liệu ghép nhóm về nhiệt độ không khí trung bình các tháng năm 2024 tại hai tỉnh A và B (đơn vị độ C) cho bởi bảng sau:

Nhóm[14; 17)[17; 20)[20; 23)[23; 26)[26; 29)[29; 32]
Tần số (tỉnh A)121422
Tần số (tỉnh B)121323
  • Ý a: Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm tỉnh B là sB≈4,9{s_B} \approx 4{,}9.
  • Ý b: Phương sai mẫu số liệu ghép nhóm của tỉnh A là sA2≈21,75s_A^2 \approx 21{,}75.
  • Ý c: Tỉnh A có nhiệt độ không khí trung bình các tháng năm 2024 đồng đều hơn tỉnh B.
  • Ý d: Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm tỉnh B là xB‾=24,5\overline {{x_B}} = 24{,}5.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 16

Phần V. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 17

1 điểm

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (3,0 điểm) Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Cho hàm số bậc ba y=ax3+bx2+2y = a{x^3} + b{x^2} + 2 có đồ thị (C)\left( C \right). Biết (C)\left( C \right) nhận điểm A(2;−2)A\left( {2; - 2} \right) làm điểm cực trị. Gọi I(x0;y0)I\left( {{x_0};{y_0}} \right) là tâm đối xứng của (C)\left( C \right). Tính 2x0−y02{x_0} - {y_0}.

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 17

Câu 18

1 điểm
Theo kết quả thăm dò trước một buổi biểu diễn văn nghệ ngoài trời, nếu giá bán mỗi vé là pp nghìn đồng thì sẽ có xx người mua vé xem biểu diễn, giữa pp và xx có mối liên hệ: p=489.e−0,001xp = 489.{e^{ - 0{,}001x}}. Đơn vị tổ chức nên bán vé với giá bao nhiêu nghìn đồng thì đạt được doanh thu (tổng số tiền bán vé) cao nhất? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 18

Câu 19

1 điểm
Cho hàm số y=x2+6x+15xy = \frac{{{x^2} + 6x + 15}}{x}. Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng bao nhiêu?
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 19

Câu 20

1 điểm

Hai chiếc flycam được điều khiển cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc flycam A cách mặt đất 5m5{\rm{m}}, cách điểm xuất phát 3m3{\rm{m}} về phía Nam và 2m2{\rm{m}} về phía Đông. Chiếc flycam B cách mặt đất 5m5{\rm{m}}, cách điểm xuất phát 6m6{\rm{m}} về phía Bắc và 6m6{\rm{m}} về phía Tây. Chọn hệ trục tọa độ OxyzOxyz với gốc OO đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc flycam, mặt phẳng (Oxy)\left( {Oxy} \right) trùng với mặt đất có trục OxOx hướng về phía Nam, trục OyOy hướng về phía Đông và trục OzOz hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo mét (xem hình vẽ).

Hình minh hoạ

Trên mặt đất người ta xác định một vị trí M(a;b;c)M\left( {a;b;c} \right) sao cho tổng khoảng cách từ MM đến hai chiếc flycam ngắn nhất. Tính b−a+cb - a + c.

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 20

Câu 21

1 điểm

Một chiếc container được buộc vào móc SS của một chiếc cần cẩu bởi bốn sợi dây cáp không giãn SA,SB,SC,SDSA,SB,SC,SD có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (ABCD)\left( {ABCD} \right) một góc bằng 60∘60^\circ (tham khảo hình vẽ). Chiếc cần cẩu kéo chiếc container lên theo phương thẳng đứng. Tính cường độ lực căng (đơn vị kN) của mỗi sợi dây cáp (làm tròn kết quả đến chữ số hàng phần chục), biết rằng các lực căng F1→,F2→,F3→,F4→\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {{F_4}} trên mỗi sợi dây cáp đều có cường độ bằng nhau và trọng lượng của chiếc container bằng 72  kN72{\rm{\;kN}}.

Hình minh hoạ

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 21

Câu 22

1 điểm

Cho hàm số y=ax+bx+cy = \frac{{ax + b}}{{x + c}} có đồ thị như hình bên dưới, với a,b,c∈Za,b,c \in \mathbb{Z}. Tính giá trị của biểu thức T=a+b+2cT = a + b + 2c.

Hình minh hoạ

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 22
Làm bài

Đề cùng chủ đề

Tất cả đề Đề thi học kì 1 Toán 12 Kết nối tri thức · Các bộ sách Toán Lớp 12