Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Việt Đức (Hà Nội) có đáp án

Theo quy tắc hình hộp đối với hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có chung đỉnh xuất phát là $A'$, ta có:

$\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {A'D'} = \overrightarrow {A'C}$

Do đó, $\vec u = \overrightarrow {A'C}$.

Chọn C.

Kiểm tra giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ:

- Cắt trục hoành tại điểm $\left( {2;0} \right)$.
- Cắt trục tung tại điểm $\left( {0; - 2} \right)$.

Chỉ có hàm số $y = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}$ thỏa mãn.

Chọn B.

Ta xét giới hạn của hàm số khi $x \to \pm \infty$:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3{x^2} - 2x}}{{{x^2} - x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3 - \frac{2}{x}}}{{1 - \frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}}} = 3$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3{x^2} - 2x}}{{{x^2} - x - 1}} = 3$.

Vậy đồ thị hàm số có đúng 1 đường tiệm cận ngang là $y = 3$.

Chọn D.

Tọa độ của điểm $A$ và $B$ lần lượt là $A\left( {2; - 1;3} \right)$ và $B\left( {5;2; - 1} \right)$.

Tọa độ của vectơ $\overrightarrow {AB}$ được tính bằng công thức:

$\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right) = \left( {5 - 2;2 - \left( { - 1} \right); - 1 - 3} \right) = \left( {3;3; - 4} \right)$.

Chọn A.

Tổng số cỡ mẫu là $n = 1 + 2 + 1 + 4 + 2 + 2 = 12$.

Tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$ là giá trị ở vị trí thứ $\frac{{3n}}{4} = \frac{{3 \cdot 12}}{4} = 9$.

Vị trí thứ 9 thuộc vào nhóm thứ 5 là $\left[ {26;29} \right)$.

Ta có các thông số: $L = 26$, $h = 29 - 26 = 3$, ${n_5} = 2$, tổng tần số tích lũy trước nhóm 5 là $c{f_4} = 8$.

Áp dụng công thức tính ${Q_3}$ cho mẫu số liệu ghép nhóm:

${Q_3} = L + \left( {\frac{{\frac{{3n}}{4} - c{f_4}}}{{{n_5}}}} \right) \cdot h = 26 + \left( {\frac{{9 - 8}}{2}} \right) \cdot 3 = 26 + 0{,}5 \cdot 3 = 27{,}5$.

Chọn C.

Do $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên $\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA}$.

Mặt khác, tam giác $SAB$ có tất cả các cạnh bằng $a$ nên là tam giác đều, suy ra góc $\widehat {SAB} = 60^\circ$.

Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {AS}$ và $\overrightarrow {CD}$ tương đương với góc giữa $\overrightarrow {AS}$ và $\overrightarrow {BA}$.

Ta có: $\overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {BA} = AS \cdot BA \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {BA} } \right)$.

Vì góc giữa $\overrightarrow {AS}$ và $\overrightarrow {BA}$ bằng $180^\circ - \widehat {SAB} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Vậy $\overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {CD} = a \cdot a \cdot \cos 120^\circ = {a^2} \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = - \frac{{{a^2}}}{2}$.

Chọn B.

Ta tính tích vô hướng và độ dài của hai vectơ:

$\vec a \cdot \vec b = \left( { - 2} \right) \cdot 0 + \left( { - 1} \right) \cdot 1 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) = 0 - 1 - 2 = - 3$

$\left| {\vec a} \right| = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} = \sqrt {4 + 1 + 4} = 3$

$\left| {\vec b} \right| = \sqrt {{0^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt 2$

Gọi $\alpha$ là góc giữa hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$:

$\cos \alpha = \frac{{\vec a \cdot \vec b}}{{\left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right|}} = \frac{{ - 3}}{{3 \cdot \sqrt 2 }} = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}$

Suy ra $\alpha = 135^\circ$.

Chọn C.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$.

Đạo hàm của hàm số: $y' = \frac{{1 \cdot \left( { - 2} \right) - \left( { - 1} \right) \cdot 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2 + 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0\quad \left( {\forall x \in D} \right)$.

Vì đạo hàm luôn âm trên từng khoảng xác định nên hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;2} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right).$

Chọn C.

Độ lệch chuẩn là căn bậc hai số học của phương sai: $s = \sqrt {{s^2}} = \sqrt {49{,}1} \approx 7{,}0071$.

Làm tròn đến hàng phần trăm (chữ số thập phân thứ hai), số tiếp theo là 7 nên tăng lên thành $7{,}01$.

Chọn D.

Tính giá trị đại điện ${x_i}$ của từng nhóm:

- Nhóm 1: ${x_1} = \frac{{10{,}2 + 10{,}4}}{2} = 10{,}3$.
- Nhóm 2: ${x_2} = \frac{{10{,}4 + 10{,}6}}{2} = 10{,}5$.
- Nhóm 3: ${x_3} = \frac{{10{,}6 + 10{,}8}}{2} = 10{,}7$.
- Nhóm 4: ${x_4} = \frac{{10{,}8 + 11{,}0}}{2} = 10{,}9$.

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm:

$\bar x = \frac{{3 \cdot 10{,}3 + 7 \cdot 10{,}5 + 8 \cdot 10{,}7 + 2 \cdot 10{,}9}}{{20}} = \frac{{30{,}9 + 73{,}5 + 85{,}6 + 21{,}8}}{{20}} = \frac{{211{,}8}}{{20}} = 10{,}59$.

Tính phương sai ${s^2}$:

${s^2} = \frac{1}{{20}}\left[ {3 \cdot {{\left( {10{,}3 - 10{,}59} \right)}^2} + 7 \cdot {{\left( {10{,}5 - 10{,}59} \right)}^2} + 8 \cdot {{\left( {10{,}7 - 10{,}59} \right)}^2} + 2 \cdot {{\left( {10{,}9 - 10{,}59} \right)}^2}} \right]$$= 0{,}0299$

Độ lệch chuẩn $s$: $s = \sqrt {0{,}0299} \approx 0{,}1729$.

Làm tròn đến hàng phần trăm ta được $0{,}17$.

Chọn C.

Xét phương trình $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = - 1$ (nghiệm bội 2), $x = 1$ (nghiệm bội lẻ 5), $x = 3$ (nghiệm đơn 1).

Ta xét dấu $f'\left( x \right)$:

- Khi qua $x = - 1$, $f'\left( x \right)$ không đổi dấu (vì là nghiệm bội chẵn).
- Khi qua $x = 1$ và $x = 3$, $f'\left( x \right)$ đổi dấu.

Xét dấu của $f'\left( x \right)$ trên các khoảng:

- Với $x > 3 \Rightarrow f'\left( x \right) > 0$.
- Với $1 < x < 3 \Rightarrow f'\left( x \right) < 0$.
- Với $x < 1 \Rightarrow f'\left( x \right) > 0$.

Do đó, tại điểm $x = 1$, đạo hàm $f'\left( x \right)$ đổi dấu từ dương sang âm khi đi từ trái sang phải, nên $x = 1$ là điểm cực đại của hàm số. Tại điểm $x = 3$, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương nên là điểm cực tiểu.

Vậy hàm số có duy nhất 1 điểm cực đại.

Chọn D.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm được tính bằng hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên có chứa dữ liệu.

- Đầu mút phải của nhóm cuối cùng ($\left[ {35;40} \right)$) là ${x_{max}} = 40$.
- Đầu mút trái của nhóm đầu tiên ($\left[ {10;15} \right)$) là ${x_{min}} = 10$.

Khoảng biến thiên: $R = 40 - 10 = 30$.

Chọn D.

Hệ trục tọa độ quy ước: Trục $Ox$ chỉ hướng Nam, trục $Oy$ chỉ hướng Đông, trục $Oz$ chỉ độ cao thẳng đứng.

a) Đúng. Nhìn trên hình, hình chiếu của flycam lên trục $Oz$ là điểm $0{,}9$. Suy ra cao độ $z = 0{,}9{\rm{\;km}}$, tức là độ cao $0{,}9{\rm{\;km}}$.

c) Sai. Tại thời điểm lúc 9 giờ 30 phút, hình chiếu xuống mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ có hoành độ là $x = 1{,}5$ (chiếu vào trục Nam) và tung độ là $y = 2{,}5$ (chiếu vào trục Đông). Do đó tọa độ ban đầu tại điểm $A$ phải là $A\left( {1{,}5;2{,}5;0{,}9} \right)$. Mệnh đề ghi ngược thành $A\left( {2{,}5;1{,}5;0{,}9} \right)$.

b) Đúng. Từ 9 giờ 30 phút đến 9 giờ 35 phút là ${\rm{\Delta }}t = 5{\rm{\;ph\'u t}} = \frac{1}{{12}}$ giờ.

Vì máy bay bay theo hướng đông (dọc theo chiều dương trục $Oy$), quãng đường bay được là:

${\rm{\Delta }}y = v \cdot {\rm{\Delta }}t = 30 \cdot \frac{1}{{12}} = 2{,}5{\rm{\;km}}$.

Tọa độ mới của flycam là: ${x_B} = 1{,}5$; ${y_B} = {y_A} + {\rm{\Delta }}y = 2{,}5 + 2{,}5 = 5$; ${z_B} = 0{,}9$.

Vậy $B\left( {1{,}5;5;0{,}9} \right)$.

d) Sai. Từ 9h30 đến 9h35, gió cùng chiều hướng đông tăng vận tốc của máy bay thành $30 + 3 = 33{\rm{\;km/h}}$. Quãng đường bay thực tế trong 5 phút đầu là $33 \cdot \frac{1}{{12}} = 2{,}75{\rm{\;km}}$, vậy tại 9h35 vị trí tung độ là $y = 2{,}5 + 2{,}75 = 5{,}25$.

Từ 9h35 đến 9h45 là $10{\rm{\;ph\'u t}} = \frac{1}{6}$ gờ. Flycam bay ngược lại (hướng Tây – chiều âm của trục $Oy$) với vận tốc động cơ $30{\rm{\;km/h}}$, do gió cản $3{\rm{\;km/h}}$ hướng Đông nên vận tốc thực tế của nó là $30 - 3 = 27{\rm{\;km/h}}$.

Quãng đường di chuyển ngược lại là ${\rm{\Delta }}y' = 27 \cdot \frac{1}{6} = 4{,}5{\rm{\;km}}$.

Tung độ tại thời điểm 9 giờ 45 phút là: $y = 5{,}25 - 4{,}5 = 0{,}75$. Do đó tọa độ không thể là $\left( {1{,}5;0;0{,}9} \right)$.

a) Đúng. Trên khoảng $\left( { - 2; - 1} \right)$, đồ thị đi lên từ dưới lên tới điểm cực đại $\left( { - 1;0} \right)$, hàm số đồng biến.

b) Đúng. Từ đồ thị, xét trên đoạn $\left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right]$, ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số đạt được tại $x = 0{,}5$, tương ứng ${y_{\max }} = 0$; giá trị nhỏ nhất đạt được tại $x = 0$, tương ứng ${y_{\min }} = - 2$.

Vậy tổng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right]$ bằng −2.

c) Sai. Điểm $x = 0$ là điểm cực tiểu của hàm số nên $f'\left( x \right)$ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm có hoành độ $x = 0$.

d) Sai. Xác định các hệ số $a,b,c,d$:

Hàm số đạt cực trị tại $x = - 1$ và $x = 0$, do đó $f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c = 0$ có nghiệm là $- 1$ và $0$.

Theo định lí Vi-ét:

$- 1 + 0 = - \frac{{2b}}{{3a}} \Rightarrow - 1 = - \frac{{2b}}{{3a}} \Rightarrow 3a = 2b$

$- 1 \cdot 0 = \frac{c}{{3a}} \Rightarrow c = 0$

Đồ thị cắt trục tung tại $\left( {0; - 2} \right) \Rightarrow d = - 2$.

Đồ thị đi qua điểm cực đại $\left( { - 1;0} \right) \Rightarrow - a + b - c + d = 0 \Rightarrow - a + b - 2 = 0 \Rightarrow - a + b = 2$.

Thay $b = \frac{3}{2}a$ vào: $- a + \frac{3}{2}a = 2 \Leftrightarrow a = 4 \Rightarrow b = 6$.

Tính giá trị biểu thức: $3a + 2b + c - d = 3 \cdot 4 + 2 \cdot 6 + 0 - \left( { - 2} \right) = 26 \ne 25$.

a) Sai. Từ $\overrightarrow {PC} = 3\overrightarrow {PB} \Leftrightarrow \overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DP} = 3\left( {\overrightarrow {DB} - \overrightarrow {DP} } \right) \Leftrightarrow 2\overrightarrow {DP} = 3\overrightarrow {DB} - \overrightarrow {DC} \Rightarrow \overrightarrow {DP} = \frac{3}{2}\overrightarrow {DB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {DC}$.

b) Sai. Ta tính các vectơ:

$\overrightarrow {AB} = \left( {3 - 1; - 2 - 0;1 - 2} \right) = \left( {2; - 2; - 1} \right)$

$\overrightarrow {AC} = \left( { - 1 - 1; - 1 - 0;4 - 2} \right) = \left( { - 2; - 1;2} \right)$

$\vec x = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\left( {2; - 2; - 1} \right) + \left( { - 2; - 1;2} \right) = \left( {4 - 2; - 4 - 1; - 2 + 2} \right) = \left( {2; - 5;0} \right)$.

c) Đúng. Chèn điểm theo quy tắc ba điểm:

$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB} } \right) + \left( {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} } \right) = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} + \left( {\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BD} } \right) = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB}$.

Mệnh đề này luôn đúng với mọi bốn điểm $ABCD$.

d) Sai. Tìm điểm tâm tỉ cự $I$ sao cho $\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \vec 0$.

Tọa độ điểm $I$:

${x_I} = \frac{{{x_A} + 2{x_B} + 3{x_C}}}{{1 + 2 + 3}} = \frac{{1 + 2\left( 3 \right) + 3\left( { - 1} \right)}}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

${y_I} = \frac{{{y_A} + 2{y_B} + 3{y_C}}}{6} = \frac{{0 + 2\left( { - 2} \right) + 3\left( { - 1} \right)}}{6} = - \frac{7}{6}$

${z_I} = \frac{{{z_A} + 2{z_B} + 3{z_C}}}{6} = \frac{{2 + 2\left( 1 \right) + 3\left( 4 \right)}}{6} = \frac{{16}}{6} = \frac{8}{3}$

Khi đó, $M = \left| {6\overrightarrow {GI} } \right| = 6GI$. Để $M$ nhỏ nhất thì $G$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$.

Vì $G \in \left( {Oxy} \right)$ nên $G\left( {\frac{2}{3}; - \frac{7}{6};0} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {GA} = \left( {\frac{1}{3};\frac{7}{6};2} \right)$, $\overrightarrow {GB} = \left( {\frac{7}{3}; - \frac{5}{6};1} \right)$.

Khi đó $\cos \widehat {AGB} = \cos \left( {\overrightarrow {GA} ,\overrightarrow {GB} } \right) = \frac{{\overrightarrow {GA} \cdot \overrightarrow {GB} }}{{\left| {\overrightarrow {GA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {GB} } \right|}} \approx 0{,}36 > 0$ nên $\widehat {AGB}$ là góc nhọn.

Biết sau tháng đầu tiên ($t = 1$), lợi nhuận thu được là $136$ triệu đồng:

$P\left( 1 \right) = - {1^3} + 15 \cdot {1^2} + m \cdot 1 + 50 = 136 \Rightarrow 64 + m = 136 \Rightarrow m = 72$.

Vậy hàm lợi nhuận là: $P\left( t \right) = - {t^3} + 15{t^2} + 72t + 50$.

a) Sai. Tốc độ tăng trưởng lợi nhuận là đạo hàm bậc nhất của $P\left( t \right)$: $P'\left( t \right) = - 3{t^2} + 30t + 72$.

b) Sai. Xét phương trình $P'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 3{t^2} + 30t + 72 = 0 \Leftrightarrow t = 12$ hoặc $t = - 2$ (loại).

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {1;12} \right)$ nên đạt cực đại tại $t = 12$. Mệnh đề ghi $t = 3$ là Sai.

c) Đúng. Thay $t = 2$ vào hàm $P\left( t \right)$: $P\left( 2 \right) = - {2^3} + 15 \cdot {2^2} + 72 \cdot 2 + 50 = 246$ (triệu đồng).

d) Đúng. Tốc độ thay đổi lợi nhuận chính là hàm $P'\left( t \right) = - 3{t^2} + 30t + 72$.

Đây là một parabol quay bề lõm xuống dưới, đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh có hoành độ:

$t = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{30}}{{2 \cdot \left( { - 3} \right)}} = 5$.

Tính giá trị đại diện ${x_i}$ của mỗi nhóm: ${x_1} = 42{,}5$; ${x_2} = 47{,}5$; ${x_3} = 52{,}5$; ${x_4} = 57{,}5$; ${x_5} = 62{,}5$; ${x_6} = 67{,}5$.

Tính số trung bình $\bar x$:

$\bar x = \frac{{4 \cdot 42{,}5 + 14 \cdot 47{,}5 + 8 \cdot 52{,}5 + 10 \cdot 57{,}5 + 6 \cdot 62{,}5 + 2 \cdot 67{,}5}}{{44}}$$\approx 53{,}1818$.

Tính phương sai ${s^2}$:

$\begin{array}{l}{s^2} \approx \frac{1}{{44}}\left[ {4{{\left( {42{,}5 - 53{,}18} \right)}^2} + 14{{\left( {47{,}5 - 53{,}18} \right)}^2} + 8{{\left( {52{,}5 - 53{,}18} \right)}^2}} \right.\\\left. {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + 10{{\left( {57{,}5 - 53{,}18} \right)}^2} + 6{{\left( {62{,}5 - 53{,}18} \right)}^2} + 2{{\left( {67{,}5 - 53{,}18} \right)}^2}} \right] \approx 46{,}1\end{array}$

Đáp số: $46{,}1$.

Mảnh vườn hình vuông $ABCD$ có diện tích $144{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2} \Rightarrow$ Cạnh hình vuông bằng $\sqrt {144} = 12{\rm{\;m}}$.

Chọn hệ trục tọa độ sao cho $A$ trùng với gốc tọa độ $O\left( {0;0} \right)$, các cạnh $AB$ và $AD$ lần lượt nằm trên hai trục tọa độ $Ox$ và $Oy$. Khi đó $A\left( {0;0} \right)$, $B\left( {12;0} \right)$, $D\left( {0;12} \right)$, $C\left( {12;12} \right)$.

Đường chéo $BD$ có phương trình là $x + y = 12$.

Vì $E \in BD$ nên gọi tọa độ điểm $E\left( {x;y} \right)$ với $x + y = 12$ ($0 < x,y < 12$).

Bể bơi dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình chữ nhật có hai đỉnh đối diện là $A\left( {0;0} \right)$ và $E\left( {x;y} \right)$, có kích thước chiều dài và rộng chính là $x$ và $y$.

Diện tích đáy bể là: $S = x \cdot y$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: $S = x \cdot y \le {\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{{12}}{2}} \right)^2} = 36{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}$.

Diện tích đáy lớn nhất đạt bằng $36{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}$ khi $x = y = 6{\rm{\;m}}$ (khi đó đáy bể là hình vuông cạnh $6{\rm{\;m}}$).

Tính toán chi phí khi đáy đạt diện tích lớn nhất ($x = 6,y = 6$):

- Diện tích nền bể: ${S_1} = 36{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}$.
- Chi phí lát nền: $36 \cdot 1.000.000 = 36.000.000{\rm{\;VND}} = 36$ (triệu đồng).
- Chu vi đáy bể: $P = 2 \cdot \left( {6 + 6} \right) = 24{\rm{\;m}}$.
- Diện tích xung quanh (thành bể): ${S_{th\`a nh}} = P \cdot h = 24 \cdot 1{,}5 = 36{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}$.
- Chi phí lát thành bể: $36 \cdot 500.000 = 18.000.000{\rm{\;VND}} = 18$ (triệu đồng).

Tổng chi phí: $36 + 18 = 54$ (triệu đồng).

Đáp số: $54$.

Đề bài cho biết chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm là $C\left( x \right) = 9x - 300 + \frac{{400}}{x}$.

Do đó, tổng chi phí để sản xuất $x$ sản phẩm là: ${T_c}\left( x \right) = x \cdot C\left( x \right) = x\left( {9x - 300 + \frac{{400}}{x}} \right) = 9{x^2} - 300x + 400$.

Hàm tổng doanh thu: $R\left( x \right) = 460x + 6{,}85{x^2}$.

Chi phí thuế phát sinh (${T_x}$): Chính phủ đánh thuế $15\%$ trên một đơn vị sản phẩm bán ra ứng với việc tổng số thuế phải nộp cho $x$ sản phẩm bằng $15\%$ tổng doanh thu:

${T_x}\left( x \right) = 15\% \cdot R\left( x \right) = 0{,}15 \cdot \left( {460x + 6{,}85{x^2}} \right) = 69x + 1{,}0275{x^2}$.

Lợi nhuận ròng thu được sau khi trừ chi phí sản xuất và thuế là:

$P\left( x \right) = R\left( x \right) - {T_c}\left( x \right) - {T_x}\left( x \right)$$= \left( {460x + 6{,}85{x^2}} \right) - \left( {9{x^2} - 300x + 400} \right) - \left( {69x + 1{,}0275{x^2}} \right)$$= - 3{,}1775{x^2} + 691x - 400\quad \left( {x > 0} \right)$.

Hàm số $P\left( x \right)$ là một hàm số bậc hai có đồ thị là một parabol có bề lõm hướng xuống dưới (vì hệ số $a = - 3{,}1775 < 0$). Do đó, hàm số đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol:

$x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{691}}{{2 \cdot \left( { - 3{,}1775} \right)}} = \frac{{691}}{{6{,}355}} \approx 108{,}73$.

Vì số lượng sản phẩm $x$ phải là một số nguyên, ta so sánh giá trị lợi nhuận tại hai điểm nguyên gần đỉnh nhất là $x = 108$ và $x = 109$:

- Với $x = 108$: $P\left( {108} \right) = - 3{,}1775 \cdot {108^2} + 691 \cdot 108 - 400 = 37171{,}12$.
- Với $x = 109$: $P\left( {109} \right) = - 3{,}1775 \cdot {109^2} + 691 \cdot 109 - 400 = 37171{,}4025$.

Ta thấy $P\left( {109} \right) > P\left( {108} \right)$.

Vậy công ty cần sản xuất và bán 109 sản phẩm để lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất.

Đáp số: $109$.

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = 1$.

Từ công thức hàm số, tiệm cận đứng là $x = - c \Rightarrow - c = 1 \Rightarrow c = - 1$.

Đường tiệm cận xiên của hàm số là $y = ax + b$.

Nhìn trên hình vẽ, đường tiệm cận xiên đi qua hai điểm $\left( {0;1} \right)$ và $\left( {1;2} \right)$.

Thay tọa độ hai điểm này vào phương trình đường thẳng $y = ax + b$:

- Với $\left( {0;1} \right) \Rightarrow b = 1$.
- Với $\left( {1;2} \right) \Rightarrow a \cdot 1 + 1 = 2 \Rightarrow a = 1$.

Vậy ta có $a = 1$, $b = 1$, $c = - 1$.

Tổng $a + b + c = 1 + 1 + \left( { - 1} \right) = 1$.

Đáp số: $1$.

Xác định tọa độ các điểm từ dữ kiện bài toán:

- Điểm $C$ (vị trí chim bói cá): cách $\left( {Oxy} \right)$ là $2{\rm{\;m}} \Rightarrow {z_C} = 2$ (do ở trên mặt nước). Cách $\left( {Oxz} \right)$ là $3{\rm{\;m}} \Rightarrow \left| {{y_C}} \right| = 3$, cách $\left( {Oyz} \right)$ là $1{\rm{\;m}} \Rightarrow \left| {{x_C}} \right| = 1$. Giả định tọa độ ở góc phần tư dương: $C\left( {1;3;2} \right)$.
- Điểm $A$ (vị trí con cá): dưới mặt nước 50 cm $= 0{,}5{\rm{\;m}} \Rightarrow {z_A} = - 0{,}5$. Cách $\left( {Oxz} \right)$ là $1{\rm{\;m}} \Rightarrow {y_A} = 1$, cách $\left( {Oyz} \right)$ là $1{,}5{\rm{\;m}} \Rightarrow {x_A} = 1{,}5$. Vậy $A\left( {1{,}5;1; - 0{,}5} \right)$.
- Điểm $B$ là giao điểm của đường thẳng $CA$ với mặt phẳng mặt nước $\left( {Oxy} \right)$ (phương trình $z = 0$).

Vectơ chỉ phương $\overrightarrow {CA} = \left( {1{,}5 - 1;1 - 3; - 0{,}5 - 2} \right) = \left( {0{,}5; - 2; - 2{,}5} \right)$.

Phương trình tham số của đường thẳng $CA$: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 1 + 0{,}5t}\\{y = 3 - 2t}\\{z = 2 - 2{,}5t}\end{array}} \right.$.

Điểm $B$ thuộc mặt nước nên $z = 0 \Rightarrow 2 - 2{,}5t = 0 \Rightarrow t = \frac{2}{{2{,}5}} = 0{,}8$.

Thay $t = 0{,}8$ vào tìm $x,y$:

${x_B} = 1 + 0{,}5 \cdot 0{,}8 = 1{,}4$

${y_B} = 3 - 2 \cdot 0{,}8 = 1{,}4$

${z_B} = 0$

Tọa độ điểm $B$ là $\left( {1{,}4;1{,}4;0} \right)$.

Tính tổng $a + b + c = 1{,}4 + 1{,}4 + 0 = 2{,}8$.

Đáp số: $2{,}8$.

Ta có $H \in BC$ và $AH \bot BC$.

Vectơ $\overrightarrow {BC} = \left( {1 - \left( { - 1} \right);3 - \left( { - 1} \right);6 - 4} \right) = \left( {2;4;2} \right)$.

Phương trình tham số của đường thẳng $BC$ đi qua $B\left( { - 1; - 1;4} \right)$ có vectơ chỉ phương $\vec u = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \left( {1;2;1} \right)$:

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = - 1 + t}\\{y = - 1 + 2t}\\{z = 4 + t}\end{array}} \right.$.

Vì $H \in BC$ nên tọa độ $H$ có dạng: $H\left( { - 1 + t; - 1 + 2t;4 + t} \right)$.

Vectơ $\overrightarrow {AH} = \left( {{x_H} - 1;{y_H} - 0;{z_H} - 2} \right) = \left( { - 2 + t; - 1 + 2t;2 + t} \right)$.

Vì $AH \bot BC \Rightarrow \overrightarrow {AH} \cdot \vec u = 0$:

$1 \cdot \left( { - 2 + t} \right) + 2 \cdot \left( { - 1 + 2t} \right) + 1 \cdot \left( {2 + t} \right) = 0$

$- 2 + t - 2 + 4t + 2 + t = 0 \Rightarrow 6t - 2 = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{3}$

Thay $t = \frac{1}{3}$ vào tọa độ điểm $H$:

$a = - 1 + \frac{1}{3} = - \frac{2}{3}$

$b = - 1 + 2 \cdot \frac{1}{3} = - \frac{1}{3}$

$c = 4 + \frac{1}{3} = \frac{{13}}{3}$

Tính giá trị biểu thức $b - c$: $b - c = - \frac{1}{3} - \frac{{13}}{3} = - \frac{{14}}{3} \approx - 4{,}7$.

Đáp số: $- 4{,}7$.