Toán · Lớp 12

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Bùi Thị Xuân (TP.HCM) có đáp án

22 câu · 33 phút · Ngân hàng đề TopStudy. Đáp án và lời giải do TopStudy biên soạn, mở ngay dưới từng câu.

Nội dung đề

Phần I. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn

Câu 1

1 điểm

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 1 + x + \frac{4}{x}$ trên đoạn $\left[ { - 3; - 1} \right]$ bằng

Đáp án A: −3.
Đáp án B: −5.
Đáp án C: −4.
Đáp án D: 5.

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$ . Hàm số liên tục trên đoạn $\left[ { - 3; - 1} \right]$ .

Đạo hàm: $y' = 1 - \frac{4}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2}}}$ .

Nghiệm của đạo hàm: $y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 2 \notin \left[ { - 3; - 1} \right]}\\{x = - 2 \in \left[ { - 3; - 1} \right]}\end{array}} \right.$ .

Tính giá trị tại các đầu mút và điểm cực trị:

$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{y\left( { - 3} \right) = 1 - 3 - \frac{4}{3} = - \frac{{10}}{3}}\\{y\left( { - 2} \right) = 1 - 2 - \frac{4}{2} = - 3}\\{y\left( { - 1} \right) = 1 - 1 - 4 = - 4}\end{array}$

Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[ { - 3; - 1} \right]$ là $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3; - 1} \right]} y = - 4$ tại $x = - 1$ .

Chọn đáp án: C.

Câu 2

1 điểm

Trong không gian

Oxyz

, cho hai điểm

M\left( {3;4;6} \right)

và

N\left( {0;1; - 2} \right)

. Toạ độ trung điểm của đoạn

MN

là

Đáp án A: $\left( { - 3; - 3; - 4} \right)$ .
Đáp án B: $\left( { - \frac{3}{2}; - \frac{3}{2}; - 4} \right)$ .
Đáp án C: $\left( {3;5;2} \right)$ .
Đáp án D: $\left( {\frac{3}{2};\frac{5}{2};2} \right)$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: D

Tọa độ trung điểm $I\left( {{x_I};{y_I};{z_I}} \right)$ của đoạn thẳng $MN$ được tính bằng công thức:

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{x_I} = \frac{{{x_M} + {x_N}}}{2} = \frac{{3 + 0}}{2} = \frac{3}{2}}\\{{y_I} = \frac{{{y_M} + {y_N}}}{2} = \frac{{4 + 1}}{2} = \frac{5}{2}}\\{{z_I} = \frac{{{z_M} + {z_N}}}{2} = \frac{{6 + \left( { - 2} \right)}}{2} = 2}\end{array} \Rightarrow I\left( {\frac{3}{2};\frac{5}{2};2} \right)} \right.$

Chọn đáp án: D.

Câu 3

1 điểm

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Hình minh hoạ

Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm nào sau đây?

Đáp án A: $x = 0$ .
Đáp án B: $N\left( {1; - 1} \right)$ .
Đáp án C: $M\left( {0;0} \right)$ .
Đáp án D: $x = 1$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Dựa vào đồ thị của hàm số $y = f\left( x \right)$ , ta thấy đồ thị đi lên rồi đi xuống khi qua điểm $x = 0$ , nghĩa là hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ với giá trị cực đại tương ứng là $y\left( 0 \right) = 0$ .

Điểm cực đại của hàm số là $x = 0$ .

Chọn đáp án: A.

Câu 4

1 điểm

Cho mẫu số liệu ghép nhóm:

Nhóm	$\left[ {{u_1};{u_2}} \right)$	$\left[ {{u_2};{u_3}} \right)$	…	$\left[ {{u_k};{u_{k + 1}}} \right)$
Giá trị đại diện	${c_1}$	${c_2}$	…	${c_k}$
Tần số	${n_1}$	${n_2}$	…	${n_k}$

Gọi $\bar x$ là số trung bình. Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm được tính theo công thức:

Đáp án A: ${s^2} = \frac{{{n_1}.c_1^2 + {n_2}.c_2^2 + ... + {n_k}.c_k^2}}{n} - {\bar x^2}$ .
Đáp án B: ${s^2} = \frac{{{n_1}\left( {{c_1} - \bar x} \right) + {n_2}\left( {{c_2} - \bar x} \right) + ... + {n_k}\left( {{c_k} - \bar x} \right)}}{n}$ .
Đáp án C: ${s^2} = \frac{{{n_1}.c_1^2 + {n_2}.c_2^2 + ... + {n_k}.c_k^2 - {{\bar x}^2}}}{n}$ .
Đáp án D: ${s^2} = \frac{{{n_1}.{c_1} + {n_2}.{c_2} + ... + {n_k}.{c_k}}}{n} - \bar x$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Theo định nghĩa trong chương trình Toán 12, phương sai ${s^2}$ của mẫu số liệu ghép nhóm được tính bằng công thức:

${s^2} = \frac{{{n_1}c_1^2 + {n_2}c_2^2 + \ldots + {n_k}c_k^2}}{n} - {\bar x^2}$

Chọn đáp án: A.

Câu 5

1 điểm

Trong không gian

Oxyz

, cho vectơ

\overrightarrow {OM} = 2\vec j - 3\vec i - \vec k

. Tìm tọa độ điểm đối xứng của

M

qua mặt phẳng

\left( {Oxy} \right)

Đáp án A: $\left( { - 3;2;1} \right)$ .
Đáp án B: $\left( {3; - 2; - 1} \right)$ .
Đáp án C: $\left( {2; - 3;1} \right)$ .
Đáp án D: $\left( { - 2;3; - 1} \right)$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Biểu diễn vectơ $\overrightarrow {OM}$ theo các vectơ đơn vị $\vec i,\vec j,\vec k$ : $\overrightarrow {OM} = - 3\vec i + 2\vec j - \vec k \Rightarrow M\left( { - 3;2; - 1} \right)$ .

Điểm $M'$ đối xứng với $M\left( { - 3;2; - 1} \right)$ qua mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ sẽ giữ nguyên hoành độ, tung độ và đổi dấu cao độ: ${x_{M'}} = - 3,\quad {y_{M'}} = 2,\quad {z_{M'}} = - \left( { - 1} \right) = 1 \Rightarrow M'\left( { - 3;2;1} \right)$ .

Chọn đáp án: A.

Câu 6

1 điểm

Hàm số nào dưới đây đồng biến trên

\mathbb{R}

Đáp án A: $y = \frac{{x - 1}}{{x + 3}}$ .
Đáp án B: $y = {x^3} + 2x$ .
Đáp án C: $y = \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 2}}$ .
Đáp án D: $y = {x^4} + 2{x^2}$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 6

Câu 7

1 điểm

Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào sau đây?

Hình minh hoạ

Đáp án A: $y = {x^3} - 3x + 1$ .
Đáp án B: $y = - {x^3} + 3{x^2} + 1$ .
Đáp án C: $y = {x^3} - 3x - 4$ .
Đáp án D: $y = {x^3} - 3{x^2} - 1$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 7

Câu 8

1 điểm

Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

, cho ba vectơ

\vec a\left( {1;3; - 2} \right)

\vec b\left( {2;m - 1;2n + 3} \right)

. Biết

\vec a

cùng phương

\vec b

, tìm

S = m - 2n

Đáp án A: $S = \frac{{21}}{2}$ .
Đáp án B: $S = 14$ .
Đáp án C: $S = 0$ .
Đáp án D: $S = \frac{7}{2}$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 8

Câu 9

1 điểm

Khi gắn hệ tọa độ

Oxyz

(đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét) vào một sân bay, mặt phẳng

\left( {Oxy} \right)

trùng với mặt sân bay. Một máy bay bay theo đường thẳng từ vị trí

A\left( {3;7;5} \right)

đến vị trí

B\left( {10;8;3} \right)

và tiếp tục bay thẳng theo hướng, vận tốc đó hạ cánh tại vị trí

M\left( {a;b;0} \right)

. Tính

S = b - a

Đáp án A: $S = 11$ .
Đáp án B: $S = - \frac{8}{5}$ .
Đáp án C: $S = - 11$ .
Đáp án D: $S = \frac{8}{5}$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 9

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 10

1 điểm

Trong không gian

Oxyz

, cho hai vectơ

\vec a = \left( {1;0;2} \right)

và

\vec b = \left( { - 2;1;0} \right)

. Toạ độ vectơ

\vec c

khác

\vec 0

vuông góc với cả hai vectơ

\vec a

và

\vec b

là:

Ý a: $\vec c = \left( {2; - 4;1} \right)$ .
Ý b: $\vec c = \left( { - 2; - 4; - 1} \right)$ .
Ý c: $\vec c = \left( { - 2;4;1} \right)$ .
Ý d: $\vec c = \left( { - 2; - 4;1} \right)$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 10

Phần III. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn

Câu 11

1 điểm

Một doanh nghiệp kinh doanh sản xuất đồng hồ có đồ thị hàm tổng chi phí theo số sản phẩm là một phần đồ thị của hàm số $f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + 1}}$ ( $x > 0$ ) như hình vẽ (mỗi đơn vị trên trục hoành tương ứng 100 sản phẩm và mỗi đơn vị trên trục tung tương ứng 1000USD).

Hình minh hoạ

Biết rằng đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ đi qua hai điểm $A\left( {1;\frac{4}{3}} \right)$ và $B\left( {3;2} \right)$ . Theo khảo sát, tổng doanh thu của doanh nghiệp này được mô tả bởi hàm số $R\left( x \right) = {x^2} + 2x$ và lợi nhuận thu về khi bán 200 sản phẩm bằng 5250 USD. Tìm tổng chi phí (nghìn đô) khi doanh nghiệp sản xuất 300 sản phẩm? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án A: 21,81.
Đáp án B: 2,53.
Đáp án C: 2,81.
Đáp án D: 23,53.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 11

Câu 12

1 điểm

Cho

\vec u = \left( { - 1;1;0} \right)

\vec v = \left( {0; - 1;0} \right)

, góc giữa hai vectơ

\vec u

và

\vec v

là:

Đáp án A: $120^\circ$ .
Đáp án B: $135^\circ$ .
Đáp án C: $60^\circ$ .
Đáp án D: $45^\circ$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 12

Phần IV. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 13

1 điểm

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ là hàm số bậc ba có đồ thị $\left( C \right)$ như hình vẽ.

Hình minh hoạ

Ý a: Gọi $A,B$ là hai điểm cực trị của $\left( C \right)$ . Khi đó, $AB = 2\sqrt 5$ .
Ý b: Hàm số $y = f\left( {{x^2}} \right)$ có $2$ điểm cực trị.
Ý c: Trên $\left[ { - 2;2} \right]$ , hàm số $f\left( x \right)$ có giá trị nhỏ nhất bằng $- 2$ .
Ý d: Hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ;2} \right)$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 13

Câu 14

1 điểm

Bảng sau biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm thống kê mức lương của một công ty (đơn vị: triệu đồng).

Lương	$\left[ {10;15} \right)$	$\left[ {15;20} \right)$	$\left[ {20;25} \right)$	$\left[ {25;30} \right)$	$\left[ {30;35} \right)$	$\left[ {35;40} \right)$
Số người	15	18	20	10	5	2

Ý a: Mẫu số liệu ghép nhóm trên có cỡ mẫu $n = 60$ .
Ý b: Một người có mức lương 39 triệu đồng là giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Ý c: Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là $R = 30$ .
Ý d: Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm trên là ${Q_3} = 24{,}875$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 14

Câu 15

1 điểm

Trong không gian

Oxyz

, cho các điểm

A\left( {1;1;3} \right)

B\left( { - 1;0;1} \right)

C\left( {1;4;5} \right)

Ý a: Để $ABCE$ là hình bình hành thì $E\left( {3;5;7} \right)$ .
Ý b: $AB = 3$ .
Ý c: Gọi $BD$ là đường phân giác trong của tam giác $ABC$ . Khi đó điểm $D$ có hoành độ ${x_D} = 1$ .
Ý d: Diện tích tam giác $ABC$ bằng $2\sqrt {17}$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 15

Câu 16

1 điểm

Cho hàm số

y = f\left( x \right) = \frac{{3{x^2} + 2x - 5}}{{x + 1}}

có đồ thị

\left( C \right)

Ý a: Mọi đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành đều cắt $\left( C \right)$ tại 2 điểm phân biệt.
Ý b: Đồ thị $\left( C \right)$ có phương trình đường tiệm cận đứng là $x = - 1$ .
Ý c: Đường thẳng $d:y = x$ cắt $\left( C \right)$ tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là ${x_1}$ và ${x_2}$ . Ta có $S = {x_1} + {x_2} = - \frac{1}{4}$ .
Ý d: Tâm đối xứng của đồ thị $\left( C \right)$ là điểm $I\left( { - 1; - 4} \right)$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 16

Phần V. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 17

1 điểm

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Biết $y = ax + b$ ( $a \ne 0$ ) là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = x + \sqrt {{x^2} + 4x - 1}$ .

Tính ${a^2} + {b^2}$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 17

Câu 18

1 điểm

Bảng sau thống kê cân nặng của 30 quả bưởi được lựa chọn ngẫu nhiên sau khi thu hoạch ở vườn.

Cân nặng (g)	$\left[ {750;800} \right)$	$\left[ {800;850} \right)$	$\left[ {850;900} \right)$	$\left[ {900;950} \right)$	$\left[ {950;1000} \right)$
Số quả bưởi	6	10	5	6	3

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng bao nhiêu?

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 18

Câu 19

1 điểm

Cho hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{2x + c}}$ có đồ thị như hình vẽ bên.

Hình minh hoạ

Tính $P = abc$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 19

Câu 20

1 điểm

Ba lực ${\vec F_1},{\vec F_2},{\vec F_3}$ cùng tác động vào một vật với độ lớn lần lượt là $13{\rm{\;N}},7{\rm{\;N}},10{\rm{\;N}}$ . Biết $\left( {{{\vec F}_1},{{\vec F}_2}} \right) = 120^\circ$ , ${\vec F_3} \bot {\vec F_1}$ và ${\vec F_3} \bot {\vec F_2}$ . Độ lớn của hợp lực là bao nhiêu Newton (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Hình minh hoạ

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 20

Câu 21

1 điểm

Người ta muốn xây một đoạn đường $AB$ (như hình vẽ) và đoạn đường này phải đi qua điểm $M$ . Biết rằng vị trí điểm $M$ cách $OD$ là $125{\rm{\;m}}$ và cách $OE$ là $1{\rm{\;km}}$ . Giả sử chi phí để làm $100{\rm{\;m}}$ đường là $155$ triệu đồng. Chọn vị trí của $A$ và $B$ để hoàn thành con đường với chi phí thấp nhất. Hỏi chi phí thấp nhất để hoàn thành được con đường là bao nhiêu tỷ đồng? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).