TopStudy

Toán · Lớp 12

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Trần Phú (Hoàn Kiếm-Hà Nội) có đáp án

22 câu · 33 phút · Ngân hàng đề TopStudy. Đáp án và lời giải do TopStudy biên soạn, mở ngay dưới từng câu.

Làm bài

Nội dung đề

Phần I. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn

Câu 1

1 điểm

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (3 ĐIỂM). Với mỗi câu hỏi sau, học sinh chọn 1 trong 4 đáp án A, B, C, D để trả lời.

Cho hàm số y=ax+bcx−1y = \frac{{ax + b}}{{cx - 1}} có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Hình minh hoạ

Trong các hệ số a,b,ca,b,c có bao nhiêu số dương?

  1. Đáp án A: 2.
  2. Đáp án B: 0.
  3. Đáp án C: 1.
  4. Đáp án D: 3.
Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Dựa vào đồ thị, ta thấy đường tiệm cận đứng là x=1x = 1. Theo công thức hàm số, tiệm cận đứng là nghiệm của mẫu số: cx−1=0⇔x=1ccx - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{c}. Do đó, 1c=1⇒c=1>0\frac{1}{c} = 1 \Rightarrow c = 1 > 0.

Đường tiệm cận ngang của đồ thị là y=−1y = - 1. Theo công thức hàm số, tiệm cận ngang là y=acy = \frac{a}{c}. Do đó, ac=−1⇒a=−c=−1<0\frac{a}{c} = - 1 \Rightarrow a = - c = - 1 < 0.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng −2- 2. Thay x=0x = 0 vào hàm số ta được y=b−1=−by = \frac{b}{{ - 1}} = - b. Do đó, −b=−2⇒b=2>0- b = - 2 \Rightarrow b = 2 > 0.

Vậy trong các hệ số a,b,ca,b,c, có 2 số dương là bb và cc.

Chọn A.

Câu 2

1 điểm
Hàm số y=−x3+3x2y = - {x^3} + 3{x^2} đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
  1. Đáp án A: (0;2)\left( {0;2} \right).
  2. Đáp án B: (−∞;0)\left( { - \infty ;0} \right).
  3. Đáp án C: (2;+∞)\left( {2; + \infty } \right).
  4. Đáp án D: (0;4)\left( {0;4} \right).
Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Tập xác định: D=RD = \mathbb{R}.

Đạo hàm: y′=−3x2+6xy' = - 3{x^2} + 6x.

Xét y′>0⇔−3x2+6x>0⇔0<x<2y' > 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} + 6x > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2.

Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (0;2)\left( {0;2} \right).

Chọn A.

Câu 3

1 điểm

Cho hàm số f(x)f\left( x \right) liên tục trên đoạn [−2;2]\left[ { - 2;2} \right] có đồ thị như hình vẽ.

Hình minh hoạ

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [−2;2]\left[ { - 2;2} \right] là:

  1. Đáp án A: 1.
  2. Đáp án B: 2.
  3. Đáp án C: −1.
  4. Đáp án D: 3.
Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Quan sát đồ thị hàm số trên đoạn [−2;2]\left[ { - 2;2} \right], điểm thấp nhất của đồ thị đạt được tại điểm có tọa độ (1;−1)\left( {1; - 1} \right).

Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [−2;2]\left[ { - 2;2} \right] là min⁡[−2;2]f(x)=−1\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = - 1.

Chọn C.

Câu 4

1 điểm
Đồ thị hàm số y=1+2xx−1y = \frac{{1 + 2x}}{{x - 1}} có đường tiệm cận ngang là:
  1. Đáp án A: x=1x = 1.
  2. Đáp án B: y=2y = 2.
  3. Đáp án C: x=2x = 2.
  4. Đáp án D: y=1y = 1.
Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: B

Hàm số bậc nhất trên bậc nhất có dạng y=2x+1x−1y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}.

Ta có lim⁡x→±∞2x+1x−1=2\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = 2, suy ra đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y=2y = 2.

Chọn B.

Câu 5

1 điểm

Khảo sát thời gian xem ti vi trong một ngày của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Thời gian (phút)[0;20)\left[ {0;20} \right)[20;40)\left[ {20;40} \right)[40;60)\left[ {40;60} \right)[60;80)\left[ {60;80} \right)[80;100)\left[ {80;100} \right)
Số học sinh5912106

Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là:

  1. Đáp án A: [0;20)\left[ {0;20} \right).
  2. Đáp án B: [60;80)\left[ {60;80} \right).
  3. Đáp án C: [40;60)\left[ {40;60} \right).
  4. Đáp án D: [20;40)\left[ {20;40} \right).
Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: D

Tổng số học sinh (cỡ mẫu): n=5+9+12+10+6=42n = 5 + 9 + 12 + 10 + 6 = 42.

Tứ phân vị thứ nhất Q1{Q_1} là giá trị mà tại đó có 25%25\% số liệu nhỏ hơn nó. Vị trí của Q1{Q_1} trong mẫu số liệu là n4=424=10,5\frac{n}{4} = \frac{{42}}{4} = 10{,}5.

Cộng dồn tần số:

- Nhóm 1 [0;20)\left[ {0;20} \right) có 5 học sinh.
- Nhóm 2 [20;40)\left[ {20;40} \right) có tích lũy đến 5+9=145 + 9 = 14 học sinh.

Vì 5<10,5≤145 < 10{,}5 \le 14 nên tứ phân vị thứ nhất nằm ở nhóm thứ hai, tức là nhóm [20;40)\left[ {20;40} \right).

Chọn D.

Câu 6

1 điểm

Cô Hà thống kê lại đường kính thân gỗ của một số cây xoan đào 6 năm tuổi được trồng ở một lâm trường ở bảng sau:

Đường kính (cm)[40;45)\left[ {40;45} \right)[45;50)\left[ {45;50} \right)[50;55)\left[ {50;55} \right)[55;60)\left[ {55;60} \right)[60;65)\left[ {60;65} \right)
Tần số5201873

Hãy tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

  1. Đáp án A: 6.
  2. Đáp án B: 30.
  3. Đáp án C: 25.
  4. Đáp án D: 69,8.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 6

Câu 7

1 điểm

Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):

Doanh thu[5;7)\left[ {5;7} \right)[7;9)\left[ {7;9} \right)[9;11)\left[ {9;11} \right)[11;13)\left[ {11;13} \right)[13;15)\left[ {13;15} \right)
Số ngày27731

Số trung bình của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

  1. Đáp án A: [7;9)\left[ {7;9} \right).
  2. Đáp án B: [9;11)\left[ {9;11} \right).
  3. Đáp án C: [11;13)\left[ {11;13} \right).
  4. Đáp án D: [13;15)\left[ {13;15} \right).
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 7

Câu 8

1 điểm

Một siêu thị thống kê số tiền (đơn vị: chục nghìn đồng) mà 44 khách hàng mua hàng ở siêu thị đó trong một ngày. Số liệu được ghi lại trong bảng sau:

[40;45)\left[ {40;45} \right)42,54
[45;50)\left[ {45;50} \right)47,514
[50;55)\left[ {50;55} \right)52,58
[55;60)\left[ {55;60} \right)57,510
[60;65)\left[ {60;65} \right)62,56
[65;70)\left[ {65;70} \right)67,52
n=44n = 44

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

  1. Đáp án A: 46,1.
  2. Đáp án B: 53,2.
  3. Đáp án C: 30.
  4. Đáp án D: 11.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 8

Câu 9

1 điểm

Khảo sát chiều cao (đơn vị cm) của học sinh lớp 12A, ta thu được kết quả như sau:

Kết quả đo (cm)[150;155)\left[ {150;155} \right)[155;160)\left[ {155;160} \right)[160;165)\left[ {160;165} \right)[165;170)\left[ {165;170} \right)[170;175)\left[ {170;175} \right)
Số học sinh6101455

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên thuộc khoảng nào sau đây:

  1. Đáp án A: (5,5;6)\left( {5{,}5;6} \right).
  2. Đáp án B: (6;6,5)\left( {6;6{,}5} \right).
  3. Đáp án C: (6,5;7)\left( {6{,}5;7} \right).
  4. Đáp án D: (7;7,5)\left( {7;7{,}5} \right).
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 9

Câu 10

1 điểm
Cho hai điểm M(1;−2;3)M\left( {1; - 2;3} \right) và N(3;4;−5)N\left( {3;4; - 5} \right). Tọa độ của vectơ NM‾\overline {NM} là:
  1. Đáp án A: (−2;−6;8)\left( { - 2; - 6;8} \right).
  2. Đáp án B: (2;6;−8)\left( {2;6; - 8} \right).
  3. Đáp án C: (−2;6;−8)\left( { - 2;6; - 8} \right).
  4. Đáp án D: (−2;6;8)\left( { - 2;6;8} \right).
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 10

Câu 11

1 điểm
Trong không gian Oxyz, cho a→=(1;−2;2)\overrightarrow a = \left( {1; - 2;2} \right); b→=(−2;0;3)\overrightarrow b = \left( { - 2;0;3} \right). Khẳng định nào dưới đây là sai?
  1. Đáp án A: a→+b→=(−1;−2;5)\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( { - 1; - 2;5} \right).
  2. Đáp án B: a⃗−b⃗=(3;−2;−1)\vec a - \vec b = \left( {3; - 2; - 1} \right).
  3. Đáp án C: 2a→+b→=(0;−4;7)2\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {0; - 4;7} \right).
  4. Đáp án D: 3a→=(3;−2;2)3\overrightarrow a = \left( {3; - 2;2} \right).
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 11

Câu 12

1 điểm
Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABCD có A(−1;0;3)A\left( { - 1;0;3} \right); B(2;1;−1)B\left( {2;1; - 1} \right) và C(3;2;2)C\left( {3;2;2} \right). Tọa độ của điểm D là:
  1. Đáp án A: (2;−1;0)\left( {2; - 1;0} \right).
  2. Đáp án B: (0;−1;−6)\left( {0; - 1; - 6} \right).
  3. Đáp án C: (0;1;6)\left( {0;1;6} \right).
  4. Đáp án D: (−2;1;0)\left( { - 2;1;0} \right).
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 12

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 13

1 điểm

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (4 ĐIỂM). Với mỗi câu hỏi sau, ở các ý a), b), c), d), học sinh chọn Đúng hoặc Sai để trả lời.

Trong không gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1, đỉnh A trùng với gốc O, các vectơ AB→,AD→,AA′→\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AA'} theo thứ tự cùng hướng với i⃗,j⃗,k⃗\vec i,\vec j,\vec k.

  • Ý a: B(1;0;0)B\left( {1;0;0} \right).
  • Ý b: AC′→=i⃗+j⃗\overrightarrow {AC'} = \vec i + \vec j.
  • Ý c: Gọi M là trung điểm của B′C′B'C', khi đó M(12;12;1)M\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};1} \right).
  • Ý d: Gọi G là trọng tâm của tam giác CB′D′CB'D', khi đó diện tích tam giác GAC là 63\frac{{\sqrt 6 }}{3}.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 13

Câu 14

1 điểm

Cho hàm số y=f(x)y = f\left( x \right) có đạo hàm trên R\mathbb{R} và f′(x)f'\left( x \right) là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình vẽ.

Hình minh hoạ

  • Ý a: Hàm số y=f(x)y = f\left( x \right) có hai điểm cực trị.
  • Ý b: Hàm số y=f(x)y = f\left( x \right) đồng biến trên khoảng (−∞;−2)\left( { - \infty ; - 2} \right).
  • Ý c: f(2)−f(4)>0f\left( 2 \right) - f\left( 4 \right) > 0.
  • Ý d: Hàm số g(x)=f(x)−12x2+x+2025g\left( x \right) = f\left( x \right) - \frac{1}{2}{x^2} + x + 2025 đồng biến trên khoảng (−52;−32)\left( { - \frac{5}{2}; - \frac{3}{2}} \right).
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 14

Câu 15

1 điểm

Thời gian (phút) truy cập Internet mỗi buổi tối của một số học sinh được cho ở bảng sau:

Thời gian (phút)[9,5;12,5)\left[ {9{,}5;12{,}5} \right)[12,5;15,5)\left[ {12{,}5;15{,}5} \right)[15,5;18,5)\left[ {15{,}5;18{,}5} \right)[18,5;21,5)\left[ {18{,}5;21{,}5} \right)[21,5;24,5)\left[ {21{,}5;24{,}5} \right)
Số học sinh41214233
  • Ý a: Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là 15.
  • Ý b: Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [15,5;18,5)\left[ {15{,}5;18{,}5} \right).
  • Ý c: Tứ phân vị thứ nhất là Q1=15{Q_1} = 15.
  • Ý d: Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm bé hơn 6.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 15

Câu 16

1 điểm

Kiểm tra khối lượng của 30 bao thạch cao (đơn vị kg) được chọn ngẫu nhiên trước khi xuất xưởng cho kết quả như bảng ghép lớp sau:

Nhóm số liệu[48,5;49)\left[ {48{,}5;49} \right)[49;49,5)\left[ {49;49{,}5} \right)[49,5;50)\left[ {49{,}5;50} \right)[50;50,5)\left[ {50;50{,}5} \right)[50,5;51)\left[ {50{,}5;51} \right)[51;51,5)\left[ {51;51{,}5} \right)
Số bao thạch cao624468
  • Ý a: Kích thước của mẫu ghép nhóm trên là 30.
  • Ý b: Khoảng tứ phân vị của bảng ghép nhóm là 3.
  • Ý c: Giá trị trung bình của mẫu ghép nhóm là 50,32.
  • Ý d: Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu ghép nhóm lần lượt là 0,7009 và 0,7009\sqrt {0{,}7009}.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 16

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 17

1 điểm

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN (3 ĐIỂM)

Cho hàm số y=f(x)y = f\left( x \right) có đạo hàm f′(x)=(x−1)(x2−4)f'\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right). Tìm điểm cực đại của hàm số y=f(x).y = f\left( x \right).

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 17

Câu 18

1 điểm
Một hãng điện thoại đưa ra quy luật bán buôn cho từng đại lí, đó là đại lí càng nhập nhiều chiếc điện thoại của hãng thì giá bán buôn một chiếc điện thoại càng giảm. Cụ thể, nếu đại lí mua xx điện thoại thì giá tiền của mỗi điện thoại là 6000−3x6000 - 3x (nghìn đồng), x∈N∗,x<2000x \in {\mathbb{N}^*},x < 2000. Đại lí nhập cùng một lúc bao nhiêu chiếc điện thoại thì hãng có thể thu về nhiều tiền nhất từ đại lí đó?
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 18

Câu 19

1 điểm
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có A(0;0;0),D(0;3;0),A\left( {0;0;0} \right),D\left( {0;3;0} \right),D′(0;3;−3)D'\left( {0;3; - 3} \right). Tọa độ đỉnh A′(a;b;c)A'\left( {a;b;c} \right). Tính a+b−ca + b - c.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 19

Câu 20

1 điểm

Bảng sau đây cho biết chiều cao của học sinh lớp 5A:

Chiều cao (cm)Tần số
[85;90)\left[ {85;90} \right)1
[90;95)\left[ {90;95} \right)4
[95;100)\left[ {95;100} \right)8
[100;105)\left[ {100;105} \right)12
[105;110)\left[ {105;110} \right)3
[110;115)\left[ {110;115} \right)2

Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của học sinh lớp 5A (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 20

Câu 21

1 điểm

Bảng dưới đây thống kê cự li ném tạ của một vận động viên:

Cự li (m)[19;19,5)\left[ {19;19{,}5} \right)[19,5;20)\left[ {19{,}5;20} \right)[20;20,5)\left[ {20;20{,}5} \right)[20,5;21)\left[ {20{,}5;21} \right)[21;21,5)\left[ {21;21{,}5} \right)
Tần số134524126

Hãy tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên (kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm).

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 21

Câu 22

1 điểm

Người ta cần lắp một camera phía trên sân bóng để phát sóng truyền hình một trận bóng đá, camera có thể di động để luôn thu được hình ảnh rõ nét về diễn biến trên sân. Các kĩ sư dự định trồng bốn chiếc cột cao 30 m và sử dụng hệ thống cáp gắn vào bốn đầu cột để giữ camera ở vị trí mong muốn.

Mô hình thiết kế được xây dựng như sau: Trong hệ trục toạ độ Oxyz (đơn vị độ dài trên mỗi trục là 1 m), các đỉnh của bốn chiếc cột lần lượt là các điểm M(90;0;30),N(90;120;30),P(0;120;30),Q(0;0;30)M\left( {90;0;30} \right),N\left( {90;120;30} \right),P\left( {0;120;30} \right),Q\left( {0;0;30} \right). Giả sử K0{K_0} là vị trí ban đầu của camera có cao độ bằng 25 và K0M=K0N=K0P=K0Q{K_0}M = {K_0}N = {K_0}P = {K_0}Q. Để theo dõi quả bóng đến vị trí A, camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng xuống điểm K1{K_1} có cao độ bằng 19.

Hình minh hoạ

Tọa độ của vectơ K0K1→=(a;b;c)\overrightarrow {{K_0}{K_1}} = \left( {a;b;c} \right) với a,b,ca,b,c là các số thực. Tính P=a+b−cP = a + b - c?

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 22
Làm bài

Đề cùng chủ đề

Tất cả đề Đề thi học kì 1 Toán 12 Kết nối tri thức · Các bộ sách Toán Lớp 12