Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Trần Phú (Hoàn Kiếm-Hà Nội) có đáp án

Dựa vào đồ thị, ta thấy đường tiệm cận đứng là $x = 1$. Theo công thức hàm số, tiệm cận đứng là nghiệm của mẫu số: $cx - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{c}$. Do đó, $\frac{1}{c} = 1 \Rightarrow c = 1 > 0$.

Đường tiệm cận ngang của đồ thị là $y = - 1$. Theo công thức hàm số, tiệm cận ngang là $y = \frac{a}{c}$. Do đó, $\frac{a}{c} = - 1 \Rightarrow a = - c = - 1 < 0$.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $- 2$. Thay $x = 0$ vào hàm số ta được $y = \frac{b}{{ - 1}} = - b$. Do đó, $- b = - 2 \Rightarrow b = 2 > 0$.

Vậy trong các hệ số $a,b,c$, có 2 số dương là $b$ và $c$.

Chọn A.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Đạo hàm: $y' = - 3{x^2} + 6x$.

Xét $y' > 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} + 6x > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2$.

Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$.

Chọn A.

Quan sát đồ thị hàm số trên đoạn $\left[ { - 2;2} \right]$, điểm thấp nhất của đồ thị đạt được tại điểm có tọa độ $\left( {1; - 1} \right)$.

Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[ { - 2;2} \right]$ là $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = - 1$.

Chọn C.

Hàm số bậc nhất trên bậc nhất có dạng $y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = 2$, suy ra đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y = 2$.

Chọn B.

Tổng số học sinh (cỡ mẫu): $n = 5 + 9 + 12 + 10 + 6 = 42$.

Tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$ là giá trị mà tại đó có $25\%$ số liệu nhỏ hơn nó. Vị trí của ${Q_1}$ trong mẫu số liệu là $\frac{n}{4} = \frac{{42}}{4} = 10{,}5$.

Cộng dồn tần số:

- Nhóm 1 $\left[ {0;20} \right)$ có 5 học sinh.
- Nhóm 2 $\left[ {20;40} \right)$ có tích lũy đến $5 + 9 = 14$ học sinh.

Vì $5 < 10{,}5 \le 14$ nên tứ phân vị thứ nhất nằm ở nhóm thứ hai, tức là nhóm $\left[ {20;40} \right)$.

Chọn D.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên: $R = {x_{{\rm{max}}}} - {x_{{\rm{min}}}} = 65 - 40 = 25$.

Chọn C.

Tìm giá trị đại diện ${x_i}$ cho từng nhóm: $6;8;10;12;14$.

Số trung bình: $\bar x = \frac{{2 \cdot 6 + 7 \cdot 8 + 7 \cdot 10 + 3 \cdot 12 + 1 \cdot 14}}{{20}} = \frac{{12 + 56 + 70 + 36 + 14}}{{20}} = \frac{{188}}{{20}} = 9{,}4$.

Vì $9{,}4 \in \left[ {9;11} \right)$ nên số trung bình thuộc khoảng $\left[ {9;11} \right)$.

Chọn B.

Tính số trung bình $\bar x$: $\bar x = \frac{{4 \cdot 42{,}5 + 14 \cdot 47{,}5 + 8 \cdot 52{,}5 + 10 \cdot 57{,}5 + 6 \cdot 62{,}5 + 2 \cdot 67{,}5}}{{44}} = \frac{{2340}}{{44}} \approx 53{,}182$.

Tính phương sai ${s^2}$:

${s^2} = \frac{1}{{44}}\left[ {4 \cdot {{\left( {42{,}5} \right)}^2} + 14 \cdot {{\left( {47{,}5} \right)}^2} + 8 \cdot {{\left( {52{,}5} \right)}^2} + 10 \cdot {{\left( {57{,}5} \right)}^2} + 6 \cdot {{\left( {62{,}5} \right)}^2} + 2 \cdot {{\left( {67{,}5} \right)}^2}} \right] - {\left( {\bar x} \right)^2}$$\approx 46{,}1$.

Chọn A.

Cỡ mẫu $n = 10 + 6 + 14 + 5 + 5 = 40$.

Các giá trị đại diện: $152{,}5;157{,}5;162{,}5;167{,}5;172{,}5$.

Số trung bình $\bar x$: $\bar x = \frac{{6 \cdot 152{,}5 + 10 \cdot 157{,}5 + 14 \cdot 162{,}5 + 5 \cdot 167{,}5 + 5 \cdot 172{,}5}}{{40}} = 161{,}625{\rm{\;cm}}$.

Tính phương sai ${s^2}$:

${s^2} = \frac{1}{{40}}\left[ {6 \cdot {{\left( {152{,}5} \right)}^2} + 10 \cdot {{\left( {157{,}5} \right)}^2} + 14 \cdot {{\left( {162{,}5} \right)}^2} + 5 \cdot {{\left( {167{,}5} \right)}^2} + 5 \cdot {{\left( {172{,}5} \right)}^2}} \right] - {\left( {161{,}625} \right)^2}$$= 36{,}109375$.

Độ lệch chuẩn $s$: $s = \sqrt {36{,}109375} \approx 6{,}009{\rm{\;cm}}$.

Vì $6{,}009 \in \left( {6;6{,}5} \right)$ nên chọn phương án B.

Chọn B.

Tọa độ vectơ $\overline {NM} = \left( {{x_M} - {x_N};{y_M} - {y_N};{z_M} - {z_N}} \right) = \left( {1 - 3; - 2 - 4;3 - \left( { - 5} \right)} \right) = \left( { - 2; - 6;8} \right)$.

Chọn A.

Xét khẳng định D: $3\overrightarrow a = \left( {3 \cdot 1;3 \cdot \left( { - 2} \right);3 \cdot 2} \right) = \left( {3; - 6;6} \right)$. Do đó khẳng định $3\overrightarrow a = \left( {3; - 2;2} \right)$ là sai.

Chọn D.

Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC}$.

Ta có $\overrightarrow {BC} = \left( {{x_C} - {x_B};{y_C} - {y_B};{z_C} - {z_B}} \right) = \left( {3 - 2;2 - 1;2 - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( {1;1;3} \right)$.

Gọi $D\left( {{x_D};{y_D};{z_D}} \right)$, ta có $\overrightarrow {AD} = \left( {{x_D} + 1;{y_D};{z_D} - 3} \right)$.

Từ $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC}$ suy ra: $\left\{ \begin{array}{l}{x_D} + 1 = 1\\{y_D} = 1\\{z_D} - 3 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 0\\{y_D} = 1\\{z_D} = 6\end{array} \right.$.

Vậy $D\left( {0;1;6} \right)$.

Chọn C.

Do hình lập phương có cạnh bằng 1, gắn vào hệ trục Oxyz với $A\left( {0;0;0} \right)$, ta tìm được tọa độ các đỉnh:

$B\left( {1;0;0} \right),D\left( {0;1;0} \right),A'\left( {0;0;1} \right),C\left( {1;1;0} \right),B'\left( {1;0;1} \right),D'\left( {0;1;1} \right),C'\left( {1;1;1} \right)$.

a) ĐÚNG.

b) SAI. Ta có $\overrightarrow {AC'} = \left( {1;1;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AC'} = \vec i + \vec j + \vec k$.

c) SAI. Vì M là trung điểm $B'C'$ nên $M = \left( {\frac{{1 + 1}}{2};\frac{{0 + 1}}{2};\frac{{1 + 1}}{2}} \right) = \left( {1;\frac{1}{2};1} \right)$.

d) SAI. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác $CB'D'$:

${x_G} = \frac{{1 + 1 + 0}}{3} = \frac{2}{3},\quad {y_G} = \frac{{1 + 0 + 1}}{3} = \frac{2}{3},\quad {z_G} = \frac{{0 + 1 + 1}}{3} = \frac{2}{3} \Rightarrow G\left( {\frac{2}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3}} \right)$.

Ta có $A\left( {0;0;0} \right)$ và $C\left( {1;1;0} \right)$.

Tính các vectơ: $\overrightarrow {AC} = \left( {1;1;0} \right)$, $\overrightarrow {AG} = \left( {\frac{2}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3}} \right)$.

Tích có hướng: $\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AG} } \right] = \left( {1 \cdot \frac{2}{3} - 0;0 - 1 \cdot \frac{2}{3};1 \cdot \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{2}{3}} \right) = \left( {\frac{2}{3}; - \frac{2}{3};0} \right)$.

Diện tích tam giác GAC: $S = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AG} } \right]} \right| = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{2}{3}} \right)}^2} + {0^2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{2\sqrt 2 }}{3} = \frac{{\sqrt 2 }}{3} \ne \frac{{\sqrt 6 }}{3}$.

a) SAI. Đồ thị $f'\left( x \right)$ cắt và đổi dấu qua trục hoành tại điểm $x = 1$. Do đó hàm số $y = f\left( x \right)$ có 1 điểm cực trị.

b) SAI. Trên khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$, đồ thị $f'\left( x \right)$ nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành, nghĩa là $f'\left( x \right) < 0$. Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng này.

c) SAI. Trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$, đồ thị $f'\left( x \right) > 0$ nên hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến.

Do đó với $2 < 4 \Rightarrow f\left( 2 \right) < f\left( 4 \right) \Rightarrow f\left( 2 \right) - f\left( 4 \right) < 0$.

d) ĐÚNG. Đạo hàm của $g\left( x \right)$ là $g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - x + 1$.

Từ đồ thị, ta thấy $f'\left( x \right)$ là hàm số bậc ba và có các đặc điểm:

- Tiếp xúc với trục hoành tại điểm cực đại $x = - 2 \Rightarrow f'\left( x \right)$ chứa nhân tử ${\left( {x + 2} \right)^2}$.
- Cắt trục hoành tại điểm $x = 1 \Rightarrow f'\left( x \right)$ chứa nhân tử $\left( {x - 1} \right)$.

Do đó, công thức của đạo hàm có dạng: $f'\left( x \right) = a{\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x - 1} \right)$.

Thay tọa độ giao điểm với trục tung $\left( {0; - 4} \right)$ vào hàm số: $- 4 = a{\left( {0 + 2} \right)^2}\left( {0 - 1} \right) \Leftrightarrow - 4 = - 4a \Leftrightarrow a = 1$.

Vậy hàm số đạo hàm là: $f'\left( x \right) = {\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x - 1} \right)$.

Thay $f'\left( x \right) = {\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x - 1} \right)$ vào:

$g'\left( x \right) = {\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x - 1} \right) - \left( {x - 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left[ {{{\left( {x + 2} \right)}^2} - 1} \right]$$= \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)$.

Xét dấu $g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = - 3,x = - 1,x = 1$. Trong khoảng $\left( { - 3; - 1} \right)$, ta thấy $g'\left( x \right) > 0$.

Vì khoảng $\left( { - \frac{5}{2}; - \frac{3}{2}} \right) = \left( { - 2{,}5; - 1{,}5} \right) \subset \left( { - 3; - 1} \right)$ nên $g'\left( x \right) > 0$ trên khoảng này. Vậy hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( { - \frac{5}{2}; - \frac{3}{2}} \right)$.

Tổng số học sinh: $n = 4 + 12 + 14 + 23 + 3 = 56$.

a) ĐÚNG. Khoảng biến thiên $R = 24{,}5 - 9{,}5 = 15$.

b) SAI. Vị trí của tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$ là $\frac{{3n}}{4} = \frac{{3 \cdot 56}}{4} = 42$.

- Tích lũy nhóm 1: 4.
- Tích lũy nhóm 2: $4 + 12 = 16$.
- Tích lũy nhóm 3: $16 + 14 = 30$.
- Tích lũy nhóm 4: $30 + 23 = 53$.

Vì $30 < 42 \le 53$ nên ${Q_3}$ thuộc nhóm $\left[ {18{,}5;21{,}5} \right)$.

c) ĐÚNG. Vị trí ${Q_1}$ là $\frac{n}{4} = 14$. Vì $4 < 14 \le 16$ nên ${Q_1}$ thuộc nhóm $\left[ {12{,}5;15{,}5} \right)$.

Ta có ${Q_1} = 12{,}5 + \frac{{14 - 4}}{{12}} \cdot \left( {15{,}5 - 12{,}5} \right) = 12{,}5 + \frac{{10}}{{12}} \cdot 3 = 12{,}5 + 2{,}5 = 15$.

d) ĐÚNG. Tính ${Q_3}$: ${Q_3} = 18{,}5 + \frac{{42 - 30}}{{23}} \cdot 3 = 18{,}5 + \frac{{36}}{{23}} \approx 20{,}065$.

Khoảng tứ phân vị ${{\rm{\Delta }}_Q} = {Q_3} - {Q_1} \approx 20{,}065 - 15 = 5{,}065 < 6$.

a) ĐÚNG. Cỡ mẫu $n = 6 + 2 + 4 + 4 + 6 + 8 = 30$.

b) SAI. Tính khoảng tứ phân vị:

Vị trí ${Q_1}$: $\frac{{30}}{4} = 7{,}5 \Rightarrow$ nhóm $\left[ {49;49{,}5} \right) \Rightarrow {Q_1} = 49 + \frac{{7{,}5 - 6}}{2} \cdot 0{,}5 = 49{,}375$.

Vị trí ${Q_3}$: $\frac{{3 \cdot 30}}{4} = 22{,}5 \Rightarrow$ tích lũy đến nhóm $\left[ {50{,}5;51} \right)$ là $6 + 2 + 4 + 4 + 6 = 22 < 22{,}5$. Vậy ${Q_3}$ thuộc nhóm $\left[ {51;51{,}5} \right)$. Ta có ${Q_3} = 51 + \frac{{22{,}5 - 22}}{8} \cdot 0{,}5 = 51{,}03125$.

Khoảng tứ phân vị ${{\rm{\Delta }}_Q} = 51{,}03125 - 49{,}375 = 1{,}65625 \ne 3$.

c) SAI. Tính trung bình bằng cách lấy giá trị đại diện nhân tần số:

$\bar x = \frac{{6 \cdot 48{,}75 + 2 \cdot 49{,}25 + 4 \cdot 49{,}75 + 4 \cdot 50{,}25 + 6 \cdot 50{,}75 + 8 \cdot 51{,}25}}{{30}} = \frac{{3011}}{{60}} \approx 50{,}18$.

d) SAI. Phương sai của mẫu số liệu là

${s^2} = \frac{1}{{30}}\left( {6 \cdot 48,{{75}^2} + 2 \cdot 49,{{25}^2} + 4 \cdot 49,{{75}^2} + 4 \cdot 50,{{25}^2} + 6 \cdot 50,{{75}^2} + 8 \cdot 51,{{25}^2}} \right) - {\bar x^2} \approx 0{,}8622$.

Ta có $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1,x = 2,x = - 2$.

Lập bảng xét dấu của $f'\left( x \right)$:

$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}x&{ - \infty }&{}&{ - 2}&{}&1&{}&2&{}&{ + \infty }\\{f'\left( x \right)}&{}& - &0& + &0& - &0& + &{}\end{array}$

Hàm số đạt cực đại tại điểm mà $f'\left( x \right)$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm đó. Theo bảng xét dấu, điểm cực đại của hàm số là $x = 1$.

Đáp án: 1.

Hàm số biểu diễn tổng số tiền hãng thu về là: $T\left( x \right) = x\left( {6000 - 3x} \right) = - 3{x^2} + 6000x$.

Đây là một hàm số bậc hai có đồ thị là một parabol có bề lõm quay xuống dưới. Tọa độ đỉnh của parabol có hoành độ là: $x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{6000}}{{2 \cdot \left( { - 3} \right)}} = 1000$.

Vì $1000 \in {\mathbb{N}^*}$ và $1000 < 2000$, nên doanh thu đạt cực đại khi đại lý nhập 1000 chiếc điện thoại.

Đáp án: 1000.

Trong hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$, ta có: $\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {DD'}$.

Ta tính được tọa độ vectơ $\overline {DD'} = \left( {{x_{D'}} - {x_D};{y_{D'}} - {y_D};{z_{D'}} - {z_D}} \right) = \left( {0 - 0;3 - 3; - 3 - 0} \right) = \left( {0;0; - 3} \right)$.

Vì $A\left( {0;0;0} \right)$ trùng với gốc tọa độ nên tọa độ của điểm $A'$ chính là tọa độ của vectơ $\overrightarrow {AA'}$.

Do đó $A'\left( {0;0; - 3} \right)$.

Suy ra $a = 0,b = 0,c = - 3$.

Tính giá trị biểu thức: $a + b - c = 0 + 0 - \left( { - 3} \right) = 3$.

Đáp án: 3.

Tổng số học sinh lớp 5A: $n = 1 + 4 + 8 + 12 + 3 + 2 = 30$.

Tìm tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$:

Vị trí của ${Q_1}$ là $\frac{n}{4} = 7{,}5$.

Tích lũy tần số: nhóm 1 có 1, nhóm 2 có $1 + 4 = 5$, nhóm 3 có $5 + 8 = 13$. Vì $5 < 7{,}5 \le 13$ nên ${Q_1}$ thuộc nhóm $\left[ {95;100} \right)$.

Ta có ${Q_1} = 95 + \frac{{7{,}5 - 5}}{8} \cdot 5 = 95 + 1{,}5625 = 96{,}5625$.

Tìm tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$:

Vị trí của ${Q_3}$ là $\frac{{3n}}{4} = 22{,}5$.

Tích lũy tần số đến nhóm 4 là $13 + 12 = 25$. Vì $13 < 22{,}5 \le 25$ nên ${Q_3}$ thuộc nhóm $\left[ {100;105} \right)$.

Ta có ${Q_3} = 100 + \frac{{22{,}5 - 13}}{{12}} \cdot 5 = 100 + 3{,}9583 = 103{,}9583$.

Tính khoảng tứ phân vị ${{\rm{\Delta }}_Q}$: ${{\rm{\Delta }}_Q} = {Q_3} - {Q_1} = 103{,}9583 - 96{,}5625 = 7{,}3958$.

Làm tròn đến hàng phần mười (hàng phần chục) ta được $7{,}4$.

Đáp án: 7,4.

Cỡ mẫu $n = 13 + 45 + 24 + 12 + 6 = 100$.

Các giá trị đại diện: $19{,}25;19{,}75;20{,}25;20{,}75;21{,}25$.

Số trung bình $\bar x$:

$\bar x = \frac{{13 \cdot 19{,}25 + 45 \cdot 19{,}75 + 24 \cdot 20{,}25 + 12 \cdot 20{,}75 + 6 \cdot 21{,}25}}{{100}} = \frac{{4003}}{{200}} = 20{,}015{\rm{\;m}}$.

Tính phương sai ${s^2}$:

${s^2} = \frac{1}{{100}}\left[ {13{{\left( {19{,}25} \right)}^2} + 45{{\left( {19{,}75} \right)}^2} + 24{{\left( {20{,}25} \right)}^2} + 12{{\left( {20{,}75} \right)}^2} + 6{{\left( {21{,}25} \right)}^2}} \right] - {\left( {20{,}015} \right)^2}$$= 0{,}277275$.

Độ lệch chuẩn $s$: $s = \sqrt {0{,}277275} \approx 0{,}526569{\rm{\;m}}$.

Làm tròn đến hàng phần trăm ta được $0{,}53$.

Đáp án: 0,53.

Bốn đỉnh cột $M,N,P,Q$ đều có cùng cao độ $z = 30$, hình chiếu của bốn điểm này lên mặt phẳng Oxy tạo thành một hình chữ nhật có các đỉnh là $\left( {90;0} \right),\left( {90;120} \right),\left( {0;120} \right),\left( {0;0} \right)$.

Vị trí ban đầu ${K_0}$ cách đều cả 4 đỉnh $M,N,P,Q$, do đó hình chiếu của ${K_0}$ lên mặt phẳng Oxy phải trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp (cũng chính là tâm) của hình chữ nhật đáy hình chiếu.

Tọa độ hình chiếu (tâm hình chữ nhật): $x = \frac{{90 + 0}}{2} = 45,\quad y = \frac{{120 + 0}}{2} = 60$.

Vì ${K_0}$ có cao độ bằng 25 nên tọa độ của ${K_0}$ là $\left( {45;60;25} \right)$.

Camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng xuống điểm ${K_1}$ có cao độ bằng 19. Do hạ theo phương thẳng đứng nên hoành độ và tung độ của ${K_1}$ giữ nguyên giống như ${K_0}$. Vậy tọa độ của ${K_1}$ là $\left( {45;60;19} \right)$.

Tọa độ vectơ $\overrightarrow {{K_0}{K_1}} = \left( {45 - 45;60 - 60;19 - 25} \right) = \left( {0;0; - 6} \right)$.

Từ đó suy ra $a = 0,b = 0,c = - 6$.

Giá trị của biểu thức $P = a + b - c = 0 + 0 - \left( { - 6} \right) = 6$.

Đáp án: 6.