Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Ngô Quyền (TP.HCM) có đáp án

Ta có $\frac{N}{4} = \frac{{100}}{4} = 25$.

Nhóm thứ nhất $\left[ {60;70} \right)$ có tần số tích lũy là $c{f_1} = 10$.

Nhóm thứ hai $\left[ {70;80} \right)$ có tần số tích lũy là $c{f_2} = 10 + 20 = 30$.

Vì $10 < 25 \le 30$ nên giá trị tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$ thuộc vào nhóm $\left[ {70;80} \right)$.

Đáp án đúng: C

Theo định nghĩa về đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$:

Nếu hoặc $\underset{x\rightarrow x{}_{0}^{-}}{lim}f(x)=\pm \infty$ thì đường thẳng $x=x{}_{0}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ở đây ta có $\underset{x\rightarrow -2}{lim}f(x)=-\infty$, do đó đường thẳng $x=-2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Đáp án đúng: C

Điều kiện xác định của hàm số là $x \ne m$. Để hàm số liên tục trên đoạn $\left[ {0;1} \right]$ thì giá trị $m$ không được thuộc vào đoạn $\left[ {0;1} \right]$ (tức là $m \notin \left[ {0;1} \right]$).

Đạo hàm của hàm số trên các khoảng xác định là: $f'\left( x \right) = \frac{{ - {m^2} - 5}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}$.

Vì $- {m^2} - 5 < 0$ với mọi số thực $m$, nên $f'\left( x \right) < 0$ với mọi $x \ne m$.

Do đó, hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định và liên tục trên đoạn $\left[ {0;1} \right]$.

Vì hàm số nghịch biến trên $\left[ {0;1} \right]$ nên giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn này sẽ đạt tại điểm $x = 1$:

$\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = \frac{{m \cdot 1 + 5}}{{1 - m}} = \frac{{m + 5}}{{1 - m}}$.

Theo giả thiết, giá trị nhỏ nhất này bằng $- 7$:

$\frac{{m + 5}}{{1 - m}} = - 7 \Leftrightarrow m + 5 = - 7\left( {1 - m} \right) \Leftrightarrow m + 5 = - 7 + 7m \Leftrightarrow 6m = 12 \Leftrightarrow m = 2$.

Kiểm tra điều kiện: $m = 2 \notin \left[ {0;1} \right]$ (thỏa mãn điều kiện hàm số liên tục trên $\left[ {0;1} \right]$).

Đáp án đúng: C

Dựa vào đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ đã cho, ta thấy:

+ Điểm cực tiểu của đồ thị là $M\left( { - 1; - 1} \right)$.

+ Điểm cực đại của đồ thị hàm số là $\left( {1;3} \right)$.

Đáp án đúng: C

Đoạn thẳng $MM'$ có độ dài ngắn nhất khi và chỉ khi điểm $M'$ là hình chiếu vuông góc của điểm $M\left( {1; - 2;3} \right)$ lên trục tung $Oy$.

Theo quy tắc tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm $M\left( {x;y;z} \right)$ lên trục $Oy$:

Ta giữ nguyên tung độ $y$.

Cho hoành độ $x$ và cao độ $z$ bằng $0$.

Áp dụng cho điểm $M\left( {1; - 2;3} \right)$, ta được tọa độ hình chiếu $M'$ là: $M'\left( {0; - 2;0} \right)$.

Đáp án đúng: C

Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng nào thì đạo hàm $f'\left( x \right) \ge 0$ trên khoảng đó.

Nhìn vào đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$:

Đồ thị nằm phía trên trục hoành $Ox$ (tương ứng $f'\left( x \right) > 0$) trên khoảng $\left( {1;3} \right)$.

Trên các khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {3; + \infty } \right)$, đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành, tương ứng với $f'\left( x \right) \le 0$.

Vậy hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {1;3} \right)$.

Đáp án đúng: C

Dựa vào đồ thị của hàm số trên đoạn $\left[ { - 2;4} \right]$:

Điểm cao nhất của đồ thị là điểm có tọa độ $\left( { - 2;7} \right)$, suy ra giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn này là:

$m = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) = 7$.

Điểm thấp nhất của đồ thị là điểm có tọa độ $\left( {4; - 4} \right)$, suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn này là:

$n = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( 4 \right) = - 4$.

Vậy $m - n = 7 - \left( { - 4} \right) = 11$.

Đáp án đúng: C

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm (ký hiệu là $R$) được tính bằng hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên: $R = 26 - 18 = 8{\rm{\;(kg)}}$.

Đáp án đúng: A

Phát biểu A đúng vì $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$, theo tính chất trọng tâm ta có $\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \vec 0$.

Phát biểu C đúng vì theo quy tắc hiệu hai vectơ chung gốc: $\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GA} = \overrightarrow {AB}$.

Phát biểu D đúng vì khi ta chèn điểm $G$ vào vế trái:

$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = \left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GB} } \right) + \left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GC} } \right) + \left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GD} } \right) = 3\overrightarrow {AG}$.

Phát biểu B sai vì đẳng thức $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \vec 0$ chỉ xảy ra khi $G$ là trọng tâm của tứ diện $ABCD$ (không phải trọng tâm của tam giác đáy $BCD$).

Đáp án đúng: B

Áp dụng công thức tính tích vô hướng của hai vectơ: $\vec u \cdot \vec v = 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ = 40 \cdot \frac{1}{2} = 20$.

Đáp án đúng: A

Nhìn vào đồ thị hàm số phân tích các đường tiệm cận và giao điểm:

Tiệm cận đứng: Đồ thị có đường tiệm cận đứng là $x = 2$. Điều này loại phương án C (có tiệm cận đứng là $x = - 2$).

Giao điểm với trục hoành $Ox$: Đồ thị cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ $x = 1$ và $x = 3$.

Xét hàm số ở phương án A: $y = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{x - 2}}$. Cho $y = 0 \Rightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$ (Thỏa mãn).

Xét hàm số ở phương án B: $y = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{x - 2}}$. Cho $y = 0 \Rightarrow x = 1$ hoặc $x = - 3$ (Không thỏa mãn).

Xét hàm số ở phương án D: $y = \frac{{ - {x^2} - 4x + 3}}{{x - 2}}$. Cho $y = 0 \Rightarrow x = - 2 \pm \sqrt 7$ (Không thỏa mãn).

Tiệm cận xiên: Xét hàm số phương án A: $y = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{x - 2}} = x - 2 - \frac{1}{{x - 2}}$.

Tiệm cận xiên là đường thẳng $y = x - 2$ đi qua điểm $\left( {2;0} \right)$ và $\left( {0; - 2} \right)$ hoàn toàn trùng khớp với đồ thị đã cho.

Đáp án đúng: A

Hai vectơ $\vec u$ và $\vec v$ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại một số thực $k \ne 0$ sao cho $\vec u = k\vec v$.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}2 = k \cdot \left( { - 2} \right)\\m - 2 = k \cdot 1\\1 = k \cdot \left( { - 1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = - 1\\m = 1\end{array} \right.$.

Đáp án đúng: B

PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4,0 điểm)

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Hàm số lợi nhuận: $L\left( x \right) = - 0{,}1{x^3} + 6{x^2} + 500$ với $x \ge 0$.

Đạo hàm: $L'\left( x \right) = - 0{,}3{x^2} + 12x$. Cho $L'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 40$.

a) ĐÚNG: Trên tập số thực $\mathbb{R}$, hàm số bậc ba này có hai điểm cực trị là $x = 0$ và $x = 40$.

b) SAI: Hàm số đồng biến trên $\left( {0;40} \right)$ và nghịch biến trên $\left( {40; + \infty } \right)$. Do đó lợi nhuận chỉ tăng khi chi phí quảng cáo tăng trong khoảng từ $0$ đến $40$ triệu đồng.

c) ĐÚNG: Lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất tại điểm cực đại $x = 40$:

$L\left( {40} \right) = - 0{,}1 \cdot {40^3} + 6 \cdot {40^2} + 500 = 3700$ (triệu đồng) = 3,7 tỉ đồng.

d) ĐÚNG: Giải phương trình $L\left( x \right) = 800 \Leftrightarrow - 0{,}1{x^3} + 6{x^2} - 300 = 0$. Phương trình này có 3 nghiệm thực, trong đó có 2 nghiệm dương thỏa mãn là $x \approx 7{,}56$ và $x \approx 59{,}14$.

a) ĐÚNG: Để $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow D = A + C - B = \left( {3; - 2;3} \right)$.

b) SAI: Độ dài các cạnh của tam giác $ABC$: $AB = \sqrt 2 \approx 1{,}41$, $BC = \sqrt {14} \approx 3{,}74$, $AC = 2\sqrt 2 \approx 2{,}83$.

Chu vi $P \approx 7{,}98 < 8$.

c) SAI: Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ có tọa độ là $G\left( {\frac{5}{3};\frac{2}{3};\frac{5}{3}} \right)$.

d) ĐÚNG: Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;1;0} \right)$ và $\overrightarrow {AC} = \left( {0; - 2;2} \right)$. Tích vô hướng $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = - 2 < 0 \Rightarrow \cos \widehat {BAC} < 0$, nên góc này là góc tù.

a) ĐÚNG: Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$.

Ta có $y' = \frac{{\left( {4x - 3} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {2{x^2} - 3x + 6} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} - 8x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$.

b) SAI: Ta có $y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 4$.

Với $x = 0 \Rightarrow y = - 3$ và $x = 4 \Rightarrow y = 13$.

Xét dấu $y'$, ta có $y' > 0$ với mọi $x$ thuộc các khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$ và $\left( {4; + \infty } \right)$; $y' < 0$ với mọi $x$ thuộc các khoảng $\left( {0;2} \right)$ và $\left( {2;4} \right)$. Như vậy, bảng biến thiên đã cho sai dấu, dẫn đến chiều biến thiên cũng sai.

c) ĐÚNG: Tiệm cận đứng $x = 2$.

Thực hiện chia đa thức: $y = 2x + 1 + \frac{8}{{x - 2}}$ nên tiệm cận xiên là $y = 2x + 1$.

d) ĐÚNG: Hai điểm cực trị là $A\left( {0; - 3} \right)$ và $B\left( {4;13} \right)$.

Khoảng cách là $AB = \sqrt {{{\left( {4 - 0} \right)}^2} + {{\left( {13 - \left( { - 3} \right)} \right)}^2}} = 4\sqrt {17}$.

Giá trị đại diện các nhóm lần lượt là: $15{,}5$; $18{,}5$; $21{,}5$; $24{,}5$; $27{,}5$; $30{,}5$.

d) ĐÚNG: $\overline {{x_B}} = \frac{{1 \cdot \left( {15{,}5} \right) + 2 \cdot \left( {18{,}5} \right) + 1 \cdot \left( {21{,}5} \right) + 3 \cdot \left( {24{,}5} \right) + 2 \cdot \left( {27{,}5} \right) + 3 \cdot \left( {30{,}5} \right)}}{{12}} = 24{,}5$.

a) ĐÚNG: Phương sai của mẫu số liệu tỉnh B:

$s_B^2 = \frac{{1 \cdot {{\left( {15{,}5} \right)}^2} + 2 \cdot {{\left( {18{,}5} \right)}^2} + 1 \cdot {{\left( {21{,}5} \right)}^2} + 3 \cdot {{\left( {24{,}5} \right)}^2} + 2 \cdot {{\left( {27{,}5} \right)}^2} + 3 \cdot {{\left( {30{,}5} \right)}^2}}}{{12}} - {\left( {24{,}5} \right)^2} = 24$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu tỉnh B:${s_B} = \sqrt {24} \approx 4{,}9$.

b) SAI: Số trung bình tỉnh A là

$\overline {{x_A}} = \frac{{1 \cdot \left( {15{,}5} \right) + 2 \cdot \left( {18{,}5} \right) + 1 \cdot \left( {21{,}5} \right) + 4 \cdot \left( {24{,}5} \right) + 2 \cdot \left( {27{,}5} \right) + 2 \cdot \left( {30{,}5} \right)}}{{12}} = 24$.

Phương sai của mẫu số liệu tỉnh A là

$s_A^2 = \frac{{1 \cdot {{\left( {15{,}5} \right)}^2} + 2 \cdot {{\left( {18{,}5} \right)}^2} + 1 \cdot {{\left( {21{,}5} \right)}^2} + 4 \cdot {{\left( {24{,}5} \right)}^2} + 2 \cdot {{\left( {27{,}5} \right)}^2} + 2 \cdot {{\left( {30{,}5} \right)}^2}}}{{12}} = 20{,}75$.

c) ĐÚNG: Độ lệch chuẩn mẫu số liệu tỉnh A là ${s_A} = \sqrt {20{,}75} \approx 4{,}56$. Vì ${s_A} < {s_B}$ nên nhiệt độ của tỉnh A đồng đều hơn tỉnh B.

Vì cực trị $A\left( {2; - 2} \right) \in \left( C \right) \Rightarrow 8a + 4b + 2 = - 2 \Leftrightarrow 2a + b = - 1$.

Đạo hàm: $y' = 3a{x^2} + 2bx$. Cực trị đạt tại $x = 2 \Leftrightarrow y'\left( 2 \right) = 12a + 4b = 0 \Leftrightarrow 3a + b = 0$.

Giải hệ phương trình gồm 2 phương trình trên ta thu được $a = 1$ và $b = - 3$. Hàm số là $y = {x^3} - 3{x^2} + 2$.

Đạo hàm bậc hai: $y'' = 6x - 6 = 0 \Leftrightarrow {x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} = 0$. Tâm đối xứng của đồ thị là $I\left( {1;0} \right)$.

Giá trị biểu thức: $2{x_0} - {y_0} = 2 \cdot 1 - 0 = 2$.

Đáp số: 2.

Hàm doanh thu thu được từ việc bán vé là: $R\left( x \right) = p \cdot x = 489 \cdot x \cdot {e^{ - 0{,}001x}}$.

Để tìm doanh thu lớn nhất, ta tính đạo hàm của $R\left( x \right)$ theo biến $x$:

Ta có $R'\left( x \right) = 489 \cdot {e^{ - 0{,}001x}}\left( {1 - 0{,}001x} \right)$; $R'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1000$.

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x = 1000$.

Giá vé tối ưu tương ứng tương ứng là: $p = 489 \cdot {e^{ - 0{,}001 \cdot 1000}} = \frac{{489}}{e} \approx 179{,}89$ (nghìn đồng).

Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị là $180$ nghìn đồng.

Đáp số: 180.

Viết lại biểu thức của hàm số: $y = x + 6 + \frac{{15}}{x}$.

Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x + 6} \right)} \right] = 0$ nên tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng $\left( d \right):y = x + 6$.

Giao điểm với $Ox$: Cho $y = 0 \Rightarrow x = - 6 \Rightarrow A\left( { - 6;0} \right) \Rightarrow OA = 6$.

Giao điểm với $Oy$: Cho $x = 0 \Rightarrow y = 6 \Rightarrow B\left( {0;6} \right) \Rightarrow OB = 6$.

Diện tích tam giác vuông $OAB$ là: $S = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18$.

Đáp số: 18.

Tọa độ các điểm từ mô tả đề bài:

Điểm $M\left( {a;b;0} \right)$ thuộc mặt đất (mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$).

Tọa độ flycam A: $A\left( {3;2;5} \right)$.

Tọa độ flycam B: $B\left( { - 6; - 6;5} \right)$.

Vì $A,B$ nằm cùng một phía đối với mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$, lấy đối xứng điểm $A$ qua mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ ta được điểm $A'\left( {3;2; - 5} \right)$. Tổng khoảng cách từ $M$ đến hai chiếc flycam ngắn nhất khi $M$ là giao điểm của đường thẳng $A'B$ với mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$.

Vectơ chỉ phương của đường thẳng $A'B$ là $\overrightarrow {A'B} = \left( { - 9; - 8;10} \right)$.

Phương trình tham số đường thẳng $A'B$: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = - 6 - 9t}\\{y = - 6 - 8t}\\{z = 5 + 10t}\end{array}} \right.$.

Điểm $M \in \left( {Oxy} \right) \Rightarrow {z_M} = 0 \Leftrightarrow 5 + 10t = 0 \Leftrightarrow t = - 0{,}5$.

Suy ra tọa độ của $M$:

$a = - 6 - 9 \cdot \left( { - 0{,}5} \right) = - 1{,}5$

$b = - 6 - 8 \cdot \left( { - 0{,}5} \right) = - 2$

$c = 0$

Giá trị biểu thức cần tính là: $b - a + c = - 2 - \left( { - 1{,}5} \right) + 0 = - 0{,}5$.

Đáp số: −0,5.

Gọi $T$ là cường độ lực căng trên mỗi sợi dây cáp. Chiếu điều kiện cân bằng lực theo phương thẳng đứng ta có: $4 \cdot T \cdot \sin 60^\circ = P$$\Leftrightarrow 4 \cdot T \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 72 \Leftrightarrow 2\sqrt 3 T = 72 \Leftrightarrow T = \frac{{36}}{{\sqrt 3 }} = 12\sqrt 3 \approx 20{,}78{\rm{\;(kN)}}$.

Làm tròn kết quả đến chữ số hàng phần chục ta được $20{,}8{\rm{\;kN}}$.

Đáp số: 20,8.

Tiệm cận đứng $x = 1 \Rightarrow - c = 1 \Rightarrow c = - 1$.

Tiệm cận ngang $y = - 1 \Rightarrow a = - 1$.

Đồ thị đi qua điểm $\left( {2;0} \right) \Rightarrow \frac{{2a + b}}{{2 + c}} = 0 \Rightarrow 2a + b = 0 \Leftrightarrow b = - 2a = 2$.

Kiểm tra giao điểm với trục tung: $x = 0 \Rightarrow y = \frac{b}{c} = - 2$ (Trùng khớp).

Vậy giá trị biểu thức: $T = a + b + 2c = - 1 + 2 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) = - 1$.

Đáp số: −1.