Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Chuyên Hà Nội - Amsterdam (Hà Nội) có đáp án

Dựa vào bảng xét dấu của $f'\left( x \right)$, ta thấy $f'\left( x \right) < 0$ khi $x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {0;2} \right)$. Do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ và $\left( {0;2} \right)$.

Chọn đáp án: D

Để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R} = \left( { - \infty ; + \infty } \right)$ thì hàm số phải xác định trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $y' \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}$ (dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm).

- Loại B vì hàm số có tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$.
- Xét đáp án A: $y' = - 3{x^2} - 2 < 0,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow$ hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
- Xét đáp án C: $y' = 9{x^2} + 3 > 0,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow$ hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
- Xét đáp án D: $y' = 6{x^2} - 5$, phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt nên hàm số có cả khoảng đồng biến và nghịch biến.

Chọn đáp án: C

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy tại điểm $x = 1$, đạo hàm $y'$ đổi dấu từ dương sang âm, do đó hàm số đạt cực đại tại $x = 1$.

Giá trị cực đại tương ứng của hàm số là .

Chọn đáp án: A

Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ { - 2;2} \right]$.

Ta có đạo hàm: $f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x - 9$.

Giải phương trình $f'\left( x \right) = 0$$\Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = - 1 \in \left[ { - 2;2} \right]}\\{x = 3 \notin \left[ { - 2;2} \right]}\end{array}} \right.$.

Tính giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị trong đoạn:

$f\left( { - 2} \right) = {\left( { - 2} \right)^3} - 3 \cdot {\left( { - 2} \right)^2} - 9 \cdot \left( { - 2} \right) + 10 = - 8 - 12 + 18 + 10 = 8$;

$f\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^3} - 3 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} - 9 \cdot \left( { - 1} \right) + 10 = - 1 - 3 + 9 + 10 = 15$;

$f\left( 2 \right) = {2^3} - 3 \cdot {2^2} - 9 \cdot 2 + 10 = 8 - 12 - 18 + 10 = - 12$.

So sánh các giá trị trên, ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\left[ { - 2;2} \right]$ bằng $15$ tại $x = - 1$.

Chọn đáp án: C

Dựa vào bảng biến thiên trên đoạn $\left[ { - 1;3} \right]$, hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ với giá trị $f\left( 0 \right) = 5$.

Tại biên $x = 3$, giá trị hàm số là $f\left( 3 \right) = 4$.

Vì $5 > 4$ và trên các khoảng còn lại hàm số không vượt quá $5$, ta kết luận giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\left[ { - 1;3} \right]$ là $5$, đạt được tại $x = 0$.

Do đó, $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)$.

Chọn đáp án: A