Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Chuyên Hà Nội - Amsterdam (Hà Nội) có đáp án

Dựa vào bảng xét dấu của $f'\left( x \right)$, ta thấy $f'\left( x \right) < 0$ khi $x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {0;2} \right)$. Do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ và $\left( {0;2} \right)$.

Chọn đáp án: D

Để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R} = \left( { - \infty ; + \infty } \right)$ thì hàm số phải xác định trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $y' \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}$ (dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm).

- Loại B vì hàm số có tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$.
- Xét đáp án A: $y' = - 3{x^2} - 2 < 0,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow$ hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
- Xét đáp án C: $y' = 9{x^2} + 3 > 0,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow$ hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
- Xét đáp án D: $y' = 6{x^2} - 5$, phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt nên hàm số có cả khoảng đồng biến và nghịch biến.

Chọn đáp án: C

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy tại điểm $x = 1$, đạo hàm $y'$ đổi dấu từ dương sang âm, do đó hàm số đạt cực đại tại $x = 1$.

Giá trị cực đại tương ứng của hàm số là .

Chọn đáp án: A

Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ { - 2;2} \right]$.

Ta có đạo hàm: $f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x - 9$.

Giải phương trình $f'\left( x \right) = 0$$\Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = - 1 \in \left[ { - 2;2} \right]}\\{x = 3 \notin \left[ { - 2;2} \right]}\end{array}} \right.$.

Tính giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị trong đoạn:

$f\left( { - 2} \right) = {\left( { - 2} \right)^3} - 3 \cdot {\left( { - 2} \right)^2} - 9 \cdot \left( { - 2} \right) + 10 = - 8 - 12 + 18 + 10 = 8$;

$f\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^3} - 3 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} - 9 \cdot \left( { - 1} \right) + 10 = - 1 - 3 + 9 + 10 = 15$;

$f\left( 2 \right) = {2^3} - 3 \cdot {2^2} - 9 \cdot 2 + 10 = 8 - 12 - 18 + 10 = - 12$.

So sánh các giá trị trên, ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\left[ { - 2;2} \right]$ bằng $15$ tại $x = - 1$.

Chọn đáp án: C

Dựa vào bảng biến thiên trên đoạn $\left[ { - 1;3} \right]$, hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ với giá trị $f\left( 0 \right) = 5$.

Tại biên $x = 3$, giá trị hàm số là $f\left( 3 \right) = 4$.

Vì $5 > 4$ và trên các khoảng còn lại hàm số không vượt quá $5$, ta kết luận giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\left[ { - 1;3} \right]$ là $5$, đạt được tại $x = 0$.

Do đó, $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)$.

Chọn đáp án: A

Thực hiện phép chia đa thức tử số cho mẫu số ta được $y = 2x - 5 + \frac{{10}}{{x + 3}}$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{10}}{{x + 3}} = 0$, nên đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng ${\rm{\Delta }}:y = 2x - 5$.

Suy ra $a = 2$ và $b = - 5$.

Giá trị của tổng $a + b$ là: $a + b = 2 + \left( { - 5} \right) = - 3$.

Chọn đáp án: A

Tổng số cỡ mẫu là $n = 42$.

Tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$ là giá trị vị trí thứ $\frac{n}{4} = \frac{{42}}{4} = 10{,}5$.

Ta tính tần số tích lũy:

- Nhóm $\left[ {0;5} \right)$: Tần số tích lũy $c{f_1} = 3$.
- Nhóm $\left[ {5;10} \right)$: Tần số tích lũy $c{f_2} = 3 + 4 = 7$.
- Nhóm $\left[ {10;15} \right)$: Tần số tích lũy $c{f_3} = 7 + 8 = 15$.

Vì $7 < 10{,}5 \le 15$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là $\left[ {10;15} \right)$.

Áp dụng công thức tính tứ phân vị thứ nhất cho mẫu số liệu ghép nhóm: ${Q_1} = L + \left( {\frac{{\frac{n}{4} - c{f_{k - 1}}}}{{{n_k}}}} \right) \cdot c$.

Trong đó:

- $L = 10$ (đầu mút trái của nhóm chứa ${Q_1}$)
- $c{f_{k - 1}} = 7$ (tần số tích lũy của nhóm trước đó)
- ${n_k} = 8$ (tần số của nhóm chứa ${Q_1}$)
- $c = 15 - 10 = 5$ (độ rộng nhóm)

Thay số vào ta được: ${Q_1} = 10 + \left( {\frac{{10{,}5 - 7}}{8}} \right) \cdot 5 = 10 + \frac{{3{,}5}}{8} \cdot 5 = 10 + 2{,}1875 = 12{,}1875$.

Giá trị này gần nhất với kết quả $12{,}19$.

Chọn đáp án: C

Tính giá trị đại diện ${x_i}$ của từng nhóm (trung điểm của mỗi nhóm):

- Nhóm $1:\left[ {2;3{,}5} \right) \Rightarrow {x_1} = \frac{{2 + 3{,}5}}{2} = 2{,}75$.
- Nhóm $2:\left[ {3{,}5;5} \right) \Rightarrow {x_2} = \frac{{3{,}5 + 5}}{2} = 4{,}25$.
- Nhóm $3:\left[ {5;6{,}5} \right) \Rightarrow {x_3} = \frac{{5 + 6{,}5}}{2} = 5{,}75$.
- Nhóm $4:\left[ {6{,}5;8} \right) \Rightarrow {x_4} = \frac{{6{,}5 + 8}}{2} = 7{,}25$.

Tổng số bóng đèn (cỡ mẫu): $n = 8 + 35 + 22 + 15 = 80$.

Tuổi thọ trung bình $\bar x$ là: $\bar x = \frac{{8 \cdot 2{,}75 + 22 \cdot 4{,}25 + 35 \cdot 5{,}75 + 15 \cdot 7{,}25}}{{80}} \approx 5{,}32$.

Chọn đáp án: D

- Đáp án A đúng theo quy tắc hình hộp: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC}$.
- Đáp án B đúng theo quy tắc hình bình hành cho đáy $ABCD$: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}$.
- Đáp án C đúng vì trong hình lập phương các cạnh bằng nhau nên độ dài đại số $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {CD} } \right|$.
- Đáp án D sai vì hai vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {CD}$ là hai vectơ ngược hướng nhau ($\overrightarrow {AB} = - \overrightarrow {CD}$).

Chọn đáp án: D

Trong một tứ diện đều, các cặp cạnh đối diện luôn vuông góc với nhau từng đôi một.

Thật vậy, ta có: $\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC}$ nên $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} \cdot \left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC}$.

Vì tứ diện đều cạnh 6 nên các tam giác $ABD$ và $ABC$ là các tam giác đều cạnh 6 $\Rightarrow \widehat {BAD} = \widehat {BAC} = 60^\circ$.

Do đó ta có $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = AB \cdot AD \cdot \cos 60^\circ = 6 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 18$, $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = AB \cdot AC \cdot \cos 60^\circ = 6 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 18$.

$\Rightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} = 18 - 18 = 0$.

Chọn đáp án: D

Hình chiếu vuông góc của một điểm $M\left( {x;y;z} \right)$ lên mặt phẳng tọa độ $\left( {Oxy} \right)$ thu được bằng cách giữ nguyên hoành độ, tung độ và cho cao độ bằng 0.

Vậy hình chiếu của $M\left( {2; - 2;1} \right)$ là $M'\left( {2; - 2;0} \right)$.

Chọn đáp án: A

Vì $A$ là trọng tâm của tam giác $BCE$ nên ta có hệ thức tọa độ: $\left\{ \begin{array}{l}{x_A} = \frac{{{x_B} + {x_C} + {x_E}}}{3}\\{y_A} = \frac{{{y_B} + {y_C} + {y_E}}}{3}\\{z_A} = \frac{{{z_B} + {z_C} + {z_E}}}{3}\end{array} \right.$.

Thay tọa độ các điểm $A\left( {5; - 2;0} \right),B\left( { - 2;3;0} \right),C\left( {0;2;3} \right)$ vào ta được:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_E} = 3 \cdot 5 - \left( { - 2} \right) - 0 = 15 + 2 = 17\\{y_E} = 3 \cdot \left( { - 2} \right) - 3 - 2 = - 6 - 3 - 2 = - 11\\{z_E} = 3 \cdot 0 - 0 - 3 = - 3\end{array} \right.$.

Vậy tọa độ điểm $E$ là $\left( {17; - 11; - 3} \right)$.

Chọn đáp án: A

Hàm số có tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$.

Ta biến đổi hàm số: $y = \frac{{x\left( {x - 2} \right) + \left( {x - 2} \right) + 1}}{{x - 2}} = x + 1 + \frac{1}{{x - 2}}$.

a) SAI. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = + \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = - \infty \Rightarrow x = 2$ là tiệm cận đứng.

Bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang (có tiệm cận xiên $y = x + 1$).

b) SAI. Tính đạo hàm: $y' = 1 - \frac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2} - 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$.

Giải phương trình $y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 1}\\{x = 3}\end{array}} \right.$.

Đạo hàm đổi dấu khi qua $x = 1$ và $x = 3$ nên hàm số có 2 điểm cực trị.

c) ĐÚNG. Bảng xét dấu đạo hàm $y'$:

Với $x \in \left( {3; + \infty } \right)$, ta có $y' > 0$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {3; + \infty } \right)$.

d) SAI. Trên nửa khoảng $\left( {2;6} \right]$, dựa vào bảng xét dấu ta thấy trên $\left( {2;3} \right]$ hàm số nghịch biến đi xuống cực tiểu tại $x = 3$ ($y\left( 3 \right) = 5$). Trên $\left[ {3;6} \right]$ hàm số đồng biến đi lên.

Ta tính giá trị tại biên $x = 6$: $y\left( 6 \right) = \frac{{{6^2} - 6 - 1}}{{6 - 2}} = \frac{{29}}{4}$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = + \infty$, nên trên nửa khoảng $\left( {2;6} \right]$, hàm số tiến tới $+ \infty$ khi $x$ tiến về $2$. Do đó hàm số không có giá trị lớn nhất trên nửa khoảng này.

a) ĐÚNG. Theo đề bài, tại $x = 1$ thì $N\left( 1 \right) = 6$.

Thay vào công thức: $6 = \frac{{C \cdot 1}}{{{1^2} + 2}} \Leftrightarrow 6 = \frac{C}{3} \Rightarrow C = 18$.

b) SAI. Với $C = 18$, hàm số là $N\left( x \right) = \frac{{18x}}{{{x^2} + 2}}$.

Tại $x = 4$: $N\left( 4 \right) = \frac{{18 \cdot 4}}{{{4^2} + 2}} = \frac{{72}}{{18}} = 4\,\left( {{\rm{mg/l}}} \right)$. Đề bài ghi $9\,\left( {{\rm{mg/l}}} \right)$ là sai.

c) SAI. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $N\left( x \right)$ với $x > 0$:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho mẫu số: ${x^2} + 2 \ge 2\sqrt 2 x$$\Rightarrow N\left( x \right) = \frac{{18x}}{{{x^2} + 2}} \le \frac{{18x}}{{2\sqrt 2 x}} = \frac{9}{{\sqrt 2 }} \approx 6{,}36\,\left( {{\rm{mg/l}}} \right)$.

Vì nồng độ lớn nhất chỉ đạt khoảng $6{,}36\,\left( {{\rm{mg/l}}} \right)$ nên không bao giờ đạt được $7\,\left( {{\rm{mg/l}}} \right)$.

d) SAI. Tính đạo hàm của $N\left( x \right)$: $N'\left( x \right) = \frac{{18\left( {{x^2} + 2} \right) - 18x\left( {2x} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}} = \frac{{36 - 18{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}} = \frac{{18\left( {2 - {x^2}} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}}$.

$N'\left( x \right) = 0 \Rightarrow x = \sqrt 2 \approx 1{,}414{\rm{\;ph\'u t}}$.

Hàm số đồng biến (nồng độ tăng dần) trên khoảng $\left( {0;\sqrt 2 } \right)$ và nghịch biến trên $\left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right)$. Do đó, trong 2 phút đầu tiên, nồng độ chỉ tăng từ $0$ đến $\sqrt 2$ phút, sau đó giảm từ $\sqrt 2$ đến $2$ phút. Khẳng định tăng dần trong suốt 2 phút đầu là sai.

a) ĐÚNG. Ta có $\overrightarrow {A'B'} = \overrightarrow {D'C'}$. Do đó: $\overrightarrow {A'B'} - \overrightarrow {DC'} = \overrightarrow {D'C'} - \overrightarrow {DC'} = \overrightarrow {D'C'} + \overrightarrow {C'D} = \overrightarrow {D'D}$.

Vậy $\left| {\overrightarrow {A'B'} - \overrightarrow {DC'} } \right| = \left| {\overrightarrow {D'D} } \right| = D'D = 3$.

b) SAI. Theo quy tắc hình hộp: $\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'}$. Mà $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD}$, nên biểu thức đề bài cho sai.

c) SAI. Ta có $\overrightarrow {B'C} = \overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {BC}$ nên $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {B'C} = \overrightarrow {AB} \cdot \left( {\overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {BC} } \right) = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC}$.

Vì $AB \bot BB'$ và $AB \bot BC$ nên cả hai tích vô hướng đều bằng 0 $\Rightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {B'C} = 0$.

d) ĐÚNG.

Từ đẳng thức vectơ: $\overrightarrow {C'N} = 2\overrightarrow {NB'} \Leftrightarrow \overrightarrow {C'N} = 2\left( {\overrightarrow {C'B'} - \overrightarrow {C'N} } \right) \Leftrightarrow 3\overrightarrow {C'N} = 2\overrightarrow {C'B'} \Rightarrow \overrightarrow {C'N} = \frac{2}{3}\overrightarrow {C'B'}$.

Phân tích vectơ $\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {C'N} = \left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) + \frac{2}{3}\left( { - \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD}$.

(Vì $\overrightarrow {C'B'} = \overrightarrow {CB} = - \overrightarrow {AD}$). Đẳng thức hoàn toàn chính xác.

a) SAI. Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;3; - 4} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 6;8;2} \right)$.

Suy ra $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 6} \right) + 3 \cdot 8 + \left( { - 4} \right) \cdot 2 = 6 + 24 - 8 = 22 \ne 6$.

b) ĐÚNG. Tọa độ trung điểm $M$ của $AC$:

${x_M} = \frac{{2 + \left( { - 4} \right)}}{2} = - 1,\quad {y_M} = \frac{{ - 1 + 7}}{2} = 3,\quad {z_M} = \frac{{3 + 5}}{2} = 4 \Rightarrow M\left( { - 1;3;4} \right)$.

Tính độ dài $BM$ với $B\left( {1;2; - 1} \right)$:

$BM = \sqrt {{{\left( { - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - 2} \right)}^2} + {{\left( {4 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + {5^2}} = \sqrt {4 + 1 + 25} = \sqrt {30}$.

c) ĐÚNG. Để $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;3; - 4} \right)$; $\overrightarrow {DC} = \left( { - 4 - a;7 - b;5 - c} \right)$. Suy ra $\left\{ \begin{array}{l} - 4 - a = - 1\\7 - b = 3\\5 - c = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\b = 4\\c = 9\end{array} \right.$.

Tổng $a + b + c = - 3 + 4 + 9 = 10$.

d) ĐÚNG. Ta có $AB = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = \sqrt {1 + 9 + 16} = \sqrt {26}$; $AC = \sqrt {104} = 2\sqrt {26}$.

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác: $\frac{{IB}}{{IC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{\sqrt {26} }}{{2\sqrt {26} }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \overrightarrow {IC} = - 2\overrightarrow {IB}$.

Gọi $I\left( {x;y;z} \right)$, ta có: $\left\{ \begin{array}{l} - 4 - x = - 2\left( {1 - x} \right)\\7 - y = - 2\left( {2 - y} \right)\\5 - z = - 2\left( { - 1 - z} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = - \frac{2}{3}}\\\begin{array}{l}y = \frac{{11}}{3}\\z = 1\end{array}\end{array}} \right. \Rightarrow I\left( { - \frac{2}{3};\frac{{11}}{3};1} \right)$.

Tính độ dài $OI$: $OI = \sqrt {{{\left( { - \frac{2}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{11}}{3}} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt {\frac{4}{9} + \frac{{121}}{9} + \frac{9}{9}} = \sqrt {\frac{{134}}{9}} = \frac{{\sqrt {134} }}{3}$.

Tìm giá trị đại diện ${x_i}$ của mỗi nhóm:

- Nhóm 1: ${x_1} = 152$, tần số ${n_1} = 25$.
- Nhóm 2: ${x_2} = 156$, tần số ${n_2} = 50$.
- Nhóm 3: ${x_3} = 160$, tần số ${n_3} = 200$.
- Nhóm 4: ${x_4} = 164$, tần số ${n_4} = 175$.
- Nhóm 5: ${x_5} = 168$, tần số ${n_5} = 50$.

Tổng số học sinh $n = 500$.

Tính số trung bình cộng $\bar x$: $\bar x = \frac{{25 \cdot 152 + 50 \cdot 156 + 200 \cdot 160 + 175 \cdot 164 + 50 \cdot 168}}{{500}}$$= 161{,}4{\rm{\;cm}}$.

Tính phương sai ${s^2}$:

${s^2} = \frac{{25{{\left( {152 - 161{,}4} \right)}^2} + 50{{\left( {156 - 161{,}4} \right)}^2} + 200{{\left( {160 - 161{,}4} \right)}^2} + 175{{\left( {164 - 161{,}4} \right)}^2} + 50{{\left( {168 - 161{,}4} \right)}^2}}}{{500}}$$= 14{,}84$.

Tính độ lệch chuẩn $s$: $s = \sqrt {14{,}84} \approx 3{,}85{\rm{\;cm}}$.

Đáp án: 3,85.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Ta có: $y' = 3{x^2} + 18x$.

Giải phương trình $y' = 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x + 6} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 0}\\{x = - 6}\end{array}} \right.$.

Bảng xét dấu $y'$:

Hàm số đạt cực đại tại $x = - 6$. Suy ra tọa độ hoành độ cực đại là $a = - 6$.

Giá trị cực đại tương ứng của hàm số: $b = y\left( { - 6} \right) = {\left( { - 6} \right)^3} + 9 \cdot {\left( { - 6} \right)^2} - 10 = - 216 + 324 - 10 = 98$.

Vậy tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số là $M\left( { - 6;98} \right)$, tức $a = - 6,b = 98$.

Giá trị của biểu thức $b - a$ là: $b - a = 98 - \left( { - 6} \right) = 104$.

Đáp án: 104.

Vì điểm $C \in \left( {Oxy} \right)$ nên cao độ của $C$ bằng $0$, tức là $p = 0 \Rightarrow C\left( {m;n;0} \right)$.

Ta có các vectơ: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 10;4; - 2} \right)$; $\overrightarrow {AC} = \left( {m - 2;n - 3;1} \right)$.

Để ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng thì hai vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$ cùng phương. Do đó tồn tại số thực $k$ sao cho $\overrightarrow {AC} = k \cdot \overrightarrow {AB}$, tức là $\left\{ \begin{array}{l}m - 2 = - 10k\\n - 3 = 4k\\1 = - 2k\end{array} \right. \Rightarrow k = - \frac{1}{2}$.

Thay $k = - \frac{1}{2}$ ngược lại hệ phương trình để tìm $m$ và $n$:

$m - 2 = - 10 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = 5 \Rightarrow m = 7$

$n - 3 = 4 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = - 2 \Rightarrow n = 1$

Vậy tọa độ điểm $C$ là $\left( {7;1;0} \right)$, nghĩa là $m = 7,n = 1,p = 0$.

Giá trị của biểu thức $m + n + p$ là: $m + n + p = 7 + 1 + 0 = 8$.

Đáp án: 8.

Tàu ngầm chuyển động thẳng cùng phương với vectơ $\vec u\left( {2; - 2;1} \right)$.

Vectơ chỉ phương của đoạn thẳng chuyển động là $\vec u$, độ dài của vectơ $\vec u$ là: $\left| {\vec u} \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} = 3$.

Điểm $B$ nằm trên đường thẳng đi qua $A$ có vectơ chỉ phương $\vec u$, nên phương trình chuyển động từ $A$ đến $B$ biểu diễn qua hệ số tỉ lệ $t$: $\overrightarrow {AB} = t \cdot \vec u \Rightarrow {x_B} = {x_A} + 2t$.

Theo đề bài, hoành độ ${x_B} = 610$ và ${x_A} = 10$ nên $610 = 10 + 2t \Rightarrow 2t = 600 \Rightarrow t = 300$.

Do đó vectơ $\overrightarrow {AB} = 300 \cdot \vec u = \left( {600; - 600;300} \right)$.

Độ dài quãng đường từ $A$ đến $B$ là: $AB = 300 \cdot \left| {\vec u} \right| = 300 \cdot 3 = 900{\rm{\;m\'e t}}$.

Tàu đi được quãng đường $900{\rm{m}}$ mất thời gian là 6 phút.

Vận tốc chuyển động không đổi của tàu ngầm là: $v = \frac{{900}}{6} = 150{\rm{\;m/ph\'u t}}$.

Quãng đường từ $A$ đến $D$ dài $2700{\rm{m}}$.

Thời gian tàu ngầm di chuyển hết toàn bộ chặng đường $AD$ là: $T = \frac{{2700}}{{150}} = 18{\rm{\;ph\'u t}}$.

Đáp án: 18.

Doanh thu khi bán $x$ sản phẩm là: $R\left( x \right) = 500x$ (nghìn đồng).

Hàm lợi nhuận mỗi ngày thu được là:

$P\left( x \right) = R\left( x \right) - S\left( x \right) = 500x - \left( {{x^3} - 3{x^2} + 80x + 500} \right) = - {x^3} + 3{x^2} + 420x - 500$ (nghìn đồng).

Xét hàm $P\left( x \right)$ trên nửa khoảng $\left[ {1;25} \right)$.

Tính đạo hàm của hàm lợi nhuận: $P'\left( x \right) = - 3{x^2} + 6x + 420$.

Giải phương trình $P'\left( x \right) = 0$:

$- 3{x^2} + 6x + 420 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 140 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 1 + \sqrt {141} \approx 12{,}87 \in \left[ {1;25} \right)}\\{x = 1 - \sqrt {141} < 0{\rm{\;(loai)}}}\end{array}} \right.$.

Bảng biến thiên của hàm $P\left( x \right)$ trên $\left[ {1;25} \right)$:

Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm $x = 1 + \sqrt {141} \approx 12{,}87$. Vì lượng sản phẩm sản xuất thực tế phải là một số nguyên, ta so sánh giá trị lợi nhuận tại hai điểm nguyên gần nhất là $x = 12$ và $x = 13$:

$P\left( {12} \right) = - {12^3} + 3 \cdot {12^2} + 420 \cdot 12 - 500 = - 1728 + 432 + 5040 - 500 = 3244$;

$P\left( {13} \right) = - {13^3} + 3 \cdot {13^2} + 420 \cdot 13 - 500 = - 2197 + 507 + 5460 - 500 = 3270$.

So sánh thấy lợi nhuận lớn nhất đạt được là $3270$ nghìn đồng khi sản xuất 13 sản phẩm.

Đổi sang đơn vị triệu đồng và làm tròn: $3270$ nghìn đồng xấp xỉ bằng 3,3 triệu đồng.

Đáp án: 3,3.

Do tính chất đối xứng qua trục tung $Oy$ của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{2}{e^{ - {x^2}}}$, gọi tọa độ điểm $D$ nằm trên trục hoành bên dương là $D\left( {x;0} \right)$ với $x > 0$. Khi đó tọa độ điểm $A$ đối xứng với $D$ qua $O$ là $A\left( { - x;0} \right)$.

Chiều dài đáy hình chữ nhật $AD$ là: $AD = 2x$.

Điểm $C$ thuộc đồ thị có hoành độ bằng hoành độ của $D$ nên tọa độ $C\left( {x;\frac{1}{2}{e^{ - {x^2}}}} \right)$.

Chiều cao của hình chữ nhật $CD$ là: $CD = \frac{1}{2}{e^{ - {x^2}}}$.

Diện tích của tiết diện hình chữ nhật $ABCD$ tính theo đơn vị ${\rm{da}}{{\rm{m}}^2}$ là:

$S\left( x \right) = AD \cdot CD = 2x \cdot \frac{1}{2}{e^{ - {x^2}}} = x \cdot {e^{ - {x^2}}}$.

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $S\left( x \right)$ trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$:

Tính đạo hàm: $S'\left( x \right) = 1 \cdot {e^{ - {x^2}}} + x \cdot \left( { - 2x} \right){e^{ - {x^2}}} = \left( {1 - 2{x^2}} \right){e^{ - {x^2}}}$.

Giải phương trình $S'\left( x \right) = 0$: $1 - 2{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}{\rm{\;(do\;}}x > 0)$.

Bảng biến thiên của hàm diện tích $S\left( x \right)$:

Diện tích lớn nhất đạt được tại $x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$: ${S_{{\rm{max}}}} = S\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \cdot {e^{ - {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \cdot {e^{ - \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt {2e} }}{\rm{\;(da}}{{\rm{m}}^2})$.

Đổi đơn vị diện tích sang mét vuông (${{\rm{m}}^2}$):

Vì $1{\rm{\;dam}} = 10{\rm{\;m}} \Rightarrow 1{\rm{\;da}}{{\rm{m}}^2} = 100{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}$ nên ${S_{{\rm{max}}}} = \frac{1}{{\sqrt {2e} }} \cdot 100 \approx \frac{{100}}{{2{,}3316}} \approx 42{,}888{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}$.

Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, ta thu được diện tích lớn nhất là $43{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}$.

Đáp án: 43.