Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 45

a) Tần số ghép nhóm của nhóm ${\rm{[}}460;640)$là 6.

b .Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm ${\rm{[10}}0;280)$là $f = \frac{{20}}{{37}}.100\% \approx 54\%$.

Ta có: không gian mẫu của phép thử là:

$$\Omega = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12} \right\}$$

Nên số kết quả có thể xảy ra là $n\left( \Omega \right) = 12$.

Có 5 kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là: 2; 3; 5; 7; 11.

Nên $n\left( A \right) = 5$

Vậy xác suất của biến cố $A$ là: $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{5}{{12}}$

1) Khi $x = 25$ ( ĐKXĐ thoả mãn)

Ta có $A = \frac{{\sqrt {25} - 3}}{{\sqrt {25} + 3}} = \frac{{5 - 3}}{{5 + 3}} = \frac{1}{4}$.

Vậy $A = \frac{1}{4}$

2) Rút gọn biểu thức $B.$

Ta có $B = \frac{{x - 3}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{9}{{x - 3\sqrt x }} + \frac{3}{{\sqrt x }}$

$$= \frac{{\left( {x - 3} \right)\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \frac{9}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \frac{{3\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}$$

$$= \frac{{x\sqrt x - 3\sqrt x + 9 + 3\sqrt x - 9}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}$$

$$= \frac{{x\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}$$

$$= \frac{x}{{\sqrt x - 3}}$$

Vậy $B = \frac{x}{{\sqrt x - 3}}$

3). Xét biểu thức $P = A \cdot B$. Chứng minh $P > 0$.

Ta có $P = A \cdot B = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 3}}.\frac{x}{{\sqrt x - 3}} = \frac{x}{{\sqrt x + 3}}$

Với $x > 0;x \ne 9$, ta có $\sqrt x + 3 > 0$ nên $P = \frac{x}{{\sqrt x + 3}} > 0$

Gọi số tiền bác Tuấn đã vay ngân hàng Sacombank và Vietcombank lần lượt là $x,$$y$(tỉ đồng)

Điều kiện: $0 < x < 5;\,$$0 < y < 5.$

Theo bài, tổng số tiền vay là 5 tỉ đồng nên ta có phương trình:$x + y = 5$.

Số tiền lãi phải trả mỗi năm cho ngân hàng Sacombank là $x.12\% = 0{,}12x$(tỉ đồng).

Số tiền lãi phải trả mỗi năm cho ngân hàng Vietcombank là $y.11\% = 0{,}11y$(tỉ đồng).

Theo bài, tổng số tiền lãi phải trả là 570 triệu đồng nên ta có phương trình:

$0{,}12x + 0{,}11y = 0{,}57$hay $12x + 11y = 57.$

Ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x + y = 5}\\{12x + 11y = 57.}\end{array}} \right.$.

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 11, ta được hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{11x + 11y = 55}\\{12x + 11y = 57}\end{array}} \right.$.

Trừ hai vế của hai phương trình trên, ta được: $x = 2$.

Thay $x = 2$ vào phương trình $x + y = 5$ ,

Ta được $2 + y = 5$.

$$y = 3.$$

Ta thấy $x = 2$ và $y = 3.$ thỏa mãn điều kiện.

Vậy số tiền bác Tuấn đã vay của ngân hàng Sacombank là 2 tỉ đồng và Vietcombank là 3 tỉ đồng.

Gọi số sản phẩm dự định làm trong 1 giờ của người đó là $x\,$$\left( {x \in {\mathbb{N}^*},\,x < 20} \right)$

Theo dự định: Thời gian hoàn thành là $\frac{{72}}{x}$ (ngày)

Thực tế: Mỗi giờ người đó đã làm $x + 1$ ( sản phẩm)

Thời gian hoàn thành $\frac{{80}}{{x + 1}}$ (ngày).

Vì thời gian hoàn thành công việc vẫn chậm hơn so với dự định 12 phút $= \frac{1}{5}h$

Nên ta có phương trình:

$\frac{{80}}{{x + 1}} - \frac{{72}}{x} = \frac{1}{5}{\rm{ }}$

$\frac{{400x - 360(x + 1)}}{{5x(x + 1)}} = \frac{{x(x + 1)}}{{5x(x + 1)}}$

$40x - 360 = {x^2} + x$

${x^2} - 39x + 360 = 0$

$\Delta = {39^2} - 4.360 = 81 > 0 \Rightarrow \sqrt \Delta = 9$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_1} = \frac{{ - ( - 39) + 9}}{2} = 24$ (loại) và ${x_2} = \frac{{ - ( - 39) - 9}}{2} = 15$ (tmđk).

Vậy số sản phẩm dự định làm trong 1 giờ của người đó là 15 sản phẩm.