Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 45

a) Tần số ghép nhóm của nhóm ${\rm{[}}460;640)$là 6.

b .Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm ${\rm{[10}}0;280)$là $f = \frac{{20}}{{37}}.100\% \approx 54\%$.

Ta có: không gian mẫu của phép thử là:

$$\Omega = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12} \right\}$$

Nên số kết quả có thể xảy ra là $n\left( \Omega \right) = 12$.

Có 5 kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là: 2; 3; 5; 7; 11.

Nên $n\left( A \right) = 5$

Vậy xác suất của biến cố $A$ là: $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{5}{{12}}$

1) Khi $x = 25$ ( ĐKXĐ thoả mãn)

Ta có $A = \frac{{\sqrt {25} - 3}}{{\sqrt {25} + 3}} = \frac{{5 - 3}}{{5 + 3}} = \frac{1}{4}$.

Vậy $A = \frac{1}{4}$

2) Rút gọn biểu thức $B.$

Ta có $B = \frac{{x - 3}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{9}{{x - 3\sqrt x }} + \frac{3}{{\sqrt x }}$

$$= \frac{{\left( {x - 3} \right)\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \frac{9}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \frac{{3\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}$$

$$= \frac{{x\sqrt x - 3\sqrt x + 9 + 3\sqrt x - 9}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}$$

$$= \frac{{x\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}$$

$$= \frac{x}{{\sqrt x - 3}}$$

Vậy $B = \frac{x}{{\sqrt x - 3}}$

3). Xét biểu thức $P = A \cdot B$. Chứng minh $P > 0$.

Ta có $P = A \cdot B = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 3}}.\frac{x}{{\sqrt x - 3}} = \frac{x}{{\sqrt x + 3}}$

Với $x > 0;x \ne 9$, ta có $\sqrt x + 3 > 0$ nên $P = \frac{x}{{\sqrt x + 3}} > 0$

Gọi số tiền bác Tuấn đã vay ngân hàng Sacombank và Vietcombank lần lượt là $x,$$y$(tỉ đồng)

Điều kiện: $0 < x < 5;\,$$0 < y < 5.$

Theo bài, tổng số tiền vay là 5 tỉ đồng nên ta có phương trình:$x + y = 5$.

Số tiền lãi phải trả mỗi năm cho ngân hàng Sacombank là $x.12\% = 0{,}12x$(tỉ đồng).

Số tiền lãi phải trả mỗi năm cho ngân hàng Vietcombank là $y.11\% = 0{,}11y$(tỉ đồng).

Theo bài, tổng số tiền lãi phải trả là 570 triệu đồng nên ta có phương trình:

$0{,}12x + 0{,}11y = 0{,}57$hay $12x + 11y = 57.$

Ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x + y = 5}\\{12x + 11y = 57.}\end{array}} \right.$.

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 11, ta được hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{11x + 11y = 55}\\{12x + 11y = 57}\end{array}} \right.$.

Trừ hai vế của hai phương trình trên, ta được: $x = 2$.

Thay $x = 2$ vào phương trình $x + y = 5$ ,

Ta được $2 + y = 5$.

$$y = 3.$$

Ta thấy $x = 2$ và $y = 3.$ thỏa mãn điều kiện.

Vậy số tiền bác Tuấn đã vay của ngân hàng Sacombank là 2 tỉ đồng và Vietcombank là 3 tỉ đồng.

Gọi số sản phẩm dự định làm trong 1 giờ của người đó là $x\,$$\left( {x \in {\mathbb{N}^*},\,x < 20} \right)$

Theo dự định: Thời gian hoàn thành là $\frac{{72}}{x}$ (ngày)

Thực tế: Mỗi giờ người đó đã làm $x + 1$ ( sản phẩm)

Thời gian hoàn thành $\frac{{80}}{{x + 1}}$ (ngày).

Vì thời gian hoàn thành công việc vẫn chậm hơn so với dự định 12 phút $= \frac{1}{5}h$

Nên ta có phương trình:

$\frac{{80}}{{x + 1}} - \frac{{72}}{x} = \frac{1}{5}{\rm{ }}$

$\frac{{400x - 360(x + 1)}}{{5x(x + 1)}} = \frac{{x(x + 1)}}{{5x(x + 1)}}$

$40x - 360 = {x^2} + x$

${x^2} - 39x + 360 = 0$

$\Delta = {39^2} - 4.360 = 81 > 0 \Rightarrow \sqrt \Delta = 9$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_1} = \frac{{ - ( - 39) + 9}}{2} = 24$ (loại) và ${x_2} = \frac{{ - ( - 39) - 9}}{2} = 15$ (tmđk).

Vậy số sản phẩm dự định làm trong 1 giờ của người đó là 15 sản phẩm.

a). Ta có $x = \frac{{\sqrt 5 - 2}}{3}$

$3x = \sqrt 5 - 2$

$3x + 2 = \sqrt 5$

${\left( {3x + 2} \right)^2} = 5$

$9{x^2} + 12x + 4 = 5$

$9{x^2} + 12x - 1 = 0$

Vậy phương trình bậc hai cần tìm là: $9{x^2} + 12x - 1 = 0$

b). Theo hệ thức Vi-ét, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - 4}}{3}\\{x_1}.{x_2} = \frac{{ - 1}}{9}\end{array} \right.$

Ta có $x_1^3 + x_2^3 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}.{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = {\left( {\frac{{ - 4}}{3}} \right)^3} - 3\left( {\frac{{ - 1}}{9}} \right)\left( {\frac{{ - 4}}{3}} \right) = \frac{{ - 76}}{{27}}$

a. Thể tích của khối gỗ lúc chưa khoét là:

$V = \pi {r^2}h = \pi {.10^2}.20 \approx 6283\left( {c{m^3}} \right)$

b. Diện tích bề mặt của khối gỗ còn lại gồm diện tích xung quanh của hình trụ (có bán kính đáy là $r = 10\left( {cm} \right),$và chiều cao $h = 20(cm)$) và diện tích hai nửa mặt cầu bán kính $r = 10\left( {cm} \right),$

Diện tích cần tìm là: $S = 2\pi r.h + 4\pi {r^2} = 2\pi .10.20 + 4.\pi {.10^2} \approx 2513\left( {c{m^2}} \right)$

a) $CEFD$ là tứ giác nội tiếp.

Ta có $\widehat {ACD} = 90^\circ$ ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên vuông tại $C$

Gọi $I$ là trung điểm của $ED$

Ta có $CI$ là đường trung tuyến hạ xuống cạnh huyền $ED$

Nên $CI = IE = ID = \frac{1}{2}ED$ (1)

Tương tự trong tam giác $EFD$ vuông tại $F$, ta có

$FI = IE = ID = \frac{1}{2}ED$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $CI = FI = IE = ID$

Hay tứ giác $CEFD$ là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm $I$ đường kính $ED$

-----------------------------

b) $FA$ là tia phân giác của $\widehat {BFM}$

Ta có $CEFD$ nội tiếp=> $\widehat {CED} = \widehat {CFD}$ ( hai góc nội tiếp cùng chắn )

Chứng minh tương tự câu a) ta có $ABEF$ là tứ giác nội tiếp

=> $\widehat {BEA} = \widehat {BFA}$ ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung )

Mà $\widehat {BEA} = \widehat {CED}$ ( đối đỉnh)

$\widehat {AFM} = \widehat {CFD}$ ( đối đỉnh)

Do đó $\widehat {BFA} = \widehat {AFM}$

Hay $FA$ là tia phân giác $\widehat {BFM}$

c) $BE.DN = EN.BD$.

Ta có $\widehat {EFC} = \widehat {EDC}$ ( hai góc nội tiếp cùng chắn )

$\widehat {EFB} = \widehat {BAE}$ ( hai góc nội tiếp cùng chắn )

Mà $\widehat {BAE} = \widehat {BAC} = \widehat {BDC} = \widehat {EDC}$ ( hai góc nội tiếp cùng chắn )

Suy ra $\widehat {EFC} = \widehat {EFB}$ hay $FE$ là tia phân giác của $\widehat {BFC}$

Trong có $FE$ là phân giác trong tại đỉnh $F$ $\Rightarrow \frac{{BE}}{{EN}} = \frac{{FB}}{{FN}}$

Mà$EF \bot \;FD$ $\Rightarrow FD$ là phân giác ngoài tại đỉnh $F$$\Rightarrow \frac{{BD}}{{DN}} = \frac{{FB}}{{FN}}$

Suy ra $\frac{{BE}}{{EN}} = \frac{{BD}}{{DN}} \Rightarrow BE.DN = EN.BD$

Gọi bán kính đáy là $x\,(\;m)\,(x > 0)$, chiều cao bồn chứa là $h\,(\;m)$.

Thể tích chứa của bồn là $V = \pi {x^2} \cdot h = 54\pi \Rightarrow h = \frac{{54}}{{{x^2}}}$($m$).

Diện tích toàn phần của bồn chứa là: ${S_{TP}} = 2\pi {x^2} + 2\pi x \cdot h = 2\pi {x^2} + \frac{{108\pi }}{x}\left( {\;{m^2}} \right)$

Để chi phí xây dựng thấp nhất thì diện tích toàn phần của bồn phải nhỏ nhất.

Ta có

${S_{TP}} = 2\pi {x^2} + \frac{{108\pi }}{x} = 2\pi {x^2} + \frac{{54\pi }}{x} + \frac{{54\pi }}{x} \ge 3\sqrt[3]{{2\pi {x^2}.\frac{{54\pi }}{x}.\frac{{54\pi }}{x}}} = 54\pi$( BĐT Cô si cho 3 số không âm)

${S_{TP}}$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $54\pi \left( {{m^2}} \right)$ khi $2\pi {x^2} = \frac{{54\pi }}{x} \Rightarrow {x^3} = 27 \Rightarrow x = 3$ (m)

Khi đó số tiền xây bồn thấp nhất mà cửa hàng phải trả là : $54\pi .500000 \approx$ 84 823 002 (đồng)