Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 39

- Số đại biểu tham dự hội nghị là: $54:33{,}75\% = 160$ (đại biểu)

- Lập bảng tần số ghép nhóm tương ứng:

Không gian mẫu thử có 20 phần tử

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A: “kim chỉ vào ô có số là bội của 3” là 6.

Xác suất của biến cố A là: $\frac{6}{{20}} = \frac{3}{{10}}$

1) Thay $x = 4$ (TMĐK) vào biểu thức $A$ có:

$A = \frac{{3.4 + 12}}{{\sqrt 4 + 3}} = \frac{{24}}{5}$

Vậy $A = \frac{{24}}{5}$ khi $x = 4$

2) Chứng minh$B = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}$

$$B = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} - \frac{{7\sqrt x + 3}}{{x - 9}}$$

$$= \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} - \frac{{7\sqrt x + 3}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$$

$$= \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right) + 2\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right) - 7\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$$

$$= \frac{{x + 3\sqrt x + \sqrt x + 3 + 2x - 6\sqrt x - 7\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$$

$$= \frac{{3x - 9\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$$

$$= \frac{{3\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$$

$$= \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}$$

Vậy $B = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}$ với $x > 0;x \ne 9$

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{A}{B}$

$P = \frac{A}{B}$$= \frac{{3x + 12}}{{\sqrt x + 3}}.\frac{{\sqrt x + 3}}{{3\sqrt x }}$$= \frac{{x + 4}}{{\sqrt x }}$$= \sqrt x + \frac{4}{{\sqrt x }}$

Xét bất đẳng thức Cauchy: Với hai số thực không âm a, b ta có:

$a + b \ge 2\sqrt {ab}$. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a = b$

Thật vậy: ${\left( {a - b} \right)^2} \ge 0$$\Rightarrow {\left( {a + b} \right)^2} \ge 4ab$$\Rightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a = b$

Vì $x \ge 0$$\Rightarrow \sqrt x \ge 0;\frac{4}{{\sqrt x }} > 0$ nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$P = \sqrt x + \frac{4}{{\sqrt x }}$ $\ge 2\sqrt {\sqrt x .\frac{4}{{\sqrt x }}}$ $= 4$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: $\sqrt x = \frac{4}{{\sqrt x }}$

$x = 4\;$(Thỏa mãn)

Vậy ${P_{{\rm{min}}}} = 4$ khi và chỉ khi $x = 4\;$

Gọi số tấm kính giọt bắn mỗi lớp $9A,\;9B$làm được trong đợt 1 lần lượt là: $x,\;y$ (tấm) ($0 < x,y < 1500)$

Vì trong đợt 1 cả hai lớp $9A,\;9B$ đã làm được $1500$chiếc tấm kính chắn giọt bắn nên ta có phương trình:

$x + y = 1500$ (1)

Số tấm kính giọt bắn lớp $9A$làm được trong đợt 2 là: $x + 70\% .x = 1{,}7x$ (tấm)

Số tấm kính giọt bắn lớp $9B$làm được trong đợt 2 là: $y + 68\% .y = 1{,}68y$ (tấm)

Vì trong đợt 2 cả hai lớp $9A,\;9B$ đã làm được $2358$chiếc tấm kính chắn giọt bắn nên ta có phương trình:

$1{,}7x + 1{,}68y = 2358$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:$\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1500\quad \quad \quad \quad \quad \left( 1 \right)\\1{,}7x + 1{,}68y = 2358\quad \quad \left( 2 \right)\end{array} \right.$

Giải hệ phương trình ta được: $x = 960\;\left( {TM} \right);\;y = 540\;\left( {TM} \right)$

Vậy số tấm kính giọt bắn mỗi lớp $9A,\;9B$làm được trong đợt 1 lần lượt là: $960;\;540$ (tấm)

Gọi số sản phẩm phải làm trong 1 giờ theo kế hoạch là: $x$ (sản phẩm) ($x \in {\mathbb{N}^*}$)

Thời gian công nhân đó làm xong số sản phẩm theo kế hoạch là: $\frac{{60}}{x}$ (giờ)

Số sản phẩm phải làm trong 1 giờ theo thực tế là: $x + 2$ (sản phẩm)

Số sản phẩm người công nhân đó làm được theo thực tế là: $60 + 3 = 63$(sản phẩm)

Thời gian công nhân đó làm xong số sản phẩm theo thực tếlà: $\frac{{63}}{{x + 2}}$ (giờ)

Vì thực thế người công nhân đó hoàn thành công việc sớm hơn $30$ phút $= \frac{1}{2}$ giờ nên ta có phương trình:

$\frac{{60}}{x}$$- \frac{{63}}{{x + 2}} = \frac{1}{2}$

$$\frac{{120\left( {x + 2} \right) - 126x}}{{2x\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{2x\left( {x + 2} \right)}}$$

$$120x + 240 - 126x = {x^2} + 2x$$

$${x^2} + 8x - 240 = 0$$

$$\left( {x + 20} \right)\left( {x - 12} \right) = 0$$

$x = - 20\;\left( {KTM} \right);\;$$x = 12\left( {TM} \right)$

Vậy số sản phẩm phải làm trong 1 giờ theo kế hoạch là $12$ (sản phẩm)