Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 48

Ta có$\Omega = \left\{ {1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\,;\,7\,;\,\left. 8 \right\}} \right.$, có 8 phần tử.

Các kết quả thuận lợi cho biến cố: “Mũi tên chỉ vào hình quạt ghi số là ước của $8$”

là: $1\,;\,2\,;\,4\,;\,8$

$\Rightarrow$Xác suất của biến cố: “Mũi tên chỉ vào hình quạt ghi số là ước của $8$” là: $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

1) Tính giá trị của biểu thức $B$ với $x = 25$.

Với $x = 25$ (thỏa mãn điều kiện) thay vào biểu thức $B$ ta có:

$B = \frac{{\sqrt {25} + 3}}{{\sqrt {25} + 1}} = \frac{{5 + 3}}{{5 + 1}} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.

Vậy $B = \frac{4}{3}$ khi $x = 25$.

2) Chứng minh $A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}}$.

Ta có: $A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{3\sqrt x }}{{x + \sqrt x - 2}}$

$= \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}$

$= \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right) + \left( {\sqrt x - 1} \right) - 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \frac{{x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}$

$= \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}}$

Vậy $A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}}$với $x \ge 0$; $x \ne 1$.

3) Tìm $x$ để biểu thức $S = A.B$ đạt giá trị lớn nhất.

Với $x \ge 0$; $x \ne 1$.

Ta có: $S = A.B = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}}.\frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 2}} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x + 2}}$

Ta có: $x \ge 0$$\Rightarrow \sqrt x + 2 \ge 2$$\Rightarrow \frac{1}{{\sqrt x + 2}} \le \frac{1}{2}$$\Rightarrow 1 + \frac{1}{{\sqrt x + 2}} \le 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Dấu xảy ra khi $x = 0$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy GTLN của $S$ là $\frac{3}{2}$ khi $x = 0$.

Gọi $x$ ( triệu đồng) là giá tiền một tủ lạnh khi chưa giảm giá $(x > 0)$

Gọi $y$ ( triệu đồng) là giá tiền một máy giặt khi chưa giảm giá $(y > 0)$

Giá niêm yết hai món đồ trên là $25{,}4$ triệu nên có phương trình:

$x + y = 25{,}4$

Giá bán hai món đồ trên sau khi giảm giá là $16{,}77$triệu nên có phương trình

$\left( {100\% - 40\% } \right).x + \left( {100\% - 25\% } \right).y = 16{,}77$

Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 25{,}4\\\frac{3}{5}x + \frac{3}{4}y = 16{,}77\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 15{,}2(t/m)\\y = 10{,}2(t/m)\end{array} \right.$

Vậy giá một tủ lạnh chưa giảm giá là $15{,}2$ triệu đồng

Giá một máy giặt chưa giảm giá là $10{,}2$triệu đồng

Gọi vận tốc lúc đi là $x$ $(km,x > 0)$.

Chiều dài quãng đường đi từ A đến B là $100km$.

Thời gian lúc đi là $\frac{{100}}{x}$ (giờ).

Quãng đường lúc về là $100 + 20 = 120$(km).

Vận tốc lúc về là $x + 20$$\left( {km/h} \right).$

Thời gian lúc về là $\frac{{120}}{{x + 20}}$(giờ).

Vì thời gian lúc về ít hơn thời gian đi $30$ phút $= \frac{1}{2}$giờ nên ta có phương trình:

$\frac{{100}}{x} - \frac{{120}}{{x + 20}} = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{{100\left( {x + 20} \right) - 120x}}{{x\left( {x + 20} \right)}} = \frac{1}{2}$$\Leftrightarrow \frac{{2000 - 20x}}{{x\left( {x + 20} \right)}} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow x\left( {x + 20} \right) = 2\left( {2000 - 20x} \right)$$\Leftrightarrow {x^2} + 20x = 4000 - 40x$

$\Leftrightarrow {x^2} + 60x - 4000 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 40\,\,\left( {tm} \right)\\x = - 100\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.$

Vậy vận tốc lúc đi là $40$km/h.