Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 39

- Số đại biểu tham dự hội nghị là: $54:33{,}75\% = 160$ (đại biểu)

- Lập bảng tần số ghép nhóm tương ứng:

Không gian mẫu thử có 20 phần tử

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A: “kim chỉ vào ô có số là bội của 3” là 6.

Xác suất của biến cố A là: $\frac{6}{{20}} = \frac{3}{{10}}$

1) Thay $x = 4$ (TMĐK) vào biểu thức $A$ có:

$A = \frac{{3.4 + 12}}{{\sqrt 4 + 3}} = \frac{{24}}{5}$

Vậy $A = \frac{{24}}{5}$ khi $x = 4$

2) Chứng minh$B = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}$

$$B = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} - \frac{{7\sqrt x + 3}}{{x - 9}}$$

$$= \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} - \frac{{7\sqrt x + 3}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$$

$$= \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right) + 2\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right) - 7\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$$

$$= \frac{{x + 3\sqrt x + \sqrt x + 3 + 2x - 6\sqrt x - 7\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$$

$$= \frac{{3x - 9\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$$

$$= \frac{{3\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$$

$$= \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}$$

Vậy $B = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}$ với $x > 0;x \ne 9$

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{A}{B}$

$P = \frac{A}{B}$$= \frac{{3x + 12}}{{\sqrt x + 3}}.\frac{{\sqrt x + 3}}{{3\sqrt x }}$$= \frac{{x + 4}}{{\sqrt x }}$$= \sqrt x + \frac{4}{{\sqrt x }}$

Xét bất đẳng thức Cauchy: Với hai số thực không âm a, b ta có:

$a + b \ge 2\sqrt {ab}$. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a = b$

Thật vậy: ${\left( {a - b} \right)^2} \ge 0$$\Rightarrow {\left( {a + b} \right)^2} \ge 4ab$$\Rightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a = b$

Vì $x \ge 0$$\Rightarrow \sqrt x \ge 0;\frac{4}{{\sqrt x }} > 0$ nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$P = \sqrt x + \frac{4}{{\sqrt x }}$ $\ge 2\sqrt {\sqrt x .\frac{4}{{\sqrt x }}}$ $= 4$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: $\sqrt x = \frac{4}{{\sqrt x }}$

$x = 4\;$(Thỏa mãn)

Vậy ${P_{{\rm{min}}}} = 4$ khi và chỉ khi $x = 4\;$

Gọi số tấm kính giọt bắn mỗi lớp $9A,\;9B$làm được trong đợt 1 lần lượt là: $x,\;y$ (tấm) ($0 < x,y < 1500)$

Vì trong đợt 1 cả hai lớp $9A,\;9B$ đã làm được $1500$chiếc tấm kính chắn giọt bắn nên ta có phương trình:

$x + y = 1500$ (1)

Số tấm kính giọt bắn lớp $9A$làm được trong đợt 2 là: $x + 70\% .x = 1{,}7x$ (tấm)

Số tấm kính giọt bắn lớp $9B$làm được trong đợt 2 là: $y + 68\% .y = 1{,}68y$ (tấm)

Vì trong đợt 2 cả hai lớp $9A,\;9B$ đã làm được $2358$chiếc tấm kính chắn giọt bắn nên ta có phương trình:

$1{,}7x + 1{,}68y = 2358$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:$\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1500\quad \quad \quad \quad \quad \left( 1 \right)\\1{,}7x + 1{,}68y = 2358\quad \quad \left( 2 \right)\end{array} \right.$

Giải hệ phương trình ta được: $x = 960\;\left( {TM} \right);\;y = 540\;\left( {TM} \right)$

Vậy số tấm kính giọt bắn mỗi lớp $9A,\;9B$làm được trong đợt 1 lần lượt là: $960;\;540$ (tấm)

Gọi số sản phẩm phải làm trong 1 giờ theo kế hoạch là: $x$ (sản phẩm) ($x \in {\mathbb{N}^*}$)

Thời gian công nhân đó làm xong số sản phẩm theo kế hoạch là: $\frac{{60}}{x}$ (giờ)

Số sản phẩm phải làm trong 1 giờ theo thực tế là: $x + 2$ (sản phẩm)

Số sản phẩm người công nhân đó làm được theo thực tế là: $60 + 3 = 63$(sản phẩm)

Thời gian công nhân đó làm xong số sản phẩm theo thực tếlà: $\frac{{63}}{{x + 2}}$ (giờ)

Vì thực thế người công nhân đó hoàn thành công việc sớm hơn $30$ phút $= \frac{1}{2}$ giờ nên ta có phương trình:

$\frac{{60}}{x}$$- \frac{{63}}{{x + 2}} = \frac{1}{2}$

$$\frac{{120\left( {x + 2} \right) - 126x}}{{2x\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{2x\left( {x + 2} \right)}}$$

$$120x + 240 - 126x = {x^2} + 2x$$

$${x^2} + 8x - 240 = 0$$

$$\left( {x + 20} \right)\left( {x - 12} \right) = 0$$

$x = - 20\;\left( {KTM} \right);\;$$x = 12\left( {TM} \right)$

Vậy số sản phẩm phải làm trong 1 giờ theo kế hoạch là $12$ (sản phẩm)

Xét phương trình ${x^2} - x - 1 = 0\quad \left( 1 \right)$

Ta có: $ac = - 1 < 0$ nên PT (1) luôn có hai nghiệm trái dấu ${x_1},{x_2}$

Theo hệ thức Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 1\\{x_1}{x_2} = - 1\end{array} \right.$

Xét $\frac{{{x_2} + 1}}{{{x_1}}} + \frac{{{x_1} + 1}}{{{x_2}}}$ $= \frac{{x_2^2 + {x_2} + x_1^2 + {x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}$ $= \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}$ $= \frac{{{1^2} + 2 - 1}}{{ - 1}}$ $= - 2$

$\frac{{{x_2} + 1}}{{{x_1}}}.\frac{{{x_1} + 1}}{{{x_2}}}$ $= \frac{{{x_1}.{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1}}{{{x_1}.{x_2}}}$ $= \frac{{ - 1 + 1 + 1}}{{ - 1}}$ $= - 1$

Do đó: $\frac{{{x_2} + 1}}{{{x_1}}};$ $\frac{{{x_1} + 1}}{{{x_2}}}$là nghiệm của phương trình bậc hai ẩn t sau: ${t^2} + 2t - 1 = 0.$

a) Tính diện tích bề mặt và thể tích của mỗi quả bóng

Bán kính quả bóng hình cầu là : $r = 6{,}5:2$ $= 3{,}25cm$

Diện tích bề mặt mỗi quả bóng là : ${S_{mc}} = 4\pi {r^2}$ $= 4.\pi {,3{,}25^2}$ $= 42{,}25\pi \,\left( {c{m^2}} \right)$

Thể tích của mỗi quả bóng hình cầu là: $V = \frac{4}{3}\pi {r^3}$ $= \frac{4}{3}.\pi {.3{,}25^3}$ $= \frac{{13{,}73125\pi }}{3}\,\left( {c{m^3}} \right)$

b) Tính diện tích xung quanh và thể tích của hộp bóng.

Bán kính hộp bóng hình trụ chính là bán kính của quả bóng hình cầu là: $r = 6{,}5:2 = 3{,}25cm$

Chiều cao của hộp bóng hình trụ là: $h = 3.6{,}5 = 19{,}5\left( {cm} \right)$

Diện tích xung quanh hộp bóng hình trụ là : ${S_{xq}} = 2\pi Rh$ $= 2.\pi .3{,}25.19.5$ $= 123{,}5\pi \,\left( {c{m^2}} \right)$

Thể tích của hộp bóng hình trụ là: $V = \pi {r^2}h$ $= \pi {.3{,}25^2}.19{,}5$ $= 205{,}96875\pi \,\left( {c{m^3}} \right)$

a) Chứng minh tứ giác $ABOC$ nội tiếp.

Xét $\left( O \right)$có:

$AB$là tiếp tuyến tại $B$ (GT) nên $AB \bot OB \Rightarrow \widehat {ABO} = 90^\circ$

$\Rightarrow \Delta ABO$vuông tại $B$ nên điểm $B$ thuộc đường tròn đường kính $AO$ (1)

Mặt khác: $AC$là tiếp tuyến tại $C$ (GT) nên $AC \bot OC \Rightarrow \widehat {ACO} = 90^\circ$

$\Rightarrow \Delta ACO$vuông tại $C$nên điểm $C$ thuộc đường tròn đường kính $AO$ (2)

Từ (1) và (2) sy ra: 4 điểm $A,B,O,C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AO$

Do đó, tứ giác $ABOC$ nội tiếp đường tròn đường kính $AO$

b) Chứng minh $BC$ vuông góc với $OA$ và $BA.BE = AE.BO$.

* Chứng minh $BC$ vuông góc với $OA$

Xét $\left( O \right)$có: $AB$và$AC$ là hai tiếp tuyến cắt nhau ở $A$ (GT)

$\Rightarrow AB = AC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà $OB = OC$ ($B,\,\,C$ thuộc đường tròn$\left( O \right)$)

$\Rightarrow OA$ là đường trung trực của $BC$ nên $BC \bot OA$

* Chứng minh $BA.BE = AE.BO$

Xét $\Delta ABO$ và $\Delta AEB$ có:

$\widehat {ABO} = \widehat {AEB} = 90^\circ \,\,(cmt)$

$\widehat {BAO}$: góc chung

Suy ra: $\Delta ABO$ ~ $\Delta AEB$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{BO}}{{EB}} \Rightarrow AB.EB = AE.BO$

c) Gọi $I$là điểm thộc đoạn thẳng $BE$, đường thẳng qua$I$và vuông góc $OI$cắt các tia $AB,\,\,AC$theo thứ tự tại $D$và $F$. Chứng minh $F$ là trung điểm của$AC$.

Vì $AB \bot OB \Rightarrow \widehat {DBO} = 90^\circ$

$\Rightarrow \Delta DBO$vuông tại $B$ nên điểm $B$ thuộc đường tròn đường kính $DO$ (1)

Vì $OI \bot DF \Rightarrow \widehat {DIO} = 90^\circ$

$\Rightarrow \Delta DIO$vuông tại $I$ nên điểm $I$ thuộc đường tròn đường kính $DO$ (2)

Từ (1) và (2) sy ra: 4 điểm $D,B,I,O$ cùng thuộc đường tròn đường kính $DO$

Do đó, tứ giác $DBIO$ nội tiếp đường tròn đường kính $DO$

$\Rightarrow \widehat {IDO} = \widehat {IBO}$ ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung $IO$)

CMTT ta có: $\widehat {IFO} = \widehat {ICO}$

Mặt khác: $OB = OC \Rightarrow \Delta OBC$cân ở $O \Rightarrow \widehat {OBC} = \widehat {OCB}$ hay $\widehat {IBO} = \widehat {ICO}$

Do đó: $\widehat {IDO} = \widehat {IFO} \Rightarrow \Delta ODF$ cân ở $O$ mà $OI \bot DF$ (GT)

$\Rightarrow I$ là trung điểm của $DF$

Gọi chiều rộng là $x\left( {cm} \right)\left( {0 < x < 12} \right)$

Chiều dài là $12 - x\left( {cm} \right)$

Chiều cao là $24 - x\left( {cm} \right)$

Ta có thể tích chiếc hộp là: $V = x\left( {12 - x} \right)\left( {24 - x} \right)\left( {c{m^3}} \right)$

Bất đẳng thức Cauchy 3 số không âm $a,b,c$ta có: $a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c$

Thật vậy, đặt $x = \sqrt[3]{a},y = \sqrt[3]{b},z = \sqrt[3]{c}$$\Rightarrow x,y,z \ge 0 \Rightarrow x + y + z \ge 0$

Ta phái chứng minh:

${x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz$

${\left( {x + y} \right)^3} - 3xy\left( {x + y} \right) + {z^3} - 3xyz \ge 0$

$\left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - \left( {x + y} \right)z + {z^2}} \right] - 3xy\left( {x + y + z} \right) \ge 0$

$\left( {x + y + z} \right)\left[ {{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2xy - xz - yz} \right] - 3xy\left( {x + y + z} \right) \ge 0$

$\left( {x + y + z} \right)\left[ {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - xz - yz} \right] \ge 0$

${x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - xz - yz \ge 0$ (vì $x + y + z \ge 0$)

${\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {y - z} \right)^2} + {\left( {z - x} \right)^2} \ge 0$(luôn đúng)

Dấu “=” xảy ra khi $x = y = z$ hay $a = b = c$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm ta có:

$V = x\left( {12 - x} \right)\left( {24 - x} \right)\left( {c{m^3}} \right)$

$\frac{1}{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}.x.\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {12 - x} \right)\left( {24 - x} \right)$

$\le \frac{1}{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}.{\left[ {\frac{{x + \left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {12 - x} \right) + \left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {24 - x} \right)}}{3}} \right]^3}$

$= \frac{1}{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}.{\left[ {\frac{{x + 12\sqrt 3 - \sqrt 3 x - 12 + x + 48 - 2x - 24\sqrt 3 + \sqrt 3 x}}{3}} \right]^3}$

$= \frac{1}{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}.{\left[ {\frac{{36 - 12\sqrt 3 }}{3}} \right]^3} = 384\sqrt 3$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: $x = \left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {12 - x} \right)$$= \left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {24 - x} \right)$$\Leftrightarrow x = 12 - 4\sqrt 3$

Vậy ${V_{\max }} = 384\sqrt 3$$\Leftrightarrow x = 12 - 4\sqrt 3$