Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 38

Bảng tần số tương đối ghép nhóm của mẫu số liệu được ghép nhóm trên là:

Không gian mẫu là: $\Omega = \left\{ {\left\{ {1;2} \right\};\left\{ {1;3} \right\};\left\{ {1;4} \right\};\left\{ {1;5} \right\};\left\{ {2;3} \right\};\left\{ {2;4} \right\};\left\{ {2;5} \right\};\left\{ {3;4} \right\};\left\{ {3;5} \right\};\left\{ {4;5} \right\}} \right\}.$

Do đó, tập hợp $\Omega$ có $10$ phần tử.

Do các viên bi có kích thước, khối lượng như nhau và được lấy ngẫu nhiên nên các kết quả trên là đồng khả năng.

Gọi $A$ là biến cố: “Hai viên bi được lấy ra khác màu”.

Có $6$ khả năng thuận lợi của biến cố $A$ là $\left\{ {1;4} \right\};\left\{ {1;5} \right\};\left\{ {2;4} \right\};\left\{ {2;5} \right\};\left\{ {3;4} \right\};\left\{ {3;5} \right\}.$

Vậy $P\left( A \right) = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}$.

1) Với $x = 9$ (TMĐK) thay vào biểu thức $Q$ ta được: $Q = \frac{1}{{3 + 2}} = \frac{1}{5}$

Vậy $x = 9$ thì biểu thức $Q = \frac{1}{5}$.

2) Với $x \ge 0;x \ne 4$ ta có:

$P = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{8\sqrt x }}{{x - 4}}$

$= \frac{{3\sqrt x (\sqrt x - 2) - \sqrt x (\sqrt x + 2) + 8\sqrt x }}{{(\sqrt x - 2)(\sqrt x + 2)}}$

$= \frac{{3x - 6\sqrt x - x - 2\sqrt x + 8\sqrt x }}{{(\sqrt x - 2)(\sqrt x + 2)}}$

$= \frac{{2x}}{{(\sqrt x - 2)(\sqrt x + 2)}}$

3) Với $x \ge 0;x \ne 4$ ta có: $M = \frac{P}{Q} = \frac{{2x}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}:\frac{1}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{2x}}{{\sqrt x - 2}}$

Để $M = 18$ thì $\frac{{2x}}{{\sqrt x - 2}} = 18$

$x - 9\sqrt x + 18 = 0$

$\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x - 6} \right) = 0$

$\sqrt x = 3$ hoặc $\sqrt x = 6$

$x = 9$ hoặc $x = 36$ (thoả mãn điều kiện)

Vậy để $M = 18$ thì $x \in \left\{ {9;36} \right\}$.

Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số mililít dung dịch HCl nồng độ $8\%$ và $20\%$ cần sử dụng để tạo thành $36$ ml dung dịch HCl nồng độ $12\%$. Điều kiện: $x > 0,y > 0$

Vì Bình muốn pha $36$ ml dung dịch HCl nồng độ $12\%$ nên ta có phương trình: $x + y = 36$

Mặt khác, Bình muốn pha $36$ ml dung dịch HCl có nồng độ $12\%$ từ các dung dịch ${\rm{HCl}}\,\,\,\,8\%$ và $20\%$ nên ta có phương trình: $8\% x + 20\% y = 12\% \cdot 36$ hay $0{,}08x + 0{,}2y = 4{,}32$

Ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x + \,\,\,\,\,\,\,\,\,y = 36\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{0{,}08x + 0{,}2y = 4{,}32\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.$

Nhân hai vế của phương trình $\left( 1 \right)$ với $0{,}08$ ta được: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{0{,}08x + 0{,}08y = 2{,}88\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)}\\{0{,}08x + \,\,\,0{,}2y = 4{,}32\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)}\end{array}} \right.$

Trừ từng vế hai phương trình $\left( 3 \right)$và $\left( 4 \right)$ta được $0{,}12y = 1{,}44$ hay $y = 12$.

Thay $y = 12$ vào phương trình $\left( 1 \right)$ ta được $x = 24$.

Các giá trị tìm được này thoả mãn các điều kiện của ẩn.

Vậy bạn Bình cần sử dụng khoảng $24$ ml dung dịch HCl nồng độ $8\%$ và $12$ ml dung dịch HCl nồng độ $20\%$ để pha chế $36$ ml dung dịch HCl nồng độ $12\%$.

Đổi $10$ phút = $\frac{1}{6}$giờ

Gọi vận tốc lúc đầu của ô tô là $x$ (km/h). Điều kiện: $x > 0$

Thời gian dự định của ô tô là: $\frac{{120}}{x}$ (giờ).

Trong $1$ giờ đầu ô tô đi được $x$ (km) nên quãng đường còn lại là: $120 - x$ (km).

Thời gian ô tô đi trên quãng đường còn lại là: $\frac{{120 - x}}{{x + 6}}$ (giờ).

Do xe đến $B$ đúng hạn nên ta có phương trình

$1 + \frac{1}{6} + \frac{{120 - x}}{{x + 6}} = \frac{{120}}{x}$

$\frac{{120}}{x} - \frac{{120 - x}}{{x + 6}} = \frac{7}{6}$

$\frac{{{x^2} + 720}}{{x(x + 6)}} = \frac{7}{6}$

$$6\left( {{x^2} + {\rm{ }}720} \right) = 7\left( {{x^2} + {\rm{ }}6x} \right)$$

$${x^2} + 42x--4320 = 0$$

$$\left( {x--48} \right)\left( {x + 90} \right) = 0$$

$x = 48$ hoặc $x = - 90$

Ta thấy $x = 48$ thoả mãn điều kiện bài toán; $x = - 90$ không thoả mãn điều kiện bài toán.

Vậy vận tốc lúc đầu của ô tô là $48$ km/h.