Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 38

Bảng tần số tương đối ghép nhóm của mẫu số liệu được ghép nhóm trên là:

Không gian mẫu là: $\Omega = \left\{ {\left\{ {1;2} \right\};\left\{ {1;3} \right\};\left\{ {1;4} \right\};\left\{ {1;5} \right\};\left\{ {2;3} \right\};\left\{ {2;4} \right\};\left\{ {2;5} \right\};\left\{ {3;4} \right\};\left\{ {3;5} \right\};\left\{ {4;5} \right\}} \right\}.$

Do đó, tập hợp $\Omega$ có $10$ phần tử.

Do các viên bi có kích thước, khối lượng như nhau và được lấy ngẫu nhiên nên các kết quả trên là đồng khả năng.

Gọi $A$ là biến cố: “Hai viên bi được lấy ra khác màu”.

Có $6$ khả năng thuận lợi của biến cố $A$ là $\left\{ {1;4} \right\};\left\{ {1;5} \right\};\left\{ {2;4} \right\};\left\{ {2;5} \right\};\left\{ {3;4} \right\};\left\{ {3;5} \right\}.$

Vậy $P\left( A \right) = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}$.

1) Với $x = 9$ (TMĐK) thay vào biểu thức $Q$ ta được: $Q = \frac{1}{{3 + 2}} = \frac{1}{5}$

Vậy $x = 9$ thì biểu thức $Q = \frac{1}{5}$.

2) Với $x \ge 0;x \ne 4$ ta có:

$P = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{8\sqrt x }}{{x - 4}}$

$= \frac{{3\sqrt x (\sqrt x - 2) - \sqrt x (\sqrt x + 2) + 8\sqrt x }}{{(\sqrt x - 2)(\sqrt x + 2)}}$

$= \frac{{3x - 6\sqrt x - x - 2\sqrt x + 8\sqrt x }}{{(\sqrt x - 2)(\sqrt x + 2)}}$

$= \frac{{2x}}{{(\sqrt x - 2)(\sqrt x + 2)}}$

3) Với $x \ge 0;x \ne 4$ ta có: $M = \frac{P}{Q} = \frac{{2x}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}:\frac{1}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{2x}}{{\sqrt x - 2}}$

Để $M = 18$ thì $\frac{{2x}}{{\sqrt x - 2}} = 18$

$x - 9\sqrt x + 18 = 0$

$\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x - 6} \right) = 0$

$\sqrt x = 3$ hoặc $\sqrt x = 6$

$x = 9$ hoặc $x = 36$ (thoả mãn điều kiện)

Vậy để $M = 18$ thì $x \in \left\{ {9;36} \right\}$.

Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số mililít dung dịch HCl nồng độ $8\%$ và $20\%$ cần sử dụng để tạo thành $36$ ml dung dịch HCl nồng độ $12\%$. Điều kiện: $x > 0,y > 0$

Vì Bình muốn pha $36$ ml dung dịch HCl nồng độ $12\%$ nên ta có phương trình: $x + y = 36$

Mặt khác, Bình muốn pha $36$ ml dung dịch HCl có nồng độ $12\%$ từ các dung dịch ${\rm{HCl}}\,\,\,\,8\%$ và $20\%$ nên ta có phương trình: $8\% x + 20\% y = 12\% \cdot 36$ hay $0{,}08x + 0{,}2y = 4{,}32$

Ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x + \,\,\,\,\,\,\,\,\,y = 36\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{0{,}08x + 0{,}2y = 4{,}32\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.$

Nhân hai vế của phương trình $\left( 1 \right)$ với $0{,}08$ ta được: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{0{,}08x + 0{,}08y = 2{,}88\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)}\\{0{,}08x + \,\,\,0{,}2y = 4{,}32\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)}\end{array}} \right.$

Trừ từng vế hai phương trình $\left( 3 \right)$và $\left( 4 \right)$ta được $0{,}12y = 1{,}44$ hay $y = 12$.

Thay $y = 12$ vào phương trình $\left( 1 \right)$ ta được $x = 24$.

Các giá trị tìm được này thoả mãn các điều kiện của ẩn.

Vậy bạn Bình cần sử dụng khoảng $24$ ml dung dịch HCl nồng độ $8\%$ và $12$ ml dung dịch HCl nồng độ $20\%$ để pha chế $36$ ml dung dịch HCl nồng độ $12\%$.

Đổi $10$ phút = $\frac{1}{6}$giờ

Gọi vận tốc lúc đầu của ô tô là $x$ (km/h). Điều kiện: $x > 0$

Thời gian dự định của ô tô là: $\frac{{120}}{x}$ (giờ).

Trong $1$ giờ đầu ô tô đi được $x$ (km) nên quãng đường còn lại là: $120 - x$ (km).

Thời gian ô tô đi trên quãng đường còn lại là: $\frac{{120 - x}}{{x + 6}}$ (giờ).

Do xe đến $B$ đúng hạn nên ta có phương trình

$1 + \frac{1}{6} + \frac{{120 - x}}{{x + 6}} = \frac{{120}}{x}$

$\frac{{120}}{x} - \frac{{120 - x}}{{x + 6}} = \frac{7}{6}$

$\frac{{{x^2} + 720}}{{x(x + 6)}} = \frac{7}{6}$

$$6\left( {{x^2} + {\rm{ }}720} \right) = 7\left( {{x^2} + {\rm{ }}6x} \right)$$

$${x^2} + 42x--4320 = 0$$

$$\left( {x--48} \right)\left( {x + 90} \right) = 0$$

$x = 48$ hoặc $x = - 90$

Ta thấy $x = 48$ thoả mãn điều kiện bài toán; $x = - 90$ không thoả mãn điều kiện bài toán.

Vậy vận tốc lúc đầu của ô tô là $48$ km/h.

Vì $\Delta = {b^2} - 4ac = {2^2} - 4.\left( { - \sqrt 2 } \right).3 = 4 + 12\sqrt 2 > 0$

Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1},\,{x_2}$.

Theo định lí Viète, ta có: $S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{{ - 2}}{{ - \sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }};P = {x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{3}{{ - \sqrt 2 }} = - \frac{3}{{\sqrt 2 }}$

Do đó $A = \frac{{{x_2} + 1}}{{1 - {x_1}}} + \frac{{{x_1} + 1}}{{1 - {x_2}}}$$= \frac{{\left( {{x_2} + 1} \right)\left( {1 - {x_2}} \right)}}{{\left( {1 - {x_1}} \right)\left( {1 - {x_2}} \right)}} + \frac{{\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {1 - {x_1}} \right)}}{{\left( {1 - {x_2}} \right)\left( {1 - {x_1}} \right)}} = \frac{{{x_2} - x_2^2 + 1 - {x_2} + {x_1} - x_1^2 + 1 - {x_1}}}{{1 - {x_2} - {x_1} + {x_1}{x_2}}}$

$= \frac{{2 - \left( {x_1^2 + x_2^2} \right)}}{{1 - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2}}} = \frac{{2 - \left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]}}{{1 - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2}}}$$= \frac{{2 - \left( {{S^2} - 2P} \right)}}{{1 - S + P}} = \frac{{2 - \left[ {{{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2} - 2.\left( { - \frac{3}{{\sqrt 2 }}} \right)} \right]}}{{1 - \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \left( { - \frac{3}{{\sqrt 2 }}} \right)}} = \frac{3}{2}$

a) Bán kính quả bóng bàn là: $R = \frac{{40}}{2} = 20\,\,\left( {mm} \right) = 2\,\left( {cm} \right)$

Thể tích quả bóng bàn là: $V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {2^3} = \frac{{32}}{3}\pi \approx 33{,}51\,\,\left( {c{m^3}} \right)$

b) Thể tích nước và phần chìm của quả bóng bàn trong cốc là: $V = \pi {r^2}h = {3^2}.7{,}2\pi = \frac{{324}}{5}\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)$

Thể tích phần chìm của quả bóng bàn là: $\frac{{324}}{5}\pi - 200 \approx 3{,}58\,\,\left( {c{m^3}} \right)$

Thể tích phần nổi của quả bóng bàn là: $\frac{{32}}{3}\pi - \left( {\frac{{324}}{5}\pi - 200} \right) \approx 16{,}53\,\,\left( {c{m^3}} \right)$

Tỉ lệ phần trăm thể tích phần nổi của quả bóng bàn trong thí nghiệm trên là: $\frac{{16{,}53}}{{33{,}51}} \approx 49{,}33\,\%$

a) Chứng minh tứ giác $BHEK$ nội tiếp

Xét tứ giác $BHEK$, có: $\widehat {BHE} = 90^\circ \,\left( {EH \bot AB} \right)$ và $\widehat {EKB} = 90^\circ \,\left( {EK \bot BC} \right)$

nên $\widehat {BHE} + \widehat {EKB} = 180^\circ$ mà $\widehat {BHE}$ và $\widehat {EKB}$ là hai góc đối

Do đó tứ giác $BHEK$ nội tiếp

b) Chứng minh $BH.BA = BK.BC$

Xét $\Delta BEC$ và $\Delta BKE$ có: $\widehat {BEC} = \widehat {BKE} = 90^\circ$; $\widehat {EBC}$: góc chung

Do đó (g.g)

Suy ra $\frac{{BE}}{{BK}} = \frac{{BC}}{{BE}} \Rightarrow B{E^2} = BK.BC$ $\left( 1 \right)$

Chứng minh tương tự ta được $B{E^2} = BH.BA$ $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, suy ra: $BH.BA = BK.BC$.

c) Kẻ đường cao $CF$ của tam giác $ABC\left( {F \in AB} \right)$ và $I$ là trung điểm của $EF$. Chứng minh ba điểm $H,I,K$ thẳng hàng.

Theo câu a) ta có tứ giác $BHEK$ nội tiếp nên $\widehat {BHK} = \widehat {BEK}$ ($2$ góc nội tiếp cùng chắn ) $\left( 3 \right)$

Xét $\Delta BEC$ vuông tại $E$ có $EK \bot BC$ nên $\widehat {BEK} = \widehat {ECB}$ (cùng phụ $\widehat {KEC}$) $\left( 4 \right)$

Xét $\Delta BFC$ có $\widehat {BFC} = {90^ \circ }\left( {CF \bot AB} \right)$ nên $B,F,C$ thuộc đường tròn đường kính $BC$

Lại có $\Delta BEC$ có $\widehat {BEC} = {90^ \circ }\left( {BE \bot AC} \right)$ nên $B,E,C$ thuộc đường tròn đường kính $BC$

Suy ra bốn điểm $B,F,E,C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BC$

hay tứ giác $BFEC$ nội tiếp

Do đó $\widehat {ECB} = \widehat {HFE}$ (cùng bù với $\widehat {BFE}$) $\left( 5 \right)$

Xét $\Delta FHE$ vuông tại $H$ $\left( {EH \bot AB} \right)$ có $HI$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $EF$ ($I$ là trung

điểm của $EF$) nên $HI = IF = \frac{{EF}}{2}$

hay $\Delta HIF$ cân tại $I$ do đó $\widehat {IFH} = \widehat {FHI}$ $\left( 6 \right)$

Từ $\left( 3 \right)$, $\left( 4 \right)$, $\left( 5 \right)$ và $\left( 6 \right)$ suy ra $\widehat {BHK} = \widehat {FHI}$

Do đó $H,I,K$ thẳng hàng.

Gọi số lần giảm giá $100{\rm{ 000}}$đồng/1tour để thu được doanh thu lớn nhất là $x$ (lần)

Sau $x$ lần giảm thì giá của một tour là: $2{\rm{ }}000{\rm{ }}000 - 100{\rm{ }}000.x$ (đồng).

Vì cứ sau $1$ lần giảm thì có thêm $20$ người tham gia nên sau $x$ lần giảm thì có thêm $20.x$(người tham gia) nên tổng số người tham gia sau $x$ lần giảm giá là: $200 + 20.x$ (người )

Tổng doanh thu sau $x$ lần giảm giá là:

$S = \left( {2{\rm{ }}000{\rm{ }}000 - 100{\rm{ }}000.x} \right).\left( {200 + 20.x} \right)$(đồng)

$S = 100{\rm{ }}000.20.\left( {20 - x} \right).\left( {10 + x} \right)$(đồng)

$S = 2{\rm{ 0}}00{\rm{ }}000.\left( { - {x^2} + 10x + 200} \right)$ (đồng)

Xét $- {x^2} + 10{\rm{x + 200 = }} - {\rm{(}}{{\rm{x}}^2} - 10{\rm{x + 25}} - 25 - 200)$ $= - {{\rm{(x}} - 5)^2} + 225$

Vì $- {{\rm{(x}} - 5)^2} + 225 \le 225$ nên $2{\rm{ 0}}00{\rm{ }}000.\left( { - {x^2} + 10x + 200} \right) \le 2\,\,000\,\,000.225 = 450\,\,000\,\,000$

hay$S \le 450\,\,000\,\,000$

$${S_{m{\rm{ax}}}} = 450\,\,000\,\,000$$

Khi đó x = 5 (lần)

Vậy giá tour khi đó: $2{\rm{ }}000{\rm{ }}000 - 100{\rm{ }}000.5 = 1{\rm{ 500 000}}$ (đồng).