Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 31

Giá trị đại diện của các nhóm dữ liệu lần lượt là $42{,}5$$47{,}5;52{,}5;57{,}5;62{,}5$.

Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng biểu điễn số liệu đã cho:

Có $5$ cách chọn đoạn thẳng thứ nhất

Có $4$ cách chọn đoạn thẳng thứ hai

Có $3$ cách chọn đoạn thẳng thứ ba

Vậy có $5\,.\,4\,.\,3 = 60$cách lấy ra ba đoạn thẳng từ năm đoạn thẳng có độ dài lần lượt là $2\,;\;4\,;\;6\,;\;8\,;\;10\left( {{\rm{cm}}} \right)$ nên số phần tử của không gian mẫu là $60$

Trong 10 bộ ba đoạn thẳng đó có ba bộ ba các đoạn thẳng lập thành ba cạnh của một tam giác là

$\left\{ {{\rm{4}}\,{\rm{cm}}\,{\rm{;}}\;{\rm{6}}\,{\rm{cm}}\,{\rm{;}}\;{\rm{8}}\,{\rm{cm}}} \right\}{\rm{;}}$$\left\{ {{\rm{4}}\,{\rm{cm}}\,{\rm{;}}\;{\rm{8}}\,{\rm{cm}}\,{\rm{;}}\;{\rm{10}}\,{\rm{cm}}} \right\}{\rm{;}}$$\left\{ {{\rm{6}}\,{\rm{cm}}\,{\rm{;}}\;{\rm{8}}\,{\rm{cm}}\,{\rm{;}}\;{\rm{10}}\,{\rm{cm}}} \right\}$

Mỗi bộ có $6$kết quả thuận lợi

Số kết quả thuận lợi cho biến cố $E$ là $3\,.\;6 = 18$

Xác suất của biến cố $E$ là $\frac{{18}}{{60}} = \frac{3}{{10}}$

1) Thay $x = 4$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A$, ta được $A = 1 - \frac{1}{{\sqrt 4 }} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

2) Ta có $B = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) - \left( {\sqrt x + 3} \right) + 3}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$$= \frac{{x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$$= \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$

3) Xét $P = B. A$$= \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}$$= \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 3}}$

Xét $P = 0$ hay $\sqrt x - 2 = 0$$\Rightarrow x = 4$ (thỏa mãn)

Xét $P \ne 0$. Có $P = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 3}} = 1 - \frac{5}{{\sqrt x + 3}}$.

Để $P$ nhận giá trị nguyên thì $\frac{5}{{\sqrt x + 3}}$ nhận giá trị nguyên

Vì $x > 0$nên $\frac{5}{{\sqrt x + 3}} > 0$ $\left( 1 \right)$

Mặt khác $\sqrt x + 3 \ge 3$ nên $\frac{5}{{\sqrt x + 3}} \le \frac{5}{3}$ $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right), \left( 2 \right)$suy ra :

$0 < \frac{5}{{\sqrt x + 3}} \le \frac{5}{3}$$\Rightarrow \frac{5}{{\sqrt x + 3}} = 1$

$\Rightarrow \sqrt x + 3 = 5$

$\Rightarrow \sqrt x = 2$

Nên $x = 4$(thỏa mãn)

Gọi giá nhập về của chiếc ti vi là $x$(đồng). Theo đề cửa hàng thu lãi $\frac{x}{{10}}$, tức là giá đã bán là $x + \frac{x}{{10}}$. Nếu cửa hàng tiếp tục nâng giá bán chiếc tivi đó thêm $5\%$giá đã bán và bớt cho khách hàng 245 000 đồng, khi đó giá bán ra là $x + \frac{x}{{10}} + \frac{5}{{100}}\left( {x + \frac{x}{{10}}} \right) - 245000$

Theo đề khi đó cửa hàng thu lãi là 12% của giá nhập về nên ta có phương trình :

$x + \frac{x}{{10}} + \frac{5}{{100}}\left( {x + \frac{x}{{10}}} \right) - 24\,500 = x + \frac{{12}}{{100}}x$

Từ đó tính được $x = 7\,000\,000$

Vậy giá nhập về của chiếc ti vi đó là 7 triệu đồng.

Gọi thời gian bạn A làm một mình hoàn thành công việc là $x$ (giờ, $x > 0$)

Gọi thời gian bạn B làm một mình hoàn thành công việc là $y$ (giờ, $y > 0$).

Trong $1$giờ bạn A làm được số phần công việc là $\frac{1}{x}$ (công việc)

Trong $1$giờ bạn B làm được số phần công việc là $\frac{1}{y}$ (công việc)

Theo bài ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8}\\x - y = 12\end{array} \right.$

Giải hệ trên ta được: $x = 24;\,$$y = 12$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy khi làm một mình thì B hoàn thành cả công việc trong $12$ ngày

Sau khi A làm được $\frac{1}{3}$ công việc rồi nghỉ thì B làm nốt công việc còn lại trong thời gian là: $\left( {1 - \frac{1}{3}} \right)\;.\;12 = 8$ ngày