Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 31

Giá trị đại diện của các nhóm dữ liệu lần lượt là $42{,}5$$47{,}5;52{,}5;57{,}5;62{,}5$.

Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng biểu điễn số liệu đã cho:

Có $5$ cách chọn đoạn thẳng thứ nhất

Có $4$ cách chọn đoạn thẳng thứ hai

Có $3$ cách chọn đoạn thẳng thứ ba

Vậy có $5\,.\,4\,.\,3 = 60$cách lấy ra ba đoạn thẳng từ năm đoạn thẳng có độ dài lần lượt là $2\,;\;4\,;\;6\,;\;8\,;\;10\left( {{\rm{cm}}} \right)$ nên số phần tử của không gian mẫu là $60$

Trong 10 bộ ba đoạn thẳng đó có ba bộ ba các đoạn thẳng lập thành ba cạnh của một tam giác là

$\left\{ {{\rm{4}}\,{\rm{cm}}\,{\rm{;}}\;{\rm{6}}\,{\rm{cm}}\,{\rm{;}}\;{\rm{8}}\,{\rm{cm}}} \right\}{\rm{;}}$$\left\{ {{\rm{4}}\,{\rm{cm}}\,{\rm{;}}\;{\rm{8}}\,{\rm{cm}}\,{\rm{;}}\;{\rm{10}}\,{\rm{cm}}} \right\}{\rm{;}}$$\left\{ {{\rm{6}}\,{\rm{cm}}\,{\rm{;}}\;{\rm{8}}\,{\rm{cm}}\,{\rm{;}}\;{\rm{10}}\,{\rm{cm}}} \right\}$

Mỗi bộ có $6$kết quả thuận lợi

Số kết quả thuận lợi cho biến cố $E$ là $3\,.\;6 = 18$

Xác suất của biến cố $E$ là $\frac{{18}}{{60}} = \frac{3}{{10}}$

1) Thay $x = 4$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A$, ta được $A = 1 - \frac{1}{{\sqrt 4 }} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

2) Ta có $B = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) - \left( {\sqrt x + 3} \right) + 3}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$$= \frac{{x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$$= \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$

3) Xét $P = B. A$$= \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}$$= \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 3}}$

Xét $P = 0$ hay $\sqrt x - 2 = 0$$\Rightarrow x = 4$ (thỏa mãn)

Xét $P \ne 0$. Có $P = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 3}} = 1 - \frac{5}{{\sqrt x + 3}}$.

Để $P$ nhận giá trị nguyên thì $\frac{5}{{\sqrt x + 3}}$ nhận giá trị nguyên

Vì $x > 0$nên $\frac{5}{{\sqrt x + 3}} > 0$ $\left( 1 \right)$

Mặt khác $\sqrt x + 3 \ge 3$ nên $\frac{5}{{\sqrt x + 3}} \le \frac{5}{3}$ $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right), \left( 2 \right)$suy ra :

$0 < \frac{5}{{\sqrt x + 3}} \le \frac{5}{3}$$\Rightarrow \frac{5}{{\sqrt x + 3}} = 1$

$\Rightarrow \sqrt x + 3 = 5$

$\Rightarrow \sqrt x = 2$

Nên $x = 4$(thỏa mãn)

Gọi giá nhập về của chiếc ti vi là $x$(đồng). Theo đề cửa hàng thu lãi $\frac{x}{{10}}$, tức là giá đã bán là $x + \frac{x}{{10}}$. Nếu cửa hàng tiếp tục nâng giá bán chiếc tivi đó thêm $5\%$giá đã bán và bớt cho khách hàng 245 000 đồng, khi đó giá bán ra là $x + \frac{x}{{10}} + \frac{5}{{100}}\left( {x + \frac{x}{{10}}} \right) - 245000$

Theo đề khi đó cửa hàng thu lãi là 12% của giá nhập về nên ta có phương trình :

$x + \frac{x}{{10}} + \frac{5}{{100}}\left( {x + \frac{x}{{10}}} \right) - 24\,500 = x + \frac{{12}}{{100}}x$

Từ đó tính được $x = 7\,000\,000$

Vậy giá nhập về của chiếc ti vi đó là 7 triệu đồng.

Gọi thời gian bạn A làm một mình hoàn thành công việc là $x$ (giờ, $x > 0$)

Gọi thời gian bạn B làm một mình hoàn thành công việc là $y$ (giờ, $y > 0$).

Trong $1$giờ bạn A làm được số phần công việc là $\frac{1}{x}$ (công việc)

Trong $1$giờ bạn B làm được số phần công việc là $\frac{1}{y}$ (công việc)

Theo bài ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8}\\x - y = 12\end{array} \right.$

Giải hệ trên ta được: $x = 24;\,$$y = 12$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy khi làm một mình thì B hoàn thành cả công việc trong $12$ ngày

Sau khi A làm được $\frac{1}{3}$ công việc rồi nghỉ thì B làm nốt công việc còn lại trong thời gian là: $\left( {1 - \frac{1}{3}} \right)\;.\;12 = 8$ ngày

Phương trình ${x^2} + 3x - 10 = 0$ có hai nghiệm ${x_1}$ và ${x_2}$. Theo định lý Viete, ta có

${x_1} + {x_2} = - 3;$${x_1}.{x_2} = - 10$

$A = \frac{{{x_1} + 2}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2} + 2}}{{{x_1}}}$$= \frac{{{x_1}\left( {{x_1} + 2} \right) + {x_2}.\left( {{x_2} + 2} \right)}}{{{x_1}.{x_2}}}$

$A = \frac{{x_1^2 + 2{x_1} + x_2^2 + 2{x_2}}}{{{x_1}.{x_2}}}$$= \frac{{\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + \left( {2{x_1} + 2{x_2}} \right)}}{{{x_1}.{x_2}}}$

$$A = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}.{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1}.{x_2}}}$$

$$A = \frac{{{{\left( { - 3} \right)}^2} - 2\left( { - 10} \right) + 2\left( { - 3} \right)}}{{ - 10}}$$

$$A = \frac{{ - 23}}{{10}}$$

Gọi $R$ là bán kính viên bi. Thể tích $6$ viên bi là thể tích nước dâng lên trong cốc. Khi đó thể tích $6$ viên bi là ${V_2} = 6.\frac{4}{3}\pi .{R^3} = 8\pi .{R^3}$

Từ đó: $8\pi .{R^3} = 125\pi \Leftrightarrow R = \frac{5}{2}$ (cm)

a) Chứng minh bốn điểm $A$, $E$, $H$, $F$ nằm trên cùng một đường tròn.

Ta có $\widehat {AEB} = 90^\circ$(do $BE$ là đường cao của $\Delta ABC$) hay $\widehat {AEH} = 90^\circ$

$\widehat {AFC} = 90^\circ$ (do $CF$ là đường cao của $\Delta ABC$) hay $\widehat {AFH} = 90^\circ$

Suy ra bốn điểm $A,E,H,F$ cùng nằm trên một đường tròn đường kính $AH$ (đpcm)

b) Chứng minh $NE$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $AH$;

Vì $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AH$ nên $I$ là tâm đường tròn đường kính $AH$

Suy ra $IA = IE$

Vì$\Delta IAE$ cân tại $I$ nên ${\widehat A_1} = {\widehat E_1}$ (1)

$\Delta EBC$ vuông tại $E$có $EN$ là đường trung trrung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$

Nên $EN = NC\,\,\,\left( { = \frac{{BC}}{2}} \right)$

Suy ra $\Delta ENC$ cân tại $N$ nên $\widehat {NCE} = \widehat {{E_4}}$ (2)

Xét $\Delta AKC$ vuông tại $K$ có $\widehat {KCA} + {\widehat A_1} = 90^\circ$ hay $\widehat {NCE} + {\widehat A_1} = 90^\circ$ (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra ${\widehat E_1} + {\widehat E_4} = 90^\circ$

Lại có ${\widehat E_1} + {\widehat E_4} + \widehat {IEN} = 180^\circ$ (do $A;\;E;\;C$ thẳng hàng)

Suy ra $90^\circ + \widehat {IEN} = 180^\circ$hay$\widehat {IEN} = 90^\circ$

Suy ra $EN \bot EI$ tại $E$

Do đó $NE$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $AH$ (đpcm)

c) Chứng minh $C{I^2} - I{E^2} = CK\;.\;CB$.

Áp dụng định lí Py – Ta – Go $\Delta CIK$ vuông tại $K$, ta có: $C{I^2} = C{K^2} + I{K^2}$

Lại có $IA = IE = IH$ (cùng bán kính đường tròn tâm I)

Suy ra $C{I^2} - I{E^2} = C{K^2} + I{K^2} - I{E^2}$

$$C{I^2} - I{E^2} = C{K^2} + (IK + IE)(IK - IE)$$

$C{I^2} - I{E^2} = C{K^2} + (IK + IE)(IK - IH)$ $= C{K^2} + AK\;.\;KH$ $\left( 4 \right)$

Ta lại có $CK.CB = CK(CK + KB)$ $= C{K^2} + CK\;.\;KB$ $\left( 5 \right)$

Xét $\Delta KBH$ và $\Delta KAC$ có

$\widehat {KBH} = \widehat {KAC}$ ($= 90^\circ - \widehat {ACB}$); $\widehat {BKH} = \widehat {AKC} = 90^\circ$

Do đó $\left( {g - g} \right)$

Nên $\frac{{KB}}{{KA}} = \frac{{KH}}{{KC}}$ suy ra$KA\;.\;KH = KB\;.\;KC$ hay $AK\;.\;KH = CK\;.\;KB$ $\left( 6 \right)$

Từ $\left( 4 \right)$,$\left( 5 \right)$ và $\left( 6 \right)$ suy ra $C{I^2} - I{E^2} = CK\;.\;CB$ (đpcm)

Gọi vị trí ban đầu của người đó là điểm $A$.

Vì thời gian thực hiện mỗi vòng của đu quay là $30$ phút nên khi đu quay quay đều thì $10$ phút người đó đi được $\frac{1}{3}$ vòng tròn và đang ở vị trí điểm B như hình vẽ sau:

Gọi $A',\,B'$ lần lượt là hình chiếu của $A,\,B$ trên mặt đất, kẻ $OH \bot BB'$.

Ta có: $\widehat {AOB} = \frac{1}{3}\; \cdot \;{360^ \circ } = {120^ \circ },\,$$OA' = 80\;{\rm{m}}$.

Vì $OA'B'H$ là hình chữ nhật (tứ giác có $3$ góc vuông) nên $HB' = OA' = 80\,\;\left( {\rm{m}} \right)$

Ta có: $\widehat {AOH} = {90^ \circ }$ suy ra $\widehat {BOH} = {120^ \circ } - {90^ \circ } = {30^ \circ }$

Xét tam giác vuông $OBH$ có: $BH = OB.\sin {30^ \circ } = 75\; \cdot \;\frac{1}{2} = 37{,}5\,\left( m \right)$

Mà $BB' = BH + HB' = 37{,}5 + 80 = 117{,}5\;\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Vậy sau $10$ phút người đó ở độ cao $117{,}5\;{\rm{m}}$ so với mặt đất.