Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 25

1)Tần số tương đối của các nhóm lần lượt là:

${f_1} = \frac{{8.100}}{{60}}\% = 13{,}33\% ;{f_2} = \frac{{18.100}}{{60}}\% = 30\%$

${f_3} = \frac{{24.100}}{{60}}\% = 40\% ;{f_4} = \frac{{10.100}}{{60}}\% = 16{,}67\%$

2) Bảng tần số tương đối ghép nhóm của mẫu số liệu ghép nhóm đó

3)

1) Thay $x = 4$ (TMĐK) vào biểu thức P, ta có:

$$P = \frac{{\sqrt 4 + 8}}{{3\sqrt 4 }} = \frac{{2 + 8}}{6} = \frac{{10}}{6} = \frac{5}{3}$$

Vậy $x = 4$ thì $P = \frac{5}{3}$

$2)$ Với $x \ge 0;x \ne 9$ Ta có

$$\begin{array}{l}Q = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{7\sqrt x + 3}}{{9 - x}}\\Q = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} - \frac{{7\sqrt x + 3}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\end{array}$$

$$Q = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right) + 2\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right) - 7\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$$

2) Ta có $A = P.Q = \frac{{\sqrt x + 8}}{{3\sqrt x }}.\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} = \frac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}}$

Để $A \ge 2$thì $\frac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}} \ge 2$ suy ra $\frac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}} - 2 \ge 0$ suy ra $\frac{{ - \sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 3}} \ge 0$

Suy ra $- \sqrt x + 2 \ge 0$ (Vì $\sqrt x + 3 > 0$$\forall x > 0,x \ne 9$)

$- \sqrt x \ge - 2$ suy ra $\sqrt x \le 2$ thì $x \le 4$

Kết hợp với điều kiện $x > 0,x \ne 9$ và $x \in \mathbb{Z}$

Vậy $x \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}$thì $A \ge 2$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}2 = y\\2x = 3y\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}2 = y\\2x = 3.2 = 6\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right.$

Vậy $x = 3;y = 2$ thỏa mân yêu cầu bài toán.

Gọi số tấm thảm phân xưởng phải dệt trong một ngày theo kế hoạch là x (tấm)

(ĐK x $\in {N^*}$)

*Theo kế hoạch:

+ Tổng số sản phẩm làm là $3000$ (tấm)

+ Thời gian dự định hoàn thành là $\frac{{3000}}{x}$ (ngày)

*Thực tế:

- $8$ ngày đầu phân xưởng thực hiện đúng kế hoạch nên phân xưởng đã làm được là $8x$ (sản phẩm)

- Số sản phẩm phải làm trong những ngày còn lại là $3000 - 8x$ (sp)

- Năng xuất làm trong những ngày còn lại là $x + 10$ (tấm / ngày)

- Thời gian hoàn thành số sản phẩm còn lại là $\frac{{3000 - 8x}}{{x + 10}}$ (ngày)

Vì thời gian thực tế ít hơn kế hoạch là 2 ngày nên ta có phương trình

$\frac{{3000}}{x} - \left( {\frac{{3000 - 8x}}{{x + 10}} + 8} \right) = 2$

$\frac{{3000}}{x} - \frac{{3000 - 8x}}{{x + 10}} - 8 = 2$

$\frac{{3000}}{x} - \frac{{3000 - 8x}}{{x + 10}} = 2 + 8 = 10$

$\frac{{3000\left( {x + 10} \right) - x.\left( {3000 - 8x} \right)}}{{x.\left( {x + 10} \right)}} = \frac{{10x.\left( {x + 10} \right)}}{{x.\left( {x + 10} \right)}}$

$3000x + 30000 - 3000x + 8{x^2} = 10{x^2} + 100x$

$10{x^2} - 8{x^2} + 100x - 30000 = 0$

$2{x^2} + 100x - 30000 = 0$

${x^2} + 50x - 15000 = 0$

$\left( {x - 100} \right).\left( {x + 150} \right) = 0$

$x = 100$ (tmđk) hoặc $x = - 150$ ( ko tmđk)

Vậy số tấm thảm phân xưởng phải dệt trong một ngày theo kế hoạch là 100 (tấm)

Xét phương trình $2{x^2} - 3x - 1 = 0$ (1) có $a = 2,b = - 3,c = - 1$

Do $a.c = - 2 < 0$ nên pt(1) có hai nghiệm phân biệt ${x_1}{x_2}$

Áp dụng hệ thức viete có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{3}{2}\\{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.$

Do đó $A = \frac{{{x_1} - 1}}{{{x_2} + 1}} + \frac{{{x_2} - 1}}{{{x_1} + 1}} = \frac{{x_1^2 + x_2^2 - 2}}{{{x_1}.{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}}$

$= \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} - 2}}{{{x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}}$$= \frac{{{{\left( {\frac{{ - 3}}{2}} \right)}^2} - 2.\left( { - \frac{1}{2}} \right) - 2}}{{\frac{{ - 1}}{2} + \frac{3}{2} + 1}}$$= \frac{{\frac{9}{4} + 1 - 2}}{{1 + 1}} = \frac{5}{4}.\frac{1}{2} = \frac{5}{8}$