Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 25

1)Tần số tương đối của các nhóm lần lượt là:

${f_1} = \frac{{8.100}}{{60}}\% = 13{,}33\% ;{f_2} = \frac{{18.100}}{{60}}\% = 30\%$

${f_3} = \frac{{24.100}}{{60}}\% = 40\% ;{f_4} = \frac{{10.100}}{{60}}\% = 16{,}67\%$

2) Bảng tần số tương đối ghép nhóm của mẫu số liệu ghép nhóm đó

3)

1) Thay $x = 4$ (TMĐK) vào biểu thức P, ta có:

$$P = \frac{{\sqrt 4 + 8}}{{3\sqrt 4 }} = \frac{{2 + 8}}{6} = \frac{{10}}{6} = \frac{5}{3}$$

Vậy $x = 4$ thì $P = \frac{5}{3}$

$2)$ Với $x \ge 0;x \ne 9$ Ta có

$$\begin{array}{l}Q = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{7\sqrt x + 3}}{{9 - x}}\\Q = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} - \frac{{7\sqrt x + 3}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\end{array}$$

$$Q = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right) + 2\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right) - 7\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$$

2) Ta có $A = P.Q = \frac{{\sqrt x + 8}}{{3\sqrt x }}.\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} = \frac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}}$

Để $A \ge 2$thì $\frac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}} \ge 2$ suy ra $\frac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}} - 2 \ge 0$ suy ra $\frac{{ - \sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 3}} \ge 0$

Suy ra $- \sqrt x + 2 \ge 0$ (Vì $\sqrt x + 3 > 0$$\forall x > 0,x \ne 9$)

$- \sqrt x \ge - 2$ suy ra $\sqrt x \le 2$ thì $x \le 4$

Kết hợp với điều kiện $x > 0,x \ne 9$ và $x \in \mathbb{Z}$

Vậy $x \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}$thì $A \ge 2$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}2 = y\\2x = 3y\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}2 = y\\2x = 3.2 = 6\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right.$

Vậy $x = 3;y = 2$ thỏa mân yêu cầu bài toán.

Gọi số tấm thảm phân xưởng phải dệt trong một ngày theo kế hoạch là x (tấm)

(ĐK x $\in {N^*}$)

*Theo kế hoạch:

+ Tổng số sản phẩm làm là $3000$ (tấm)

+ Thời gian dự định hoàn thành là $\frac{{3000}}{x}$ (ngày)

*Thực tế:

- $8$ ngày đầu phân xưởng thực hiện đúng kế hoạch nên phân xưởng đã làm được là $8x$ (sản phẩm)

- Số sản phẩm phải làm trong những ngày còn lại là $3000 - 8x$ (sp)

- Năng xuất làm trong những ngày còn lại là $x + 10$ (tấm / ngày)

- Thời gian hoàn thành số sản phẩm còn lại là $\frac{{3000 - 8x}}{{x + 10}}$ (ngày)

Vì thời gian thực tế ít hơn kế hoạch là 2 ngày nên ta có phương trình

$\frac{{3000}}{x} - \left( {\frac{{3000 - 8x}}{{x + 10}} + 8} \right) = 2$

$\frac{{3000}}{x} - \frac{{3000 - 8x}}{{x + 10}} - 8 = 2$

$\frac{{3000}}{x} - \frac{{3000 - 8x}}{{x + 10}} = 2 + 8 = 10$

$\frac{{3000\left( {x + 10} \right) - x.\left( {3000 - 8x} \right)}}{{x.\left( {x + 10} \right)}} = \frac{{10x.\left( {x + 10} \right)}}{{x.\left( {x + 10} \right)}}$

$3000x + 30000 - 3000x + 8{x^2} = 10{x^2} + 100x$

$10{x^2} - 8{x^2} + 100x - 30000 = 0$

$2{x^2} + 100x - 30000 = 0$

${x^2} + 50x - 15000 = 0$

$\left( {x - 100} \right).\left( {x + 150} \right) = 0$

$x = 100$ (tmđk) hoặc $x = - 150$ ( ko tmđk)

Vậy số tấm thảm phân xưởng phải dệt trong một ngày theo kế hoạch là 100 (tấm)

Xét phương trình $2{x^2} - 3x - 1 = 0$ (1) có $a = 2,b = - 3,c = - 1$

Do $a.c = - 2 < 0$ nên pt(1) có hai nghiệm phân biệt ${x_1}{x_2}$

Áp dụng hệ thức viete có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{3}{2}\\{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.$

Do đó $A = \frac{{{x_1} - 1}}{{{x_2} + 1}} + \frac{{{x_2} - 1}}{{{x_1} + 1}} = \frac{{x_1^2 + x_2^2 - 2}}{{{x_1}.{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}}$

$= \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} - 2}}{{{x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}}$$= \frac{{{{\left( {\frac{{ - 3}}{2}} \right)}^2} - 2.\left( { - \frac{1}{2}} \right) - 2}}{{\frac{{ - 1}}{2} + \frac{3}{2} + 1}}$$= \frac{{\frac{9}{4} + 1 - 2}}{{1 + 1}} = \frac{5}{4}.\frac{1}{2} = \frac{5}{8}$

Vì hộp sữa hình trụ có chiều cao $h = 12cm$ và thể tích Vhộp =$192\pi c{m^3}$ nên:

$$V = \pi {r^2}h$$

$192\pi = 12\pi {r^2}$ suy ra ${r^2} = 16$ suy ra $r = 4cm$

Vì hộp sữa hình trụ có $r = 4cm$ và chiều cao $h = 12cm$nên diện tích toàn phần của hộp sữa là:

$${S_{tp}} = 2\pi r\left( {h + r} \right) \approx 402{,}124c{m^2} \approx 0{,}04{m^2}$$

Chi phí sản xuất $10.000$ vỏ hộp sữa là : $0{,}04.10000.80000 = 32000000$ đồng

a.Chứng minh rằng $BD \bot {\rm{EF}}$ tại G

Có $\widehat {BAD} = \widehat {BCD} = {90^0}$( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BD)

Suy ra $AE \bot DF$ và $FC \bot DE$

Mà AE cắt FC tại B

Suy ra B là trực tâm của $\Delta D{\rm{EF}}$

Suy ra $BD \bot {\rm{EF}}$ tại G

b. Chứng minh bốn điểm F, G, B, A cùng thuộc một đường tròn.

Gọi I là trung điểm của FB

Ta có $BD \bot {\rm{EF}}$ tại G (cmt)

$\to \Delta FGB$ vuông tại G $\to GI = {\rm{IF = IB}}$(1)

$AE \bot DF$ (cmt) suy ra $\to \Delta FBA$ vuông tại A $\to AI = {\rm{IF = IB}}$(2)

Từ (1) và (2) $\to GI = AI = {\rm{IF = IB}}$

Suy ra bốn điểm F, G, B, A cùng thuộc một đường tròn. (đpcm)

c. Chứng minh rằng $BA.BE = BC.BF = BD.BG$

+ c/m (g.g)

$\to \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{BF}}{{BE}}$ $\to BA.BE = BF.BC$ (1)

+ c/m (g.g) $\to \frac{{BF}}{{BD}} = \frac{{BG}}{{BC}}$ $\to BF.BC = BD.BG$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $BA.BE = BC.BF = BD.BG$ (đpcm)

d. Chứng minh rằng B là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ACG$

+ Xét tứ giác ABGF có bốn điểm F, G, B, A cùng thuộc một đường tròn đường kính BF ( theo câu b) suy ra tứ giác ABGF nội tiếp đường tròn đường kính BF.

+ Do $\widehat {BCE} = \widehat {BGE} = {90^0}$ nên Tứ giác DCEG nội tiếp đường tròn đường kính BE.

+Do $\widehat {EAF} = \widehat {ECF} = {90^0}$ nên Tứ giác ACEF nội tiếp đường tròn đường kính EF.

Do đó $\widehat {GAB} = \widehat {GFB}$( =$\frac{1}{2}$sđ cung BG)

$\widehat {CAE} = \widehat {EFA}$( $= \frac{1}{2}$sđ cung CE)

Suy ra $\widehat {BAG} = \widehat {CAE}\left( { = \widehat {EFC}} \right)$ suy ra $AB$ là đường phân giác của $\Delta ACG$(1)

Do đó $\widehat {FCA} = \widehat {FEA}$( =$\frac{1}{2}$sđ cung ${\rm{AF}}$)

$\widehat {GCF} = \widehat {GEB}$( $= \frac{1}{2}$sđ cung $BG$)

Suy ra $\widehat {FCA} = \widehat {GCF}\left( { = \widehat {FAE}} \right)$ suy ra $CB$ là đường phân giác của $\Delta ACG$(2)

Từ (1) và (2) suy ra B là giao hai đường phân giác của $\Delta ACG$

Suy ra B là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ACG$ (đpcm)

a) Các kết quả có thể xảy ra để số chấm xuất hiện sau 2 lần gieo là giống nhau:

(1;1); (2;2); (3;3); (4;4); (5;5); (6;6)

b) Tổng số khả năng có thể xảy ra là: $6.6 = 36$

Các kết quả tổng số chấm xuất hiện sau 2 lần gieo là 7:

(1;6); (6;1); (2;5); (5;2); (3;4); (4;3)

Þcó 6 khả năng để kết quả tổng số chấm xuất hiện sau 2 lần gieo

bằng 7.

Xác suất để tổng số chấm xuất hiện sau 2 lần gieo là 7: $\frac{6}{{36}} = \frac{1}{6} \approx 0{,}167$