Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 15

Bước 1: Xác định không gian mẫu (S)

Không gian mẫu $S$ là tất cả các kết quả có thể xảy ra khi lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp. Vì hộp có 10 viên bi được đánh số từ 1 đến 10, nên:

$S = \{ 1{,}2{,}3{,}4{,}5{,}6{,}7{,}8{,}9{,}10\}$

Số phần tử của không gian mẫu là $|S| = 10$.

Bước 2: Xác định biến cố $A$

Biến cố $A$ là việc viên bi lấy ra có số ghi trên đó là số nguyên tố. Các số nguyên tố trong khoảng từ 1 đến 10 là:$\{ 2{,}3{,}5{,}7\}$

Vậy biến cố $A$ là tập hợp:$A = \{ 2{,}3{,}5{,}7\}$

Số phần tử của biến cố $A$ là $|A| = 4$.

Bước 3: Tính xác suất của biến cố $A$

Xác suất của biến cố $A$ được tính bằng tỉ số giữa số phần tử của biến cố $A$ và số phần tử của không gian mẫu $S$:

$P(A) = \frac{{|A|}}{{|S|}} = \frac{4}{{10}} = \frac{2}{5}$

Kết luận: Xác suất để lấy được một viên bi có số ghi trên đó là số nguyên tố là $\frac{2}{5}$.

1) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 4$

Biểu thức $A$ được cho là: $A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$

Thay $x = 4$ vào biểu thức:

$A = \frac{{\sqrt 4 }}{{\sqrt 4 + 2}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Vậy giá trị của $A$ khi $x = 4$ là $\frac{1}{2}$.

2) Chứng minh $B = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x - \sqrt x }}$

Biểu thức $B$ được cho là:

$B = \frac{2}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{x - \sqrt x }}$

$B = \frac{2}{{(\sqrt x - 1)}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x (\sqrt x - 1)}}$

$B = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x (\sqrt x - 1)}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x (\sqrt x - 1)}}$

$B = \frac{{2\sqrt x - \sqrt x + 2}}{{(\sqrt x - 1)(\sqrt x - 1)}}$

$B = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x - \sqrt x }}$

Điều phải chứng minh

3) Ta có: $P = A + \frac{1}{B} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{x - \sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = \frac{x}{{\sqrt x + 2}}$ với

$P = \frac{x}{{\sqrt x + 2}} \ge 1 \Rightarrow x \ge \sqrt x + 2 \Rightarrow x - \sqrt x - 2 \ge 0$

$\Rightarrow \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right) \ge 0$

$\left( {\sqrt x - 2} \right) \ge 0$

$\sqrt x \ge 2$

$\Rightarrow x \ge 4$

Kết hợp với điều kiện ta đc $x \ge 4$ thì $P \ge 1$

Bài toán có thể được giải bằng cách lập hệ phương trình dựa trên thông tin đề bài:

Gọi $x$ là số học sinh đăng ký dự thi vào trường A

Gọi $y$ là số học sinh đăng ký dự thi vào trường B

Theo đề bài, ta có hệ phương trình sau:

+) Tổng số học sinh đăng ký dự thi là 1850 học sinh: $x + y = 1850$

+) Tổng số học sinh trúng tuyển là 680 học sinh. Số học sinh trúng tuyển tại trường A chiếm 30% số học sinh đăng ký vào trường A, và tại trường B chiếm 80% số học sinh đăng ký vào trường B: $0{,}3x + 0{,}8y = 680$

Giải hệ phương trình này, ta có:

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x + y = 1850}\\{0{,}3x + 0{,}8y = 680}\end{array}} \right.$

Từ phương trình thứ nhất, ta có:$y = 1850 - x$

Thay $y = 1850 - x$ vào phương trình thứ hai ta được:

$0{,}3x + 0{,}8(1850 - x) = 680$

$0{,}3x + 0{,}8 \cdot 1850 - 0{,}8x = 680$

$0{,}3x + 1480 - 0{,}8x = 680$

$- 0{,}5x + 1480 = 680$

$- 0{,}5x = 680 - 1480$

$- 0{,}5x = - 800$

$x = \frac{{ - 800}}{{ - 0{,}5}} = 1600$

+) Tìm $y = 1850 - 1600 = 250$

Vậy số học sinh đăng ký dự thi vào:

- Trường A là 1600 học sinh.

- Trường B là 250 học sinh.

Gọi chiều rộng mặt sân là $x(m)$ ($x > 0$) $\Rightarrow$ chiều dài mặt sân là $x + 37(m)$

Vì diện tích mặt sân là 7140${m^2}$ nên ta có phương trình:

$x(x + 37) = 7140$

${x^2} + 37x - 7140 = 0$

Giải phương trình, ta được: $x = 68(tm)$; $x = - 105(ktm)$

Vậy chiều rộng mặt sân là 68, chiều dài là $68 + 37 = 105m$.