Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 15

Bước 1: Xác định không gian mẫu (S)

Không gian mẫu $S$ là tất cả các kết quả có thể xảy ra khi lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp. Vì hộp có 10 viên bi được đánh số từ 1 đến 10, nên:

$S = \{ 1{,}2{,}3{,}4{,}5{,}6{,}7{,}8{,}9{,}10\}$

Số phần tử của không gian mẫu là $|S| = 10$.

Bước 2: Xác định biến cố $A$

Biến cố $A$ là việc viên bi lấy ra có số ghi trên đó là số nguyên tố. Các số nguyên tố trong khoảng từ 1 đến 10 là:$\{ 2{,}3{,}5{,}7\}$

Vậy biến cố $A$ là tập hợp:$A = \{ 2{,}3{,}5{,}7\}$

Số phần tử của biến cố $A$ là $|A| = 4$.

Bước 3: Tính xác suất của biến cố $A$

Xác suất của biến cố $A$ được tính bằng tỉ số giữa số phần tử của biến cố $A$ và số phần tử của không gian mẫu $S$:

$P(A) = \frac{{|A|}}{{|S|}} = \frac{4}{{10}} = \frac{2}{5}$

Kết luận: Xác suất để lấy được một viên bi có số ghi trên đó là số nguyên tố là $\frac{2}{5}$.

1) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 4$

Biểu thức $A$ được cho là: $A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$

Thay $x = 4$ vào biểu thức:

$A = \frac{{\sqrt 4 }}{{\sqrt 4 + 2}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Vậy giá trị của $A$ khi $x = 4$ là $\frac{1}{2}$.

2) Chứng minh $B = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x - \sqrt x }}$

Biểu thức $B$ được cho là:

$B = \frac{2}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{x - \sqrt x }}$

$B = \frac{2}{{(\sqrt x - 1)}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x (\sqrt x - 1)}}$

$B = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x (\sqrt x - 1)}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x (\sqrt x - 1)}}$

$B = \frac{{2\sqrt x - \sqrt x + 2}}{{(\sqrt x - 1)(\sqrt x - 1)}}$

$B = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x - \sqrt x }}$

Điều phải chứng minh

3) Ta có: $P = A + \frac{1}{B} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{x - \sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = \frac{x}{{\sqrt x + 2}}$ với

$P = \frac{x}{{\sqrt x + 2}} \ge 1 \Rightarrow x \ge \sqrt x + 2 \Rightarrow x - \sqrt x - 2 \ge 0$

$\Rightarrow \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right) \ge 0$

$\left( {\sqrt x - 2} \right) \ge 0$

$\sqrt x \ge 2$

$\Rightarrow x \ge 4$

Kết hợp với điều kiện ta đc $x \ge 4$ thì $P \ge 1$

Bài toán có thể được giải bằng cách lập hệ phương trình dựa trên thông tin đề bài:

Gọi $x$ là số học sinh đăng ký dự thi vào trường A

Gọi $y$ là số học sinh đăng ký dự thi vào trường B

Theo đề bài, ta có hệ phương trình sau:

+) Tổng số học sinh đăng ký dự thi là 1850 học sinh: $x + y = 1850$

+) Tổng số học sinh trúng tuyển là 680 học sinh. Số học sinh trúng tuyển tại trường A chiếm 30% số học sinh đăng ký vào trường A, và tại trường B chiếm 80% số học sinh đăng ký vào trường B: $0{,}3x + 0{,}8y = 680$

Giải hệ phương trình này, ta có:

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x + y = 1850}\\{0{,}3x + 0{,}8y = 680}\end{array}} \right.$

Từ phương trình thứ nhất, ta có:$y = 1850 - x$

Thay $y = 1850 - x$ vào phương trình thứ hai ta được:

$0{,}3x + 0{,}8(1850 - x) = 680$

$0{,}3x + 0{,}8 \cdot 1850 - 0{,}8x = 680$

$0{,}3x + 1480 - 0{,}8x = 680$

$- 0{,}5x + 1480 = 680$

$- 0{,}5x = 680 - 1480$

$- 0{,}5x = - 800$

$x = \frac{{ - 800}}{{ - 0{,}5}} = 1600$

+) Tìm $y = 1850 - 1600 = 250$

Vậy số học sinh đăng ký dự thi vào:

- Trường A là 1600 học sinh.

- Trường B là 250 học sinh.

Gọi chiều rộng mặt sân là $x(m)$ ($x > 0$) $\Rightarrow$ chiều dài mặt sân là $x + 37(m)$

Vì diện tích mặt sân là 7140${m^2}$ nên ta có phương trình:

$x(x + 37) = 7140$

${x^2} + 37x - 7140 = 0$

Giải phương trình, ta được: $x = 68(tm)$; $x = - 105(ktm)$

Vậy chiều rộng mặt sân là 68, chiều dài là $68 + 37 = 105m$.

Xét phương trình ${x^2} - 2mx + 4m - 4 = 0$

Phương trình đã cho có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ khi

$\Delta \prime > 0$

${m^2} - 4m + 4 > 0$

${(m - 2)^2} > 0$

$m - 2 \ne 0$

$m \ne 2$

Với $m \ne 2$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$

Áp dụng hệ thức Viète ta có: ${x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = 2m;{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = 4m - 4$

Theo đề bài ta có:

$x_1^2 + x_2^2 - 8 = 0$

${({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2} - 8 = 0$

${(2m)^2} - 2.(4m - 4) - 8 = 0$

$4{m^2} - 8m + 8 - 8 = 0$

$4{m^2} - 8m = 0$

$4m(m - 2) = 0$

$4m = 0$ hoặc $m - 2 = 0$

$m = 0$ (thỏa mãn điều kiện) hoặc $m = 2$ (không thỏa mãn điều kiện)

Vậy $m = 0$.

a. Vì hộp sữa hình trụ có chiều cao $h = 12cm$ và thể tích $V = 192\pi c{m^3}$ nên:

$V = \pi {r^2}h$

$192\pi = 12\pi {r^2}$

${r^2} = 16$

$\Rightarrow r = 4cm$

b. Vì hộp sữa hình trụ có $r = 4cm$ và chiều cao $h = 12cm$ nên diện tích toàn phần của hộp sữa là:

${S_{tp}} = 2\pi r(h + r) = 2\pi .4(12 + 4) \approx 402{,}124(c{m^2}) \approx 0{,}04{m^2}$

Chi phí sản xuất 10 000 vỏ hộp sữa là: $0{,}04.10000.80000 = 32000000$ đồng

a) $A,P,M,O$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $PO$

b) Ta có: $OP \bot AM;BM \bot AM \Rightarrow BM//OP$

c) $\Delta A{\rm{O}}P = \Delta OBN \Rightarrow OP = BN$, ta lại có $BN//OP$ nên $OPNB$ là hình bình hành

d) Ta có: $ON \bot PJ;PM \bot OJ$, mà $PM \bot ON = I \Rightarrow I$là trực tâm $\Delta POJ \Rightarrow IJ \bot OP$ (1)

Chứng minh được $PAON$ là hình chữ nhật $\Rightarrow K$ là trung điểm $OP$

Lại có: $APO = OPI = IOP \Rightarrow AIPO$ cân tại $I \Rightarrow IK \bot OP$ (2)

Từ (1)(2)$\Rightarrow I,J,K$ thẳng hàng.

Đặt tên các điểm như hình vẽ. Đặt$CJ = x,(x > 0).$

Vì hai tam giác AJC và BKA là hai tam giác đồng dạng nên:

$\frac{{CJ}}{{AK}} = \frac{{JA}}{{KB}}$

$\frac{x}{5} = \frac{{12}}{{KB}}$

$KB = \frac{{60}}{x}.$

Diện tích của khu nuôi cá là:$S = \frac{1}{2}\left( {x + 5} \right).\left( {\frac{{60}}{x} + 12} \right).$

$S(x) = \frac{1}{2}\left( {60 + 12x + \frac{{300}}{x} + 60} \right)$

$S(x) = 6x + \frac{{150}}{x} + 60$

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

$6x + \frac{{150}}{x} \ge 2\sqrt {6x.\frac{{150}}{x}} = 60$

Dấu bằng xảy ra khi $6x = \frac{{150}}{x}$.

${x^2} = 25$

$x = 5$

Nên $S(x) = 6x + \frac{{150}}{x} + 60 \ge 60 + 60 = 120$

Suy ra diện tích nhỏ nhất có thể giăng là $120({m^2})$, đạt được khi $x = 5\,m$.