Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 2

Hướng dẫn giải

Xét phương trình $2\left( {x - 1} \right) - mx = 3$

$2x - 2 - mx = 3$

$\left( {2 - m} \right)x = 5$

a) Để phương trình đã cho vô nghiệm thì phương trình $\left( {2 - m} \right)x = 5$ vô nghiệm, hay nó có dạng $0x = b$ với $b \ne 0,$ điều này xảy ra khi và chỉ khi $2 - m = 0,$ hay $m = 2.$

b) Để phương trình đã cho vô số nghiệm thì phương trình $\left( {2 - m} \right)x = 5$ vô số nghiệm, hay nó có dạng $0x = 0,$ điều này là vô lí.

Vậy không có giá trị nào của $m$ để phương trình vô số nghiệm.

c) Để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì phương trình $\left( {2 - m} \right)x = 5$ có nghiệm duy nhất, hay nó có dạng $ax = b$ với $a \ne 0,$ điều này xảy ra khi và chỉ khi $2 - m \ne 0,$ hay $m \ne 2.$

Hướng dẫn giải

Xét phương trình $\left( {{m^2}--4} \right)x = 2--m.\,\,\left( * \right)$

Trường hợp 1. ${m^2} - 4 = 0,$ tức là $\left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right) = 0,$ nên $m = 2$ hoặc $m = - 2.$

⦁ Nếu $m = 2,$ thay vào phương trình $\left( * \right),$ ta được: $0x = 0.$ Phương trình này vô số nghiệm nên phương trình đã cho vô số nghiệm.

⦁ Nếu $m = - 2,$ thay vào phương trình $\left( * \right),$ ta được: $0x = 4.$ Phương trình này vô nghiệm nên phương trình đã cho vô nghiệm.

Trường hợp 2. ${m^2} - 4 \ne 0,$ tức là $\left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right) \ne 0,$ nên $m \ne 2$ và $m \ne - 2.$

Khi đó phương trình $\left( * \right)$ có nghiệm duy nhất là:

$$x = \frac{{2--m}}{{{m^2}--4}} = \frac{{ - \left( {m - 2} \right)}}{{\left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{m + 2}}.$$

Vậy với $m = 2,$ phương trình đã cho có vô số nghiệm;

$m = - 2,$ phương trình đã cho vô nghiệm;

$m \ne 2$ và $m \ne - 2,$ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: $x = \frac{{ - 1}}{{m + 2}}.$

Hướng dẫn giải

Đổi $20$phút $= \frac{1}{3}$ giờ.

Gọi quãng đường AB là $x$ (km) $\left( {x > 0} \right).$

Thời gian đi từ A đến B là $\frac{x}{{40}}$ (giờ).

Lúc về người đó tăng vận tốc thêm $5$ km/h nên vận tốc lúc về của người đó là $40 + 5 = 45$ (km/h).

Thời gian đi từ B về A là $\frac{x}{{45}}$ (giờ).

Vì thời gian lúc về ít hơn thời gian lúc đi là $20$ phút $( = \frac{1}{3}$ giờ) nên ta có phương trình:

$\frac{x}{{40}} - \frac{x}{{45}} = \frac{1}{3}$

$\frac{{9x}}{{360}} - \frac{{8x}}{{360}} = \frac{{120}}{{360}}$

$9x - 8x = 120$

$x = 120$ (thỏa mãn).

Vậy quãng đường AB là $120$ km.

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc của tàu hỏa thứ nhất là $x$ (km/h) $\left( {x > 0} \right).$

Vận tốc của tàu hỏa thứ hai là $x - 5$ (km/h).

Sau 4 giờ 48 phút $= 4{,}8$ giờ thì tàu thứ nhất đi được quãng đường là: $4{,}8x$ (km).

Vì tàu hỏa thứ hai khởi hành sau tàu hỏa thứ nhất 1 giờ 48 phút $= 1{,}8$ giờ nên thời gian tàu hỏa thứ hai đã đi là $4{,}8 - 1{,}8 = 3$ (giờ). Khi đó quãng đường tàu hỏa thứ hai đã đi là: $3\left( {x - 5} \right)$ (km).

Vì ga Nam Định nằm trên đường từ Hà Nội đi TP Hồ Chí Minh và cách ga Hà Nội 87 km nên ta có phương trình:

$4{,}8x = 3\left( {x - 5} \right) + 87$

$4{,}8x = 3x - 15 + 87$

$4{,}8x - 3x = - 15 + 87$

$1{,}8x = 72$

$x = 40$ (thỏa mãn).

Vậy vận tốc của tàu hỏa thứ nhất là $40$ km/h, vận tốc của tàu hỏa thứ hai là $40 - 5 = 35$ km/h.

Hướng dẫn giải

Đổi 1 giờ 20 phút $= \frac{4}{3}$ giờ.

Gọi vận tốc riêng của ca nô là $x$ (km/h) $\left( {x > 3} \right).$

Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là $x + 3$ (km/h).

Vận tốc của ca nô khi ngược dòng là $x - 3$ (km/h).

Quãng đường ca nô khi xuôi dòng là $\frac{4}{3}\left( {x + 3} \right)$ (km).

Quãng đường ca nô khi ngược dòng là $2\left( {x--3} \right)$(km).

Vì quãng đường ca nô khi xuôi dòng và ngược dòng bằng nhau nên ta có phương trình:

$$\frac{4}{3}\left( {x + 3} \right) = 2\left( {x - 3} \right)$$

$$4\left( {x + 3} \right) = 6\left( {x - 3} \right)$$

$$4x + 12 = 6x - 18$$

$$4x - 6x = - 18 - 12$$

$$- 2x = - 30$$

$x = 15$ (thỏa mãn).

Vậy vận tốc riêng của ca nô là $15$ km/h.