Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 2

Hướng dẫn giải

Xét phương trình $2\left( {x - 1} \right) - mx = 3$

$2x - 2 - mx = 3$

$\left( {2 - m} \right)x = 5$

a) Để phương trình đã cho vô nghiệm thì phương trình $\left( {2 - m} \right)x = 5$ vô nghiệm, hay nó có dạng $0x = b$ với $b \ne 0,$ điều này xảy ra khi và chỉ khi $2 - m = 0,$ hay $m = 2.$

b) Để phương trình đã cho vô số nghiệm thì phương trình $\left( {2 - m} \right)x = 5$ vô số nghiệm, hay nó có dạng $0x = 0,$ điều này là vô lí.

Vậy không có giá trị nào của $m$ để phương trình vô số nghiệm.

c) Để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì phương trình $\left( {2 - m} \right)x = 5$ có nghiệm duy nhất, hay nó có dạng $ax = b$ với $a \ne 0,$ điều này xảy ra khi và chỉ khi $2 - m \ne 0,$ hay $m \ne 2.$

Hướng dẫn giải

Xét phương trình $\left( {{m^2}--4} \right)x = 2--m.\,\,\left( * \right)$

Trường hợp 1. ${m^2} - 4 = 0,$ tức là $\left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right) = 0,$ nên $m = 2$ hoặc $m = - 2.$

⦁ Nếu $m = 2,$ thay vào phương trình $\left( * \right),$ ta được: $0x = 0.$ Phương trình này vô số nghiệm nên phương trình đã cho vô số nghiệm.

⦁ Nếu $m = - 2,$ thay vào phương trình $\left( * \right),$ ta được: $0x = 4.$ Phương trình này vô nghiệm nên phương trình đã cho vô nghiệm.

Trường hợp 2. ${m^2} - 4 \ne 0,$ tức là $\left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right) \ne 0,$ nên $m \ne 2$ và $m \ne - 2.$

Khi đó phương trình $\left( * \right)$ có nghiệm duy nhất là:

$$x = \frac{{2--m}}{{{m^2}--4}} = \frac{{ - \left( {m - 2} \right)}}{{\left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{m + 2}}.$$

Vậy với $m = 2,$ phương trình đã cho có vô số nghiệm;

$m = - 2,$ phương trình đã cho vô nghiệm;

$m \ne 2$ và $m \ne - 2,$ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: $x = \frac{{ - 1}}{{m + 2}}.$

Hướng dẫn giải

Đổi $20$phút $= \frac{1}{3}$ giờ.

Gọi quãng đường AB là $x$ (km) $\left( {x > 0} \right).$

Thời gian đi từ A đến B là $\frac{x}{{40}}$ (giờ).

Lúc về người đó tăng vận tốc thêm $5$ km/h nên vận tốc lúc về của người đó là $40 + 5 = 45$ (km/h).

Thời gian đi từ B về A là $\frac{x}{{45}}$ (giờ).

Vì thời gian lúc về ít hơn thời gian lúc đi là $20$ phút $( = \frac{1}{3}$ giờ) nên ta có phương trình:

$\frac{x}{{40}} - \frac{x}{{45}} = \frac{1}{3}$

$\frac{{9x}}{{360}} - \frac{{8x}}{{360}} = \frac{{120}}{{360}}$

$9x - 8x = 120$

$x = 120$ (thỏa mãn).

Vậy quãng đường AB là $120$ km.

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc của tàu hỏa thứ nhất là $x$ (km/h) $\left( {x > 0} \right).$

Vận tốc của tàu hỏa thứ hai là $x - 5$ (km/h).

Sau 4 giờ 48 phút $= 4{,}8$ giờ thì tàu thứ nhất đi được quãng đường là: $4{,}8x$ (km).

Vì tàu hỏa thứ hai khởi hành sau tàu hỏa thứ nhất 1 giờ 48 phút $= 1{,}8$ giờ nên thời gian tàu hỏa thứ hai đã đi là $4{,}8 - 1{,}8 = 3$ (giờ). Khi đó quãng đường tàu hỏa thứ hai đã đi là: $3\left( {x - 5} \right)$ (km).

Vì ga Nam Định nằm trên đường từ Hà Nội đi TP Hồ Chí Minh và cách ga Hà Nội 87 km nên ta có phương trình:

$4{,}8x = 3\left( {x - 5} \right) + 87$

$4{,}8x = 3x - 15 + 87$

$4{,}8x - 3x = - 15 + 87$

$1{,}8x = 72$

$x = 40$ (thỏa mãn).

Vậy vận tốc của tàu hỏa thứ nhất là $40$ km/h, vận tốc của tàu hỏa thứ hai là $40 - 5 = 35$ km/h.

Hướng dẫn giải

Đổi 1 giờ 20 phút $= \frac{4}{3}$ giờ.

Gọi vận tốc riêng của ca nô là $x$ (km/h) $\left( {x > 3} \right).$

Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là $x + 3$ (km/h).

Vận tốc của ca nô khi ngược dòng là $x - 3$ (km/h).

Quãng đường ca nô khi xuôi dòng là $\frac{4}{3}\left( {x + 3} \right)$ (km).

Quãng đường ca nô khi ngược dòng là $2\left( {x--3} \right)$(km).

Vì quãng đường ca nô khi xuôi dòng và ngược dòng bằng nhau nên ta có phương trình:

$$\frac{4}{3}\left( {x + 3} \right) = 2\left( {x - 3} \right)$$

$$4\left( {x + 3} \right) = 6\left( {x - 3} \right)$$

$$4x + 12 = 6x - 18$$

$$4x - 6x = - 18 - 12$$

$$- 2x = - 30$$

$x = 15$ (thỏa mãn).

Vậy vận tốc riêng của ca nô là $15$ km/h.

Hướng dẫn giải

Gọi $x$ là số thứ nhất thì số thứ hai là $100 - x.$

Khi tăng số thứ nhất lên 2 lần thì số thứ nhất lúc này là $2x.$

Khi cộng thêm số thứ hai 5 đơn vị thì số thứ hai lúc này là $100 - x + 5 = 105 - x.$

Khi đó, số thứ nhất gấp 5 lần số thứ hai nên ta có phương trình:

$2x = 5\left( {105 - x} \right)$.

$2x = 525 - 5x$

$2x + 5x = 525$

$7x = 525$

$x = 75$ (thỏa mãn).

Khi đó số thứ nhất là 75, số thứ hai là $100 - 75 = 25.$

Vậy hai số cần tìm là: 75 và 25.

Hướng dẫn giải

Gọi $x$ là chữ số hàng chục của số cần tìm $(x \in \mathbb{N}$ và $0 < x \le 9).$

Vì số tự nhiên cần tìm là số chia hết cho 5 nên chữ số hàng đơn vị có thể là 0 hoặc 5.

Mà số tự nhiên này là số lẻ nên chữ số hàng đơn vị của nó chỉ có thể là 5.

Độ lớn của số cần tìm là: $\overline {x5} = 10x + 5.$

Vì hiệu của số đó và chữ số hàng chục bằng 86 nên ta có phương trình:

$10x + 5 - x = 86$

$9x = 81$

$x = 9$ (thỏa mãn).

Vậy số cần tìm là: 95.

Hướng dẫn giải

Gọi $x$ là chữ số hàng chục của số cần tìm $(x \in \mathbb{N}$ và $0 < x \le 9).$

Khi đó chữ số hàng đơn vị là: $12 - x.$

Độ lớn số ban đầu là: $10x + \left( {12 - x} \right).$

Khi đổi chỗ hai chữ số đó cho nhau thì số mới có chữ số hàng chục là: $12 - x$ và chữ số hàng đơn vị là $x.$ Số mới có độ lớn là: $10\left( {12 - x} \right) + x.$

Sau khi đổi chỗ thì số mới bé hơn số ban đầu là 18 đơn vị nên ta có phương trình:

$\left[ {10x + \left( {12 - x} \right)} \right] - \left[ {10\left( {12 - x} \right) + x} \right] = 18$

$10x + 12 - x - 120 + 10x - x = 18$

$$10x - x + 10x - x = 18 - 12 + 120$$

$18x = 126$

$x = 7$ (thỏa mãn).

Khi số cần tìm có chữ số hàng chục là 7 và chữ số hàng đơn vị là $12 - 7 = 5.$

Vậy số cần tìm là: 75.

Hướng dẫn giải

Gọi số tấn thóc thu hoạch theo dự định là $x$ (tấn) $\left( {x > 0} \right).$

Số ngày để thu hoạch hết số thóc theo dự định là $\frac{x}{{20}}$ (ngày).

Số tấn thóc thực tế thu hoạch được là $x + 10$ (tấn).

Số tấn thóc thực tế mỗi ngày thu hoạch được là $20 + 6 = 26$ (tấn).

Số ngày thu hoạch hết số thóc theo thực tế là $\frac{{x + 10}}{{26}}$ (ngày).

Vì hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày nên ta có phương trình:

$\frac{x}{{20}} - 1 = \frac{{x + 10}}{{26}}$

$\frac{{13x}}{{260}} - \frac{{260}}{{260}} = \frac{{10\left( {x + 10} \right)}}{{260}}$

$13x - 260 = 10x + 100$

$13x - 10x = 100 + 260$

$3x = 360$

$x = 120$ (thỏa mãn).

Vậy số thóc theo dự định là 120 tấn.

Hướng dẫn giải

Gọi nồng độ muối trong dung dịch I là $x\,\,\left( \% \right)$ $\left( {x > 0} \right).$

Khi đó khối lượng muối có trong dung dịch I là: $200 \cdot \frac{x}{{100}} = 2x$ (g).

Do nồng độ muối trong dung dịch I lớn hơn nồng độ muối trong dung dịch II là 20% nên nồng độ muối trong dung dịch II là $x - 20\,\,\left( \% \right).$

Khi đó khối lượng muối có trong dung dịch II là: $300 \cdot \frac{{x - 20}}{{100}} = 3\left( {x - 20} \right)$ (g).

Khối lượng muối trong dung dịch sau khi trộn hai dung dịch là: $2x + 3\left( {x - 20} \right)$ (g).

Khối lượng dung dịch muối sau khi trộn hai dung dịch là: $200 + 300 = 500$ (g).

Do sau khi trộn hai dung dịch I và II thì được một dung dịch có nồng độ muối là 33% nên ta có phương trình: $\frac{{2x + 3\left( {x - 20} \right)}}{{500}} \cdot 100\% = 33\%$

$2x + 3x - 60 = 33 \cdot 5$

$5x = 225$

$x = 45$ (thỏa mãn).

Vậy nồng độ muối của dung dịch I và II lần lượt là $45\%$ và $25\% .$

Hướng dẫn giải

Gọi trọng lượng bạc trong mũ $x$ (Newton) $\left( {0 < x < 5} \right).$

Trọng lượng vàng trong mũ là $5 - x$ (Newton).

Khi nhúng ngập trong nước, trọng lượng bạc giảm $\frac{x}{{10}}$ (Newton), trọng lượng vàng giảm $\frac{{5 - x}}{{20}}$ (Newton).

Mà trọng lượng của mũ giảm đi 0,3 Newton nên ta có phương trình:

$\frac{x}{{10}} + \frac{{5 - x}}{{20}} = 0{,}3$

$\frac{{2x}}{{20}} + \frac{{5 - x}}{{20}} = \frac{{0{,}3 \cdot 20}}{{20}}$

$2x + 5 - x = 6$

$x = 1$ (thỏa mãn).

Do đó trọng lượng bạc trong mũ là 1 Newton.

Vậy chiếc mũ chứa 100 gam bạc.

Hướng dẫn giải

Gọi tuổi của Minh hiện nay là $x\,\,\left( {x \in \mathbb{N}} \right)$ thì tuổi của bố Minh hiện nay là $10x.$

Sau 24 năm nữa tuổi của Minh là $x + 24.$

Sau 24 năm nữa tuổi của bố Minh là $10x + 24.$

Vì sau 24 năm nữa thì tuổi của bố chỉ gấp 2 lần tuổi của Minh nên ta có phương trình:

$10x + 24 = 2\left( {x + 24} \right)$

$10x + 24 = 2x + 48$

$10x - 2x = 48 - 24$

$8x = 24$

$x = 3$ (thỏa mãn).

Vậy tuổi Minh hiện nay là 3 tuổi.

Hướng dẫn giải

Gọi tuổi con hiện nay là $x\,\,\left( {x \in \mathbb{N}} \right).$

Cách đây 4 năm, tuổi con là $x - 4.$ Khi đó tuổi mẹ gấp 5 lần tuổi con nên tuổi mẹ là: $5\left( {x - 4} \right).$

Sau đây 2 năm, tuổi con là $x + 2.$ Khi đó tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con nên tuổi mẹ là:$3\left( {x + 2} \right)$.

Khoảng cách giữa hai lần này là 6 năm nên ta có phương trình:

$3\left( {x + 2} \right) - 5\left( {x - 4} \right) = 6$

$3x + 6 - 5x + 20 = 6$

$- 2x = - 20$

$x = 10$ (thỏa mãn).

Khi đó tuổi con hiện nay là 10. Sau 2 năm thì tuổi con là $12,$ tuổi mẹ là $3 \cdot 12 = 36.$ Do đó tuổi mẹ hiện nay là $36 - 2 = 34.$

Vậy tuổi con hiện nay là 10, tuổi mẹ hiện nay là 34.

Hướng dẫn giải

Hình chữ nhật có chu vi bằng 100 m nên có nửa chu vi là $\frac{{100}}{2} = 50$ (m).

Gọi chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật là $x$ (m) $\left( {0 < x < 50} \right).$

Khi đó chiều dài của hình chữ nhật là: $50 - x$ (m).

Diện tích lúc đầu của hình chữ nhật là: $x\left( {50 - x} \right)$ (m$^{2}$).

Nếu tăng chiều rộng thêm 10 m thì chiều rộng mới là $x + 10$ (m).

Nếu giảm chiều dài đi 10 m thì chiều dài mới là $50 - x - 10 = 40 - x$ (m).

Khi đó, diện tích của hình chữ nhật là: $\left( {x + 10} \right)\left( {40 - x} \right)$ (m$^{2}$).

Sau khi thay đổi kích thước thì diện tích hình chữ nhật không thay đổi nên ta có phương trình:

$x\left( {50 - x} \right) = \left( {x + 10} \right)\left( {40 - x} \right)$

$50x - {x^2} = 40x - {x^2} + 400 - 10x$

$50x - 40x + 10x = 400$

$20x = 400$

$x = 20$ (thỏa mãn).

Vậy diện tích lúc đầu của hình chữ nhật là: $20 \cdot \left( {50 - 20} \right) = 600\;$ (m$^{2}$).

Hướng dẫn giải

Gọi độ dài cạnh hình vuông nhỏ là $x$ (m) $\left( {x > 0} \right).$

Chu vi của hình vuông nhỏ là $4x$ (m).

Do hiệu số đo chu vi của hai hình vuông bằng 20 m nên chu vi của hình vuông lớn là $4x + 20$ (m).

Khi đó, cạnh của hình vuông lớn là: $\frac{{4x + 20}}{4} = \frac{{4\left( {x + 5} \right)}}{4} = x + 5$ (m).

Diện tích của hình vuông nhỏ là ${x^2}$ (m$^{2}$) và diện tích của hình vuông lớn là ${\left( {x + 5} \right)^2}$ (m$^{2}$).

Vì hiệu số đo diện tích của chúng bằng $65\;{{\rm{m}}^2}$ nên ta có phương trình:

${\left( {x + 5} \right)^2} - {x^2} = 65$

${x^2} + 10x + 25 - {x^2} = 65$

$10x = 40$

$x = 4$ (thỏa mãn).

Vậy cạnh của hình vuông nhỏ và lớn lần lượt là: $4\;{\rm{m}}$ và $9\;\,{\rm{m}}{\rm{.}}$

Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta ABE$ và $\Delta ADC$ có:

$\widehat {BAE}$ là góc chung;

$$\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AC}}\,\,\left( {\frac{8}{{10}} = \frac{{12}}{{15}} = \frac{4}{5}} \right).$$

Do đó $ΔABE∽ΔADC$ (c.g.c).

b) Vì $ΔABE∽ΔADC$ (câu a) nên $\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{BE}}{{DC}}$

Suy ra $AB \cdot DC = AD \cdot BE.$

Do đó $DC = \frac{{AD \cdot BE}}{{AB}} = \frac{{10 \cdot 10}}{8} = 12{,}5{\rm{\;cm}}.$

c) Vì $ΔABE∽ΔADC$ (câu a) nên $\widehat {AEB} = \widehat {ACD}$ (hai góc tương ứng).

Xét $\Delta CBI$ và $\Delta EDI$ có:

$\widehat {BCI} = \widehat {DEI}$ (do $\widehat {AEB} = \widehat {ACD})$ và $\widehat {BIC} = \widehat {DIE}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó $ΔCBI∽ΔEDI$ (g.g).

Suy ra $\frac{{IC}}{{IE}} = \frac{{IB}}{{ID}}$ (tỉ số cạnh tương ứng) nên $IB \cdot IE = ID \cdot IC.$

Hướng dẫn giải

a) Do $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\,{\rm{//}}\,CD$ và $AD\,{\rm{//}}\,BC.$

Xét $\Delta ADK$ có $AD\,{\rm{//}}\,CN$ (do $AD\,{\rm{//}}\,BC)$ nên $ΔADK∽ΔCNK$ (g.g).

b) Xét $\Delta KAM$ có $AM\,{\rm{//}}\,CD$ (do $AB\,{\rm{//}}\,CD)$ nên (g.g).

Suy ra $\frac{{KM}}{{KD}} = \frac{{KA}}{{KC}}$ (tỉ số cạnh tương ứng).

Mà $ΔADK∽ΔCNK$ (câu a) nên $\frac{{KD}}{{KN}} = \frac{{AK}}{{CK}}$ (tỉ số cạnh tương ứng).

Suy ra $\frac{{KD}}{{KN}} = \frac{{KM}}{{KD}}$ nên $K{D^2} = KM \cdot KN.$

c) Do $ΔADK∽ΔCNK$ nên $\frac{{AK}}{{CK}} = \frac{{AD}}{{CN}}$ (tỉ số cạnh tương ứng).

Do $ΔKAM∽ΔKCD$ nên $\frac{{AK}}{{CK}} = \frac{{AM}}{{CD}}$ (tỉ số cạnh tương ứng).

Suy ra $\frac{{AD}}{{CN}} = \frac{{AM}}{{CD}}$ hay $\frac{9}{{CN}} = \frac{6}{{10}},$ do đó $CN = \frac{{9 \cdot 10}}{6} = 15$ (cm).

Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta ABC$ và $\Delta HBA$ có:

$\widehat {BAC} = \widehat {BHA} = 90^\circ$ và $\widehat B$ là góc chung.

Do đó $ΔABC∽ΔHBA$ (g.g).

b) Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A,$ theo định lí Pythagore ta có: $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100.$

Suy ra $BC = 10{\rm{\;cm}}.$

Theo câu a), $ΔABC∽ΔHBA$ nên $\frac{{AC}}{{HA}} = \frac{{BC}}{{AB}}$ (tỉ số cạnh tương ứng).

Suy ra $AH = \frac{{AB \cdot AC}}{{BC}} = \frac{{6 \cdot 8}}{{10}} = 4{,}8{\rm{\;cm}}{\rm{.}}$

c) ⦁ Chứng minh tương tự câu a), ta cũng có: (g.g).

Mà $ΔABC∽ΔHBA$ hay $ΔCBA∽ΔABH$ nên $ΔABH∽ΔCAH\ (∽ΔCBA).$

Suy ra $\frac{{BH}}{{AH}} = \frac{{AB}}{{CA}}$ (tỉ số cạnh tương ứng), do đó $BH = \frac{{AB}}{{AC}} \cdot AH = \frac{6}{8} \cdot 4{,}8 = 3{,}6{\rm{\;cm}}.$

Khi đó $HC = BC - BH = 10 - 3{,}6 = 6{,}4{\rm{\;cm}}.$

⦁ Xét $\Delta ACD$ và $\Delta HCE$ có:

$\widehat {DAC} = \widehat {EHC} = 90^\circ$ và $\widehat {ACD} = \widehat {HCE}$ (do $CD$ là tia phân giác của $\widehat {ACB}).$

Do đó $ΔACD∽ΔHCE$ (g.g).

Suy ra $\frac{{AC}}{{HC}} = \frac{{AD}}{{HE}}$ (tỉ số cạnh tương ứng) nên $\frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{HC}}{{HE}}$ (*)

⦁ Ta có $CD$ là phân giác $\widehat {ACB}$ nên $\frac{{CA}}{{CB}} = \frac{{DA}}{{DB}},$ do đó $\frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{BC}}{{BD}}.$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$$\frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{BC}}{{BD}} = \frac{{AC + BC}}{{AD + BD}} = \frac{{AC + BC}}{{AB}} = \frac{{8 + 10}}{6} = 3.$$

Suy ra $AD = \frac{{AC}}{3} = \frac{8}{3}{\rm{\;cm}}$ và $\frac{{HC}}{{HE}} = \frac{{AC}}{{AD}} = 3.$

Khi đó $HE = \frac{{HC}}{3} = \frac{{6{,}4}}{3} = \frac{{32}}{{15}}.$

Ta có $\frac{{{S_{\Delta ACD}}}}{{{S_{\Delta HCE}}}} = \frac{{\frac{1}{2}AD \cdot AC}}{{\frac{1}{2}HE \cdot HC}} = \frac{{AD \cdot AC}}{{HE \cdot HC}} = \frac{{\frac{8}{3} \cdot 8}}{{\frac{{32}}{{15}} \cdot 6{,}4}} = \frac{{25}}{{16}}.$

Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A,$ theo định lí Pytagore ta có: $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {8^2} + {6^2} = 64 + 36 = 100$

Suy ra $BC = \sqrt {100} = 10{\rm{\;cm}}.$

Vì $BD$ là tia phân giác của góc $ABC$ nên suy ra:

$$\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}.$$

b) Theo đề bài, $CE \bot BD$ tại $E$ nên $\widehat {BEC} = 90^\circ .$

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta EBC$ có:

$\widehat {BAD} = \widehat {BEC} = 90^\circ$ và $\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}$ (vì $BD$ là tia phân giác của góc $ABC)$

Do đó (g.g).

Suy ra: $\frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{BC}}{{EC}}$ (tỉ số cạnh tương ứng).

Do đó $BD \cdot EC = AD \cdot BC.$

c) Từ $\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{BC}}$ suy ra $\frac{{CD}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{AB}}$$\left( 1 \right)$

Vì (câu b) nên $\frac{{AD}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{EB}},$ suy ra $\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{EC}}{{EB}}$$\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra: $\frac{{CD}}{{BC}} = \frac{{CE}}{{BE}}.$

d) Tương tự câu b ta chứng minh được:

⦁ (g.g) nên $\frac{{CH}}{{CE}} = \frac{{CE}}{{CB}}.$

Suy ra $CH \cdot CB = C{E^2}\,\,\left( 3 \right)$

⦁ (g.g) nên $\frac{{ED}}{{EC}} = \frac{{CE}}{{BE}}.$

Suy ra $ED \cdot EB = C{E^2}\left( 4 \right)$

Từ $\left( 3 \right)$ và $\left( 4 \right)$ suy ra: $CH \cdot HB = ED \cdot EB.$

Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta ADC$ và $\Delta BEC$ có:

$\widehat {ADC} = \widehat {BEC} = 90^\circ$ và $\widehat {ACB}$ là góc chung.

Do đó $ΔADC∽ΔBEC$ (g.g).

b) Xét $\Delta HEA$ và $\Delta HDB$ có:

$\widehat {HEA} = \widehat {HDB} = 90^\circ$ và $\widehat {AHE} = \widehat {BHD}$ (đối đỉnh)

Do đó $ΔHEA∽ΔHDB$ (g.g).

Suy ra $\frac{{HE}}{{HD}} = \frac{{HA}}{{HB}}$ (tỉ số cạnh tương ứng) nên $HE \cdot HB = HA \cdot HD.$

c) Vì $H$ là giao điểm của hai đường cao $AD,\,\,BE$ của tam giác $ABC$ nên $H$ là trực tâm của tam giác, nên $CH \bot AB,$ hay $\widehat {AFC} = 90^\circ .$

Xét $\Delta AFH$ và $\Delta ADB$ có:

$\widehat {AFH} = \widehat {ADB} = 90^\circ$ và $\widehat {DAB}$ là góc chung

Do đó (g.g).

Suy ra $\frac{{AF}}{{AD}} = \frac{{AH}}{{AB}}$ (tỉ số cạnh tương ứng) nên $AF \cdot AB = AD \cdot AH.$

d) Ta có $\frac{{{S_{\Delta BHC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}HD \cdot BC}}{{\frac{1}{2}AD \cdot BC}} = \frac{{HD}}{{AD}}.$

Tương tự: $\frac{{{S_{\Delta AHC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{HE}}{{BE}};$ $\frac{{{S_{\Delta AHB}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{HF}}{{CF}}.$

Khi đó $\frac{{HD}}{{AD}} + \frac{{HE}}{{BE}} + \frac{{HF}}{{CF}}$$= \frac{{{S_{\Delta AHB}} + {S_{\Delta BHC}} + {S_{\Delta CHA}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{{S_{\Delta ABC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = 1.$

a) Ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\widehat {ABC} = \widehat {ADC}$ $\left( 1 \right)$ (tính chất hình bình hành)

Mà $\widehat {HBC} = 180^\circ - \widehat {ABC}$ $\left( 2 \right)$ (hai góc kề bù)

$\widehat {KDC} = 180^\circ - \widehat {ADC}$ $\left( 3 \right)$ (hai góc kề bù)

Từ $\left( 1 \right)$, $\left( 2 \right)$, $\left( 3 \right)$ suy ra $\widehat {HBC} = \widehat {KDC}.$

Xét $\Delta CHB$ và $\Delta CKD$ có:

$\widehat {BHC} = \widehat {DKC} = 90^\circ$ và $\widehat {HBC} = \widehat {KDC}$

Do đó $ΔCHK∽ΔBCA$ (g.g).

Suy ra $\frac{{CH}}{{CK}} = \frac{{CB}}{{CD}}$ (tỉ số cạnh tương ứng), hay $\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{CK}}{{CD}}$ (tính chất tỉ lệ thức).

b) Ta có $\widehat {ABC}$ là góc ngoài của $\Delta BHC$ nên $\widehat {ABC} = \widehat {BHC} + \widehat {BCH} = 90^\circ + \widehat {BCH}$$\left( 4 \right)$

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $BC\,{\rm{//}}\,AD$ và $AB = CD$ (tính chất hình bình hành)

Mà $CK \bot AD$ nên $CK \bot BC$ nên $\widehat {BCK} = 90^\circ .$

Do đó $\widehat {KCH} = \widehat {BCK} + \widehat {BCH} = 90^\circ + \widehat {BCH}$ $\left( 5 \right)$

Từ $\left( 4 \right)$ và $\left( 5 \right)$ suy ra $\widehat {ABC} = \widehat {KCH}.$

Theo câu a, $\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{CK}}{{CD}}$ mà $AB = CD$ nên $\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{CK}}{{BA}}.$

Xét $\Delta CHK$ và $\Delta BCA$ có: $\widehat {KCH} = \widehat {ABC}$ và $\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{CK}}{{BA}}$

Do đó $ΔCHK∽ΔBCA$ (c.g.c).

c) Kẻ $BE \bot AC$ tại $E$ $\left( {E \in AC} \right).$

Xét $\Delta AEB$ và $\Delta AHC$ có: $\widehat {AEB} = \widehat {AHC} = 90^\circ$ và $\widehat {HAC}$ là góc chung.

Do đó $ΔAEB\ ∽\ ΔAHC$ (g.g).

Suy ra $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AH}}$ (tỉ số cạnh tương ứng) nên $AB \cdot AH = AC \cdot AE$$\left( 6 \right)$

Xét $\Delta BCE$ và $\Delta CAK$ có:

$\widehat {BEC} = \widehat {CKA} = 90^\circ$ và $\widehat {BCE} = \widehat {CAK}$ (hai góc so le trong, $BC\,{\rm{//}}\,DA)$

Do đó $ΔBCE∽ΔCAK$ (g.g).

Suy ra $\frac{{BC}}{{CA}} = \frac{{CE}}{{AK}}$ (tỉ số cạnh tương ứng) nên $BC \cdot AK = AC \cdot CE$

Mà $BC = AD$ nên $AD \cdot AK = AC \cdot CE$ $\left( 7 \right)$

Từ $\left( 6 \right)$ và $\left( 7 \right)$ suy ra: $AB \cdot AH + AD \cdot AK = AC \cdot AE + AC \cdot CE$

Hay $AB \cdot AH + AD \cdot AK = AC\left( {AE + CE} \right) = A{C^2}.$

d) Do $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\,{\rm{//}}\,CD;\;AD\,{\rm{//}}\,BC$ (tính chất hình bình hành)

Hay $AM\,{\rm{//}}\,CD;\;AD\,{\rm{//}}\,NC.$

Vì $AD\,{\rm{//}}\,NC$ nên do đó $\frac{{IN}}{{ID}} = \frac{{IC}}{{IA}}$ (tỉ số cạnh tương ứng) $\left( 8 \right)$

Vì $AM\,{\rm{//}}\,DC$ nên do đó $\frac{{ID}}{{IM}} = \frac{{IC}}{{IA}}$ (tỉ số cạnh tương ứng) $\left( 9 \right)$

Từ $\left( 8 \right)$ và $\left( 9 \right)$ suy ra $\frac{{IN}}{{ID}} = \frac{{ID}}{{IM}},$ nên $IM \cdot IN = I{D^2}.$

e) Theo câu d, ta có: $IM \cdot IN = I{D^2},$ mà $ID = IJ$ (vì $J$ là điểm đối xứng với $D$ qua $I)$

Do đó $I{J^2} = IM \cdot IN$ nên $\frac{{IJ}}{{IM}} = \frac{{IN}}{{IJ}}.$

Theo tính chất tỉ lệ thức ta có: $\frac{{IJ - IM}}{{IM}} = \frac{{IN - IJ}}{{IJ}}$ hay $\frac{{MJ}}{{IM}} = \frac{{NJ}}{{IJ}}$

Suy ra $\frac{{MJ}}{{NJ}} = \frac{{IM}}{{IJ}} = \frac{{IM}}{{ID}}$ (do $ID = IJ).$

Lại có $AM\,{\rm{//}}\,CD,$ theo hệ quả định lí Thalès ta có $\frac{{IM}}{{ID}} = \frac{{AM}}{{CD}}.$

Suy ra $\frac{{MJ}}{{NJ}} = \frac{{AM}}{{CD}},$ mà $CD = AB$ nên $\frac{{MJ}}{{NJ}} = \frac{{AM}}{{AB}}$ $\left( {10} \right)$

Mặt khác, có $NB\,{\rm{//}}\,AD$ nên theo hệ quả định lí Thalès ta có $\frac{{AM}}{{BM}} = \frac{{DM}}{{NM}}.$

Theo tính chất tỉ lệ thức ta có: $\frac{{AM}}{{MB + AM}} = \frac{{DM}}{{MN + DM}}$ hay $\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{DM}}{{DN}}$ $\left( {11} \right)$

Từ $\left( {10} \right)$ và $\left( {11} \right)$ suy ra $\frac{{MJ}}{{NJ}} = \frac{{DM}}{{DN}}.$

a) Vì $O$ là giao điểm ba đường trung trực nên $OM \bot AB.$

Lại có $AH \bot BC$ $(H$ là trực tâm) nên $AH\,{\rm{//}}\,OM.$

Tương tự, $BH\,{\rm{//}}\,ON.$

Do đó $\widehat {MON} = \widehat {AHB}$ (hai góc tạo bởi hai đường thẳng song song)

Xét tam giác $BAC$ có $M,\,\,N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $AC.$

Do đó $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $MN\,{\rm{//}}\,AB,$ $MN = \frac{1}{2}AB.$

Suy ra $\widehat {OMN} = \widehat {HAB}$ (hai góc tạo bởi hai đường thẳng song song)

Xét $\Delta OMN$ và $\Delta HAB$ có:

$\widehat {MON} = \widehat {AHB}$ và $\widehat {OMN} = \widehat {HAB}$

Do đó $ΔOMN∽ΔHAB$ (g.g).

b) Vì $ΔOMN∽ΔHAB$ (câu a) nên $\frac{{OM}}{{HA}} = \frac{{NO}}{{HB}} = \frac{{MN}}{{AB}} = \frac{1}{2}$ (tỉ số cạnh tương ứng) $\left( 1 \right)$

Vì $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC,$ $AM$ là trung tuyến nên $\frac{{AG}}{{GM}} = 2,$ hay $\frac{{GM}}{{AG}} = \frac{1}{2}$ $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right);\,\,\left( 2 \right)$ suy ra $\frac{{GM}}{{AG}} = \frac{{OM}}{{AH}}.$

Xét $\Delta GOM$ và $\Delta GHA$ có:

$\frac{{GM}}{{AG}} = \frac{{OM}}{{AH}}$ và $\widehat {OMG} = \widehat {HAG}$ (so le trong của $AH\,{\rm{//}}\,OM)$

Do đó $ΔGOM∽ΔGHA$ (c.g.c).

c) Vì $ΔGOM∽ΔGHA$ (câu b) nên $\widehat {OGM} = \widehat {HGA}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat {HGM} + \widehat {HGA} = 180^\circ$ (kề bù) nên $\widehat {HGM} + \widehat {OGM} = 180^\circ .$

Do đó 3 điểm $O;\,\,G;\,\,H$ thẳng hàng.

Mặt khác, nên $\frac{{GO}}{{GH}} = \frac{{GM}}{{GA}} = \frac{1}{2},$ suy ra $GH = 2GO.$

a) Mặt khác: $MN\,{\rm{//}}\,QP$ (do $MNPQ$ là hình thang) nên $\widehat {MNQ} = \widehat {NQP}$ (so le trong)

Xét $\Delta MNQ$ và $\Delta NQP$ có:

$\widehat {QMN} = \widehat {QNP}$ và $\widehat {MNQ} = \widehat {NQP}$