Bộ 5 đề thi cuối kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức (Tự luận) có đáp án - Đề 5

a) Ta có ${x^3} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right).$

$${x^2} + x + 1 = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0.$$

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 1 \ne 0\\x - 1 \ne 0\end{array} \right.$ nên $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) \ne 0\\x - 1 \ne 0\end{array} \right.$, do đó $x \ne 1$.

Vậy điều kiện xác định của biểu thức $P$ là $x \ne 1$.

b) Với $x \ne 1$, ta có

$P = \frac{{6{x^2} + 8x + 7}}{{{x^3} - 1}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{6}{{x - 1}}$

$= \frac{{6{x^2} + 8x + 7}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} - \frac{{6\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}$

$= \frac{{6{x^2} + 8x + 7 + {x^2} - x - 6{x^2} - 6x - 6}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}$

$= \frac{{{x^2} + x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{1}{{x - 1}}.$

Vậy với $x \ne 1$ thì $P = \frac{1}{{x - 1}}.$

c) Thay $x = \frac{1}{2}$ vào biểu thức $P$, ta được:

$P = \frac{1}{{x - 1}} = \frac{1}{{\frac{1}{2} - 1}} = \frac{1}{{ - \frac{1}{2}}} = - 2.$

Vậy với $x = \frac{1}{2}$ thì $P = - 2.$

a) Gọi hàm số bậc nhất cần tìm là $y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right).$

Theo giả thiết, ta có

• Với $x = 0\,;\,\,y = 1$ thì $0a + b = 1$ hay $b = 1$.

• Với $x = 6\,;\,\,y = 2$ thì $6a + 1 = 2$ hay $a = \frac{1}{6}$.

Vậy $\left( d \right):y = \frac{1}{6}x + 1$.

b) Giao điểm của đường thẳng $d$ với trục tung có ý nghĩa là chi phí ban đầu người dùng trả cho nhà mạng là 1 triệu đồng.

Trong thời gian 12 tháng, người dùng phải trả số tiền là: $\frac{1}{6} \cdot 12 + 1 = 3$ (triệu đồng).

Nửa chu vi của hình chữ nhật là: $132:2 = 66$$\left( m \right)$.

Gọi $x$$\left( m \right)$ là chiều dài của hình chữ nhật $\left( {0 < x < 66} \right)$

Chiều rộng của hình chữ nhật là $66 - x$ $\left( m \right)$.

Diện tích của hình chữ nhật là $x\left( {66 - x} \right)$ $\left( {{m^2}} \right)$

Chiều dài của hình chữ nhật sau khi tăng là $x + 8$ $\left( m \right)$.

Chiều rộng của hình chữ nhật sau khi giảm là: $66 - x - 4 = 62 - x$ $\left( m \right)$.

Diện tích của hình chữ nhật lúc sau là: $\left( {x + 8} \right)\left( {62 - x} \right)$$\left( {{m^2}} \right)$

Theo đề bài, ta có phương trình:

$$\left( {x + 8} \right)\left( {62 - x} \right) = x\left( {66 - x} \right) + 52$$

$$- {x^2} + 54x + 496 = - {x^2} + 66x + 52$$

$$66x - 54x = 496 - 52$$

$$12x = 444$$

$x = 37$ (TMĐK)

Chiều rộng của hình chữ nhật là $66 - 37 = 29$ $\left( m \right)$.

Vậy chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là $37\,\,m$ và $29\,\,m$.