Bộ 5 đề thi cuối kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức (Tự luận) có đáp án - Đề 5

a) Ta có ${x^3} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right).$

$${x^2} + x + 1 = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0.$$

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 1 \ne 0\\x - 1 \ne 0\end{array} \right.$ nên $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) \ne 0\\x - 1 \ne 0\end{array} \right.$, do đó $x \ne 1$.

Vậy điều kiện xác định của biểu thức $P$ là $x \ne 1$.

b) Với $x \ne 1$, ta có

$P = \frac{{6{x^2} + 8x + 7}}{{{x^3} - 1}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{6}{{x - 1}}$

$= \frac{{6{x^2} + 8x + 7}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} - \frac{{6\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}$

$= \frac{{6{x^2} + 8x + 7 + {x^2} - x - 6{x^2} - 6x - 6}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}$

$= \frac{{{x^2} + x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{1}{{x - 1}}.$

Vậy với $x \ne 1$ thì $P = \frac{1}{{x - 1}}.$

c) Thay $x = \frac{1}{2}$ vào biểu thức $P$, ta được:

$P = \frac{1}{{x - 1}} = \frac{1}{{\frac{1}{2} - 1}} = \frac{1}{{ - \frac{1}{2}}} = - 2.$

Vậy với $x = \frac{1}{2}$ thì $P = - 2.$

a) Gọi hàm số bậc nhất cần tìm là $y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right).$

Theo giả thiết, ta có

• Với $x = 0\,;\,\,y = 1$ thì $0a + b = 1$ hay $b = 1$.

• Với $x = 6\,;\,\,y = 2$ thì $6a + 1 = 2$ hay $a = \frac{1}{6}$.

Vậy $\left( d \right):y = \frac{1}{6}x + 1$.

b) Giao điểm của đường thẳng $d$ với trục tung có ý nghĩa là chi phí ban đầu người dùng trả cho nhà mạng là 1 triệu đồng.

Trong thời gian 12 tháng, người dùng phải trả số tiền là: $\frac{1}{6} \cdot 12 + 1 = 3$ (triệu đồng).

Nửa chu vi của hình chữ nhật là: $132:2 = 66$$\left( m \right)$.

Gọi $x$$\left( m \right)$ là chiều dài của hình chữ nhật $\left( {0 < x < 66} \right)$

Chiều rộng của hình chữ nhật là $66 - x$ $\left( m \right)$.

Diện tích của hình chữ nhật là $x\left( {66 - x} \right)$ $\left( {{m^2}} \right)$

Chiều dài của hình chữ nhật sau khi tăng là $x + 8$ $\left( m \right)$.

Chiều rộng của hình chữ nhật sau khi giảm là: $66 - x - 4 = 62 - x$ $\left( m \right)$.

Diện tích của hình chữ nhật lúc sau là: $\left( {x + 8} \right)\left( {62 - x} \right)$$\left( {{m^2}} \right)$

Theo đề bài, ta có phương trình:

$$\left( {x + 8} \right)\left( {62 - x} \right) = x\left( {66 - x} \right) + 52$$

$$- {x^2} + 54x + 496 = - {x^2} + 66x + 52$$

$$66x - 54x = 496 - 52$$

$$12x = 444$$

$x = 37$ (TMĐK)

Chiều rộng của hình chữ nhật là $66 - 37 = 29$ $\left( m \right)$.

Vậy chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là $37\,\,m$ và $29\,\,m$.

b) Số lần xúc xắc xuất hiện số lẻ là: $80 - 13 - 12 - 14 = 41$ (lần).

Xác suất thực nghiệm của biến cố “Mặt xuất hiện của xúc xắc là số lẻ” là $\frac{{41}}{{80}}.$

c) Trong các số chấm từ 1 chấm đến 6 chấm, thì có 3 mặt có số chấm là số lẻ.

Do đó xác suất của biến cố “Mặt xuất hiện của xúc xắc là số lẻ” là $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}.$

Vậy khi số lần gieo ngày càng lớn thì xác suất thực nghiệm của biến cố “Mặt xuất hiện của xúc xắc là số lẻ” càng gần với $\frac{1}{2}.$

a) Xét $\Delta ABK$ và $\Delta CBF$ có:

$\widehat {ABK} = \widehat {CBF}\;\left( {\widehat B\;\,{\rm{chung}}} \right)$; $\widehat {AKB} = \widehat {CFB}\;\left( { = 90^\circ } \right)$

Do đó $ΔABK∽\ ΔCBF\text{(g.g)}$

b) Xét $\Delta AEB$ và $\Delta ACF$ có:

$\widehat {EAB} = \widehat {FAC}\;\,\left( {\widehat A\;\,{\rm{chung}}} \right)$; $\widehat {AEB} = \widehat {AFC}\;\left( { = 90^\circ } \right)$

Do đó $ΔAEB∽\ ΔACF\text{(g.g)}$

Suy ra $\frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{AB}}{{AC}}$ hay $AE \cdot AC = AF \cdot AB$ (đpcm)

c) Xét $\Delta BFC$ vuông tại $F$ có $O$ là trung điểm của $BC$ nên $FO = \frac{{BC}}{2}$.

Xét $\Delta BEC$ vuông tại $E$ có $O$ là trung điểm của $BC$ nên $EO = \frac{{BC}}{2}$.

Do đó $FO = EO = \frac{{BC}}{2}$. (1)

Xét $\Delta AEH$ vuông tại $E$ có $I$ là trung điểm của $AH$ nên $EI = \frac{{AH}}{2}$.

Xét $\Delta AFH$ vuông tại $F$ có $I$ là trung điểm của $AH$ nên $FI = \frac{{AH}}{2}$.

Do đó $FI = EI = \frac{{AH}}{2}$. (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra được $OI$ là đường trung trực của cạnh $EF$.

Khi đó $OI \bot EF$ hay $OI \bot DN$.

Do đó $DN$ là đường cao của $\Delta DOI$.

Xét $\Delta DOI$ có $DN$ và $IK$ là đường cao và $N$ là giao của $DN$ và $IK$.

Do đó $N$ là trực tâm của tam giác $DOI$.

Vậy $OI \bot DI$ (đpcm).

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, theo định lý Pythagore, ta có:

$A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$

Suy ra $A{C^2} = B{C^2} - A{B^{2\;}} = {100^2} - {60^2} = 6400$.

Khi đó $AC = \sqrt {6\,400} = 80\,\,{\rm{(cm)}}$

Vì $80\,\,{\rm{cm}} < 85\,\,{\rm{cm}}$ nên nhà bạn Nam đã thực hiện đúng quy định của khu phố.

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều $S.ABC$ là:

${S_{xq}} = \frac{1}{2} \cdot \left( {AB + BC + CA} \right) \cdot SI = \frac{1}{2} \cdot \left( {5 + 5 + 5} \right) \cdot 6 = 45{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right){\rm{.}}$

Tam giác $ABC$ là tam giác đều nên đường trung tuyến $CI$ đồng thời là đường cao.

Xét $\Delta ACI$ vuông tại $I$ có $A{C^2} = A{I^2} + C{I^2}$.

Suy ra $C{I^2} = A{C^2} - A{I^2} = {5^2} - {\left( {\frac{1}{2} \cdot 5} \right)^2} = 25 - \frac{{25}}{4} = \frac{{75}}{4}$.

Do đó $CI = \sqrt {\frac{{75}}{4}} \approx 4{,}33{\rm{\;(cm)}}.$

Diện tích đáy của hình chóp tam giác đều $S.ABC$ là:

${S}_{đáy}=\frac{1}{2}\cdot CI\cdot AB\approx \frac{1}{2}\cdot 4{,}33\cdot 5\approx 10{,}83\ ({\text{cm}}^{2})\text{.}$

Diện tích toàn phần của hình chóp tam giác đều $S.ABC$ là:

${S}_{tp}={S}_{xq}+{S}_{đáy}\approx 45+10{,}83=55{,}83\ ({\text{cm}}^{2})\text{.}$

Vậy hình chóp $S.ABC$ có diện tích xung quanh là $45{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}$ và diện tích toàn phần là $55{,}83{\rm{\;}}\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.$

Hướng dẫn giải

Gọi $x,\,\,y$ (viên) lần lượt là số viên bi đỏ và xanh cần thêm $\left( {x,\,\,y \in \mathbb{N}*} \right)$.

Tổng số viên bi trong hộp ban đầu là: $6 + 3 = 9$ (viên bi).

Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi trong hộp nên có 9 kết quả có thể xảy ra.

Số kết quả thuận lợi để lấy được viên bi đỏ ban đầu là 6.

Khi đó, xác suất lấy được viên bi màu đỏ là $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}.$

Số kết quả thuận lợi để lấy được viên bi xanh ban đầu là 3.

Khi đó, xác suất lấy được viên bi màu xanh là $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}.$

Sau khi số bi tăng thêm, trong hộp có tất cả $\left( {9 + x + y} \right)$ viên bi, trong đó có $\left( {6 + x} \right)$ viên bi đỏ và $\left( {3 + y} \right)$ viên bi xanh.

Do đó xác suất chọn được một viên bi mỗi màu không đổi nên ta có

$\left\{ \begin{array}{l}\frac{{6 + x}}{{9 + x + y}} = \frac{2}{3}\\\frac{{3 + y}}{{9 + x + y}} = \frac{1}{3}\end{array} \right.$, suy ra $6 + x = 2\left( {3 + y} \right)$ nên $x = 2y.$

Do $x,\,\,y \in \mathbb{N}*$ và số bi cần thêm vào là ít nhất nên $y = 1$ và $x = 2.$

Vậy cần phải thêm ít nhất 2 viên bi màu đỏ, 1 viên bi xanh.