Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 05

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đa giác lồi $n$ đỉnh thì có $n$ cạnh.

Nếu vẽ tất cả các đoạn thẳng nối từng cặp trong $n$ đỉnh này thì có một bộ gồm các cạnh và các đường chéo.

Do đó để tính số đường chéo thì lấy tổng số đoạn thẳng dựng được trừ đi số cạnh.

Bằng cách lấy ra $2$ điểm bất kỳ trong $n$ điểm ta được số đoạn thẳng chính là số tổ hợp chập $2$ của $n$ phần tử.

Như vậy, tổng số đoạn thẳng là $C_n^2$.

Số cạnh của đa giác lồi là $n$.

Suy ra số đường chéo của đa giác đều $n$ đỉnh là

$$C_n^2 - n = \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{2!.\left( {n - 2} \right)!}} - n = \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} - n = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2}$$

Theo bài ra, ta có $\left\{ \begin{array}{l}n \ge 3\\\frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} = 135\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n \ge 3\\{n^2} - 3n - 270 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow n = 18$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Số chia hết cho $2$ và $3$ là số chẵn và có tổng các chữ số của nó chia hết cho $3$.

Gọi $\overline {{a_1}{a_2}{a_3}}$là số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau, chia hết cho $2$ và $3$ được lập từ các chữ số $0;1;2;3;4;5;8$.

Trường hợp 1: ${a_3} = 0$

Khi đó các chữ số ${a_1},\,{a_2}$ được lập từ các tập $\left\{ {1;\,2} \right\}$, $\left\{ {1;\,5} \right\}$, $\left\{ {1;\,8} \right\}$, $\left\{ {2;4} \right\}$, $\left\{ {4;5} \right\}$, $\left\{ {4;\,8} \right\}$.

Trường hợp này có $6.2! = 12$ số.

Trường hợp 2: ${a_3} = 2$

Khi đó các chữ số ${a_1},\,{a_2}$ được lập từ các tập $\left\{ {1;\,0} \right\}$, $\left\{ {4;\,0} \right\}$, $\left\{ {1;\,3} \right\}$, $\left\{ {3;4} \right\}$, $\left\{ {5;8} \right\}$.

Trường hợp này có $2 + 3.2! = 8$ số.

Trường hợp 3: ${a_3} = 4$

Khi đó các chữ số ${a_1},\,{a_2}$ được lập từ các tập $\left\{ {2;\,0} \right\}$, $\left\{ {2;\,3} \right\}$, $\left\{ {3;\,5} \right\}$, $\left\{ {3;8} \right\}$.

Trường hợp này có $1 + 3.2! = 7$ số.

Trường hợp 4: ${a_3} = 8$

Khi đó các chữ số ${a_1},\,{a_2}$ được lập từ các tập $\left\{ {0;\,1} \right\}$, $\left\{ {0;\,4} \right\}$, $\left\{ {1;\,3} \right\}$, $\left\{ {2;5} \right\}$, $\left\{ {3;4} \right\}$.

Trường hợp này có $2 + 3.2! = 8$ số.

Vậy có tất cả $12 + 8 + 7 + 8 = 35$ số cần tìm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Để chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây có hai công đoạn:

Công đoạn thứ nhất: Chọn mặt đồng hồ có $3$ cách chọn.

Công đoạn thứ hai: Chọn dây có $4$ cách chọn.

Vậy theo qui tắc nhân ta có $3.4 = 12$ cách.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có

${\left( {\frac{1}{x} + {x^3}} \right)^4} = C_4^0{\left( {\frac{1}{x}} \right)^4}{\left( {{x^3}} \right)^0} + C_4^1{\left( {\frac{1}{x}} \right)^3}{\left( {{x^3}} \right)^1} + C_4^2{\left( {\frac{1}{x}} \right)^2}{\left( {{x^3}} \right)^2} + C_4^3{\left( {\frac{1}{x}} \right)^1}{\left( {{x^3}} \right)^3} + C_4^4{\left( {\frac{1}{x}} \right)^0}{\left( {{x^3}} \right)^4}$$= \frac{1}{{{x^4}}} + 4 + 6{x^4} + 4{x^8} + {x^{12}}$

Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển ${\left( {\frac{1}{x} + {x^3}} \right)^4}$ là $4$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Điều kiện: $n \in \mathbb{N},n \ge 3$

$A_n^3 + 2A_n^2 = 48 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!}} + 2\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 48$

$\Leftrightarrow$$n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) + 2.n\left( {n - 1} \right) = 48$

$\Leftrightarrow$${n^3} - {n^2} - 48 = 0 \Leftrightarrow n = 4$

Ta có ${\left( {1 - 3x} \right)^4} = C_4^0{1^4}{\left( { - 3x} \right)^0} + C_4^1{1^3}{\left( { - 3x} \right)^1} + C_4^2{1^2}{\left( { - 3x} \right)^2} + C_4^3{1^1}{\left( { - 3x} \right)^3} + C_4^4{1^0}{\left( { - 3x} \right)^4}$

$= 1 - 12x + 54{x^2} - 108{x^3} + 81{x^4}$

Vậy hệ số của ${x^3}$ trong khai triển ${\left( {1 - 3x} \right)^4}$ là $- 108$.