Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 05

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đa giác lồi $n$ đỉnh thì có $n$ cạnh.

Nếu vẽ tất cả các đoạn thẳng nối từng cặp trong $n$ đỉnh này thì có một bộ gồm các cạnh và các đường chéo.

Do đó để tính số đường chéo thì lấy tổng số đoạn thẳng dựng được trừ đi số cạnh.

Bằng cách lấy ra $2$ điểm bất kỳ trong $n$ điểm ta được số đoạn thẳng chính là số tổ hợp chập $2$ của $n$ phần tử.

Như vậy, tổng số đoạn thẳng là $C_n^2$.

Số cạnh của đa giác lồi là $n$.

Suy ra số đường chéo của đa giác đều $n$ đỉnh là

$$C_n^2 - n = \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{2!.\left( {n - 2} \right)!}} - n = \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} - n = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2}$$

Theo bài ra, ta có $\left\{ \begin{array}{l}n \ge 3\\\frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} = 135\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n \ge 3\\{n^2} - 3n - 270 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow n = 18$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Số chia hết cho $2$ và $3$ là số chẵn và có tổng các chữ số của nó chia hết cho $3$.

Gọi $\overline {{a_1}{a_2}{a_3}}$là số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau, chia hết cho $2$ và $3$ được lập từ các chữ số $0;1;2;3;4;5;8$.

Trường hợp 1: ${a_3} = 0$

Khi đó các chữ số ${a_1},\,{a_2}$ được lập từ các tập $\left\{ {1;\,2} \right\}$, $\left\{ {1;\,5} \right\}$, $\left\{ {1;\,8} \right\}$, $\left\{ {2;4} \right\}$, $\left\{ {4;5} \right\}$, $\left\{ {4;\,8} \right\}$.

Trường hợp này có $6.2! = 12$ số.

Trường hợp 2: ${a_3} = 2$

Khi đó các chữ số ${a_1},\,{a_2}$ được lập từ các tập $\left\{ {1;\,0} \right\}$, $\left\{ {4;\,0} \right\}$, $\left\{ {1;\,3} \right\}$, $\left\{ {3;4} \right\}$, $\left\{ {5;8} \right\}$.

Trường hợp này có $2 + 3.2! = 8$ số.

Trường hợp 3: ${a_3} = 4$

Khi đó các chữ số ${a_1},\,{a_2}$ được lập từ các tập $\left\{ {2;\,0} \right\}$, $\left\{ {2;\,3} \right\}$, $\left\{ {3;\,5} \right\}$, $\left\{ {3;8} \right\}$.

Trường hợp này có $1 + 3.2! = 7$ số.

Trường hợp 4: ${a_3} = 8$

Khi đó các chữ số ${a_1},\,{a_2}$ được lập từ các tập $\left\{ {0;\,1} \right\}$, $\left\{ {0;\,4} \right\}$, $\left\{ {1;\,3} \right\}$, $\left\{ {2;5} \right\}$, $\left\{ {3;4} \right\}$.

Trường hợp này có $2 + 3.2! = 8$ số.

Vậy có tất cả $12 + 8 + 7 + 8 = 35$ số cần tìm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Để chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây có hai công đoạn:

Công đoạn thứ nhất: Chọn mặt đồng hồ có $3$ cách chọn.

Công đoạn thứ hai: Chọn dây có $4$ cách chọn.

Vậy theo qui tắc nhân ta có $3.4 = 12$ cách.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có

${\left( {\frac{1}{x} + {x^3}} \right)^4} = C_4^0{\left( {\frac{1}{x}} \right)^4}{\left( {{x^3}} \right)^0} + C_4^1{\left( {\frac{1}{x}} \right)^3}{\left( {{x^3}} \right)^1} + C_4^2{\left( {\frac{1}{x}} \right)^2}{\left( {{x^3}} \right)^2} + C_4^3{\left( {\frac{1}{x}} \right)^1}{\left( {{x^3}} \right)^3} + C_4^4{\left( {\frac{1}{x}} \right)^0}{\left( {{x^3}} \right)^4}$$= \frac{1}{{{x^4}}} + 4 + 6{x^4} + 4{x^8} + {x^{12}}$

Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển ${\left( {\frac{1}{x} + {x^3}} \right)^4}$ là $4$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Điều kiện: $n \in \mathbb{N},n \ge 3$

$A_n^3 + 2A_n^2 = 48 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!}} + 2\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 48$

$\Leftrightarrow$$n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) + 2.n\left( {n - 1} \right) = 48$

$\Leftrightarrow$${n^3} - {n^2} - 48 = 0 \Leftrightarrow n = 4$

Ta có ${\left( {1 - 3x} \right)^4} = C_4^0{1^4}{\left( { - 3x} \right)^0} + C_4^1{1^3}{\left( { - 3x} \right)^1} + C_4^2{1^2}{\left( { - 3x} \right)^2} + C_4^3{1^1}{\left( { - 3x} \right)^3} + C_4^4{1^0}{\left( { - 3x} \right)^4}$

$= 1 - 12x + 54{x^2} - 108{x^3} + 81{x^4}$

Vậy hệ số của ${x^3}$ trong khai triển ${\left( {1 - 3x} \right)^4}$ là $- 108$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hàng của chữ số khác $0$ đầu tiên bên trái của $d = 0{,}01$ là hàng phần trăm.

Quy tròn số $\overline a \approx 54{,}76923077...$đến hàng phần trăm ta được số gần đúng của $\overline a$ là $a = 54{,}77$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hàng của chữ số khác $0$ đầu tiên bên trái của $d = 0{,}002$ là hàng phần nghìn. Do đó ta quy tròn $a$ đến hàng phần trăm được $0{,}10$.

Suy ra sai số tuyệt đối của số quy tròn $\Delta \le 0{,}002$.

Vì số đúng $\overline a$ thỏa mãn $0{,}1031 - 0{,}002 \le \overline a \le 0{,}1031 + 0{,}002 \Leftrightarrow 0{,}1011 \le \overline a \le 0{,}1051$.

Do đó sai số tuyệt đối của số $0{,}10$ là: ${\Delta _{0{,}10}} = \left| {\overline a - 0{,}10} \right| \le 0{,}0051$

Vậy sai số tương đối của số $0{,}10$ là: ${\delta _{0{,}10}} \le \frac{{0{,}0051}}{{0{,}10}} = 5{,}1\%$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Sắp xếp dãy số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

$155;\,\,162;\,\,164;\,\,168;\,\,170;\,\,172;\,\,175;\,\,183$.

Dãy trên có tất cả 8 giá trị. Trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ tư và giá trị thứ năm nên ta có: ${Q_2} = \frac{{168 + 170}}{2} = 169\,\,cm$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Năng suất lúa trung bình của các địa phương ở Đồng bằng sông Cửu Long là:

$\overline x = \frac{{78{,}2 + 77{,}9 + 77{,}3 + 76{,}2 + 74{,}7}}{5} = 76{,}86$ (tạ/ha).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có bảng tần số sau:

Mốt của dãy số liệu là giá trị có tần số lớn nhất nên ${M_0} = 8$.

Đáp án đúng là: B

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu bằng căn bậc hai của phương sai mẫu số liệu.

Vậy độ lệch chuẩn cần tìm là $\sqrt 9 = 3$.

Đáp án đúng là: D

Giá trị lớn nhất của mẫu số liệu là 187, giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu là 162.

Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu là $R = 187--162 = 25$.

Đáp án đúng là: A

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

162; 164; 165; 170; 175; 175; 176; 183; 187.

Mẫu số liệu gồm 9 số liệu nên trung vị là số ở vị trí thứ 5 và là số 175 hay ${Q_2} = 175$.

Nửa số liệu bên trái ${Q_2}$ là: 162; 164; 165; 170. Do đó, ${Q_1} = \frac{{164 + 165}}{2} = 164{,}5$.

Nửa số liệu bên phải ${Q_2}$là: 175; 176; 183; 187. Do đó, ${Q_3} = \frac{{183 + 176}}{2} = 179{,}5$.

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 179{,}5 - 164{,}5 = 15$.

Đáp án đúng là: B

Sử dụng máy tính cầm tay ta tính được $\frac{{23}}{7} = 3,\left( {285714} \right)$.

Sai số tuyệt đối của số gần đúng 3,28 là ${\Delta _a} = \left| {3{,}28 - 3,\left( {285714} \right)} \right| = \frac{1}{{175}} = \frac{{0{,}04}}{7}$.

Đáp án đúng là: B

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được: 5; 6; 6; 7; 7; 8; 8; 9; 9.

Vì mẫu số liệu gồm 9 số liệu nên trung vị là số ở vị trí thứ 5 và là số 7.

Vậy trung vị của mẫu số liệu đã cho là 7.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có độ dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là $10m$và $8m$ nên $a = 5,\,b = 4$.

Suy ra phương trình của Elip $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$.

Ta có $\widehat {{A_1}O{A_2}} = 45^\circ$ nên ${A_2}$ là giao điểm của đường thẳng $y = x$ và Elip $\left( E \right)$

Suy ra $\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{x^2}}}{{16}} = 1 \Rightarrow 41{x^2} = 400 \Rightarrow x = \frac{{20\sqrt {41} }}{{41}}$

Do đó ${A_2}\left( {\frac{{20\sqrt {41} }}{{41}};\,\frac{{20\sqrt {41} }}{{41}}} \right)$.

Diện tích tam giác ${A_1}O{A_2}$ là: ${S_{{A_1}O{A_2}}} = \frac{1}{2}O{A_1}.d({A_2};O{A_1}) = \frac{1}{2}.5.\frac{{20\sqrt {41} }}{{41}} = \frac{{50\sqrt {41} }}{{41}}\,\,\left( {{m^2}} \right)$.

Diện tích tam giác ${A_2}O{A_3}$ là: ${S_{{A_2}O{A_3}}} = \frac{1}{2}O{A_3}.d({A_2};O{A_3}) = \frac{1}{2}.4.\frac{{20\sqrt {41} }}{{41}} = \frac{{40\sqrt {41} }}{{41}}\,\,\left( {{m^2}} \right)$.

$\Rightarrow {S_{{A_1}O{A_3}{A_2}}} = {S_{{A_1}O{A_2}}} + {S_{{A_2}O{A_3}}} = \frac{{50\sqrt {41} }}{{41}}\,\, + \,\,\frac{{40\sqrt {41} }}{{41}} = \,\frac{{90\sqrt {41} }}{{41}}\,\left( {{m^2}} \right)$.

Gọi $S$ là diện tích đa giác ${A_1}{A_2}...{A_8}$ ta có

$S = 4{S_{{A_1}O{A_3}{A_2}}} = 4\frac{{90\sqrt {41} }}{{41}} = \frac{{360\sqrt {41} }}{{41}}\,\,\left( {{m^2}} \right)$.

Vậy số tiền Minh cần là $\frac{{360\sqrt {41} }}{{41}}.100\,000 \approx 5\,\,622\,\,000$ (đồng).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình chính tắc của $\left( E \right)$: $\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 25\\{b^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 3\end{array} \right.$

Độ dài trục lớn $2a = 10$; độ dài trục bé $2b = 6$

Diện tích hình chữ nhật cơ sở ngoại tiếp $\left( E \right)$ là $S = 2a.2b = 10.6 = 60$ (đvdt).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $(E):\frac{x²}{{a}^{2}}+\frac{y²}{4}=1\Leftrightarrow \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{2}^{2}}=1$ .

Điều kiện để $\left( E \right)$ là elip khi $a > 2$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {3;7} \right);\overrightarrow {AC} = \left( {5;4} \right) \Rightarrow \overrightarrow v = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \left( {3 + 5;\,7 + 4} \right) = \left( {8;11} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Trục $Ox:\,y = 0$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow i = \left( {1;\,0} \right)$ nên một đường thẳng song song với $Ox$ cũng có vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = \left( {1;\,0} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow u = \,2\overrightarrow i + 13\overrightarrow j$, khi đó tọa độ của vectơ $\overrightarrow u$ là $\overrightarrow u = \left( {2;\,\,13} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow {NM} = \left( { - 1 - 3;\,2 - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( { - 4;\,\,3} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Khoảng cách từ điểm $A\left( {1;1} \right)$ đến đường thẳng $d:x - y + 3 = 0$ là:

$d\left( {A;d} \right) = \frac{{\left| {1 - 1 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt 2 }}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $d:\frac{1}{2}y = 7x + 3 \Leftrightarrow y = 14x + 6$.

Vì vậy hệ số góc của đường thẳng $d$ là $k = 14$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng ${d_1}$ có vectơ chỉ phương ${\vec u_1} = \left( { - 2;\,4} \right)$, lấy $A\left( {2;\,8} \right) \in {d_1}$

Đường thẳng ${d_2}$ có vectơ chỉ phương ${\vec u_2} = \left( {1;\, - 2} \right)$

Ta có: $\frac{1}{{ - 2}} = \frac{{ - 2}}{4}$ nên $\overrightarrow {{u_1}}$ và $\overrightarrow {{u_2}}$ cùng phương

Ta lại có: $A \in {d_2}$

Do đó đường thẳng ${d_1}$ trùng đường thẳng ${d_2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Để ${d_1}$ và ${d_2}$ cắt nhau thì $\frac{{2m - 1}}{3} \ne \frac{{{m^2}}}{4} \Leftrightarrow 3{m^2} - 8m + 4 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m \ne \frac{2}{3}\end{array} \right.$

Với điểm $\left( {1;1} \right)$, có $3.1 + 4.1 - 7 = 0$ nên điểm này thuộc đường thẳng ${d_1}$.

Do đó để ${d_1}$ và ${d_2}$ cắt nhau tại $\left( {1;1} \right)$ thì điểm này cũng thuộc ${d_2}$ nên ta có $\left( {2m - 1} \right).1 + {m^2}.1 - 2 = 0 \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 3\end{array} \right.$.

Vậy với $m = 1$ và $m = - 3$ thì hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ cắt nhau tại $\left( {1;1} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Để hai đường thẳng không có điểm chung thì $d\,//\,d'$.

Ta có $d:x - 3y + 4 = 0$ có VTPT ${\vec n_d} = \left( {1;\, - 3} \right)$

+) Xét $d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 3t\end{array} \right.$ có vectơ pháp tuyến ${\vec n_{d'}} = \left( {3;\, - 1} \right)$ $\Rightarrow {\vec n_d},\,{\vec n_{d'}}$ không cùng phương.

+) Xét $d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = 2 + t\end{array} \right.$ có vectơ pháp tuyến ${\vec n_{d'}} = \left( {1;\,3} \right)$ $\Rightarrow {\vec n_d},\,{\vec n_{d'}}$ không cùng phương.

+) Xét $d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 2 + 3t\end{array} \right.$ có vectơ pháp tuyến ${\vec n_{d'}} = \left( {3;\,1} \right)$ $\Rightarrow {\vec n_d},\,{\vec n_{d'}}$ không cùng phương.

+) Xét $d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = 2 - t\end{array} \right.$ có vectơ pháp tuyến ${\vec n_{d'}} = \left( {1;\, - 3} \right)$ $\Rightarrow {\vec n_d},\,{\vec n_{d'}}$ cùng phương. Lấy điểm $A\left( {1;\,2} \right) \in d'$ nhưng $A \notin d$. Do đó $d$ và $d'$ song song.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng $d$ có một vectơ pháp tuyến là $\left( {1; - 3} \right)$ nên vectơ chỉ phương là $\left( {3;1} \right)$.

Vì $d \bot d'$ nên $d'$ nhận $\left( {3;1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm $A\left( {0;2} \right)$ có phương trình là:

$3\left( {x - 0} \right) + \left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + y - 2 = 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Phương trình tham số của đường thẳng có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {A;B} \right)$ nên có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {B; - A} \right)$ và đi qua điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là $\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + Bt\\y = {y_0} - At\end{array} \right.$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 16$ nên đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {1;\, - 3} \right)$ và $R = \sqrt {16} = 4$. Vậy nên chọn đáp án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( { - 2;\,1} \right)$ và bán kính $R = d\left( {I,\,d} \right) = \frac{{\left| { - 6 - 4 + 5} \right|}}{{\sqrt {9 + 16} }} = 1$.

$\Rightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: ${x^2} + {y^2} + 2mx + 2\left( {m - 1} \right)y + 2{m^2} = 0$ có $\left\{ \begin{array}{l}a = - m\\b = 1 - m\\c = 2{m^2}\end{array} \right.$

Để $\left( * \right)$ là phương trình đường tròn thì:

${a^2} + {b^2} - c > 0 \Rightarrow {m^2} + {\left( {1 - m} \right)^2} - 2{m^2} > 0 \Leftrightarrow - 2m + 1 > 0 \Leftrightarrow m < \frac{1}{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Không gian mẫu của biến cố là: $n\left( \Omega \right) = 6.6 = 36$.

Gọi $A$: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc không lớn hơn 4”.

Các kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là: $A = \left\{ {\left( {1;1} \right);\,\,\left( {1;2} \right);\,\left( {2;1} \right);\,\,\,\left( {1;3} \right);\,\,\left( {3;1} \right);\,\,\left( {2;2} \right)} \right\}$.

$\Rightarrow n\left( A \right) = 6$

$\Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $n\left( \Omega \right) = C_7^2 = 21$.

Gọi $A$ là biến cố “hai bạn được chọn có một bạn là nam và một bạn là nữ”.

Khi đó $n\left( A \right) = C_4^1.C_3^1 = 12$.

$\Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{12}}{{21}} = \frac{4}{7}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Biến cố đối của biến cố $A$ là $\overline A :$”Số được chọn lớn hơn hoặc bằng $432$”.

Hướng dẫn giải

a) Kết quả trung bình của bạn Mạnh là:

$\overline {{x_1}} = \frac{{2{,}1 + 2{,}5 + 2{,}4 + 2{,}2 + 2{,}3}}{5} = 2{,}3$

Kết quả trung bình của bạn Duy là:

$\overline {{x_2}} = \frac{{2{,}0 + 2{,}8 + 2{,}6 + 2{,}2 + 1{,}9}}{5} = 2{,}3$.

Vậy cả hai bạn có kết quả nhảy trung bình là bằng nhau.

Phương sai của mẫu số liệu thống kê kết quả của bạn mạnh là:

$S_{{x_1}}^2 = \frac{{{{\left( {2{,}1 - 2{,}3} \right)}^2} + {{\left( {2{,}5 - 2{,}3} \right)}^2} + {{\left( {2{,}4 - 2{,}3} \right)}^2} + {{\left( {2{,}2 - 2{,}3} \right)}^2} + {{\left( {2{,}3 - 2{,}3} \right)}^2}}}{5} = 0{,}02$.

Suy ra độ lệch chuẩn

${s_{{x_1}}} = \sqrt {S_{{x_1}}^2} = \sqrt {0{,}02} \approx 0{,}14$.

Phương sai của mẫu số liệu thống kê kết quả của bạn Duy là:

$S_{{x_1}}^2 = \frac{{{{\left( {2{,}0 - 2{,}3} \right)}^2} + {{\left( {2{,}8 - 2{,}3} \right)}^2} + {{\left( {2{,}6 - 2{,}3} \right)}^2} + {{\left( {2{,}2 - 2{,}3} \right)}^2} + {{\left( {1{,}9 - 2{,}3} \right)}^2}}}{5} = 0{,}12$

Suy ra độ lệch chuẩn

${s_{{x_2}}} = \sqrt {S_{{x_2}}^2} = \sqrt {0{,}12} \approx 0{,}35$.

Vì $0{,}35 > 0{,}14$ nên mẫu số liệu thống kê kết quả của bạn Duy có độ phân tán lớn hơn hay nói cách khác bạn Duy có kết quả nhảy xa ổn định hơn.

b) Ta có khai triển của ${\left( {1 - {x^2}} \right)^5}$ là:

${\left( {1 - {x^2}} \right)^5} = C_5^0{1^5} - C_5^1{.1^4}.{x^2} + C_5^2{.1^3}.{\left( {{x^2}} \right)^2} - C_5^3{.1^2}.{\left( {{x^2}} \right)^3} + C_5^4.1.{\left( {{x^2}} \right)^4} - C_5^5.{\left( {{x^2}} \right)^5}$

$= 1 - 5{x^2} + 10{x^4} - 10{x^6} + 5{x^8} - {x^{10}}$.

Vậy hệ số của ${x^6}$ trong khai triển là $- 10$.

Hướng dẫn giải.

Gọi số đoàn viên trong chi đoàn đó là $n\left( {n \ge 7,\,n \in {\mathbb{N}^*}} \right)$.

Suy ra số đoàn viên nam trong chi đoàn là $n - 3$.

Xác suất để lập đội thanh niên tình nguyện trong đó có $3$ nữ là $\frac{{C_3^3.C_{n - 3}^1}}{{C_n^4}}$.

Xác suất để lập đội thanh niên tình nguyện có toàn nam là $\frac{{C_{n - 3}^4}}{{C_n^4}}$.

Theo giả thiết, ta có $\frac{{C_3^3.C_{n - 3}^1}}{{C_n^4}} = \frac{2}{5}.\frac{{C_{n - 3}^4}}{{C_n^4}} \Leftrightarrow C_{n - 3}^1 = \frac{2}{5}C_{n - 3}^4$.

$$\Leftrightarrow \left( {n - 3} \right) = \frac{2}{5}\frac{{\left( {n - 3} \right)\left( {n - 4} \right)\left( {n - 5} \right)\left( {n - 6} \right)\left( {n - 7} \right)!}}{{4!\left( {n - 7} \right)!}} \Leftrightarrow \left( {n - 4} \right)\left( {n - 5} \right)\left( {n - 6} \right) = 60$$

$\Leftrightarrow {n^3} - 15{n^2} + 74n - 180 = 0$

$\Leftrightarrow \left( {n - 9} \right)\left( {{n^2} - 6n + 20} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n - 9 = 0\\{n^2} - 6n + 20 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow n = 9$ (do ${n^2} - 6n + 20 = 0$ vô nghiệm).

Vậy cho đoàn có $9$ đoàn viên.

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình tiếp tuyến $\left( \Delta \right)$ song song với đường thẳng $y = 2x - 1$ là $y - 2x + c = 0$.

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {1;\,0} \right)$ và bán kính $R = 3$.

Theo giả thiết, ta có: $d\left( {I;\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {n - 2} \right|}}{{\sqrt 5 }} = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 2 - 3\sqrt 5 \\c = 2 + 3\sqrt 5 \end{array} \right.$

Vậy phương trình tiếp tuyến $\left( \Delta \right)$ là $y - 2x + 2 - 3\sqrt 5 = 0$ hoặc $y - 2x + 2 + 3\sqrt 5 = 0$.

b) Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ nên $M \in \Delta '$.

Đặt: $M\left( {3t; - 2t} \right)$.

$\Rightarrow B\left( {6t - 4; - 4t + 1} \right)$

Mặt khác $B \in \Delta$ nên ta có: $2\left( {6t - 1} \right) - 3\left( { - 4t + 4} \right) = 0$

$\Leftrightarrow 24t - 11 = 0$

$\Leftrightarrow t = \frac{{11}}{{24}}$

$\Rightarrow B\left( { - \frac{5}{4}; - \frac{5}{6}} \right)$.

Đường thẳng $\Delta :2x - 3y = 0$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n \left( {2; - 3} \right)$ nên có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u \left( {3;2} \right)$.

Vì $\Delta \bot AC$ nên đường thẳng $AC$ nhận $\overrightarrow u \left( {3;2} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến và có phương trình là: $3\left( {x - 4} \right) + 2\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y - 10 = 0$.

Tọa độ điểm $C$ là giao điểm của $AC$ và $\Delta '$ nên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 0\\3x + 2y - 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = - 4\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {6; - 4} \right)$.