TopStudy

Toán · Lớp 12

Bài tập Áp dụng định nghĩa và tính chất nguyên hàm lớp 12 (có lời giải)

25 câu · 38 phút · Ngân hàng đề TopStudy. Đáp án và lời giải do TopStudy biên soạn, mở ngay dưới từng câu.

Làm bài

Nội dung đề

Phần I. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn

Câu 1

1 điểm
Cho hàm số f(x) = 3x2^{2} + 2x. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của f(x) trên ℝ.
  1. Đáp án A: F1_{1}(x) = x3^{3} + x2^{2} – 4;
  2. Đáp án B: F2(x)=x33+x22{F_2}\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2};
  3. Đáp án C: F3_{3}(x) = x3^{3} − x2^{2} + 1;
  4. Đáp án D: F4_{4}(x) = 3x3^{3} + x2^{2}.
Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Đáp án đúng là: A

Vì F1_{1}'(x) = 3x2^{2} + 2x = f(x).

Do đó F1_{1}(x) = x3^{3} + x2^{2} – 4 là một nguyên hàm của f(x) = 3x2^{2} + 2x trên ℝ.

Câu 2

1 điểm
Cho hàm số f(x)=x−1xf\left( x \right) = x - \frac{1}{{\sqrt x }}. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (0; +∞).
  1. Đáp án A: F1(x)=x22+x{F_1}\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \sqrt x;
  2. Đáp án B: F2(x)=x22−x{F_2}\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - \sqrt x;
  3. Đáp án C: F3(x)=x22+2x{F_3}\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + 2\sqrt x;
  4. Đáp án D: F4(x)=x22−2x{F_4}\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - 2\sqrt x.
Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: D

Đáp án đúng là: D

Có F4′(x)=x−1x=f(x){F'_4}\left( x \right) = x - \frac{1}{{\sqrt x }} = f\left( x \right).

Câu 3

1 điểm
Cho hàm số f(x)=3+1xf\left( x \right) = 3 + \frac{1}{x}. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của f(x) trên (0; +∞).
  1. Đáp án A: F1(x)=3x−1x2{F_1}\left( x \right) = 3x - \frac{1}{{{x^2}}};
  2. Đáp án B: F2(x)=3x+ln⁡x{F_2}\left( x \right) = 3x + \ln x;
  3. Đáp án C: F3(x)=3x+1x2{F_3}\left( x \right) = 3x + \frac{1}{{{x^2}}};
  4. Đáp án D: F4_{4}(x) = 3x – lnx.
Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: B

Đáp án đúng là: B

Có F2′(x)=3+1x=f(x){F'_2}\left( x \right) = 3 + \frac{1}{x} = f\left( x \right).

Câu 4

1 điểm
Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K nếu
  1. Đáp án A: F'(x) = −f(x), ∀x K;
  2. Đáp án B: f'(x) = F(x), ∀x K;
  3. Đáp án C: F'(x) = f(x), ∀x K;
  4. Đáp án D: f'(x) = −F(x), ∀x K.
Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Đáp án đúng là: C

Theo định nghĩa thì hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K nếu F'(x) = f(x), ∀x K.

Câu 5

1 điểm
Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) xác định trên khoảng K. Mệnh đề nào dưới đây sai?
  1. Đáp án A: F(x) = f'(x);
  2. Đáp án B: F'(x) = f(x);
  3. Đáp án C: (∫f(x)dx)′=F′(x){\left( {\int {f\left( x \right)dx} } \right)^\prime } = F'\left( x \right);
  4. Đáp án D: ∫f(x)dx=F(x)+C\int {f\left( x \right)dx} = F\left( x \right) + C.
Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Đáp án đúng là: A

Theo định nghĩa suy ra A sai.

Câu 6

1 điểm
Cho ∫f(x)dx=F1(x),∫g(x)dx=F2(x)\int {f\left( x \right)dx} = {F_1}\left( x \right),\int {g\left( x \right)dx} = {F_2}\left( x \right). Tính I=∫[2g(x)−f(x)]dxI = \int {\left[ {2g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]} dx.
  1. Đáp án A: 2F1_{1}(x) – F2_{2}(x) + C;
  2. Đáp án B: F2_{2}(x) – F1_{1}(x) + C;
  3. Đáp án C: 2F2_{2}(x) – F1_{1}(x) + C;
  4. Đáp án D: |F1_{1}(x) + F2_{2}(x)| + C.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 6

Câu 7

1 điểm
Khẳng định nào sau đây sai?
  1. Đáp án A: ∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} dx = \int {f\left( x \right)dx} + \int {g\left( x \right)dx};
  2. Đáp án B: ∫[f(x)−g(x)]dx=∫f(x)dx−∫g(x)dx\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} dx = \int {f\left( x \right)dx} - \int {g\left( x \right)dx};
  3. Đáp án C: ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx,∀k∈R\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} ,\forall k \in \mathbb{R};
  4. Đáp án D: ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx,∀k∈R,k≠0\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} ,\forall k \in \mathbb{R},k \ne 0.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 7

Câu 8

1 điểm
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ. Số nguyên hàm của hàm số f(x) là
  1. Đáp án A: Vô số;
  2. Đáp án B: 0;
  3. Đáp án C: 2;
  4. Đáp án D: 1.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 8

Câu 9

1 điểm
Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x2^{2}. Biểu thức F'(25) bằng
  1. Đáp án A: 5;
  2. Đáp án B: 625;
  3. Đáp án C: 25;
  4. Đáp án D: 125.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 9

Câu 10

1 điểm
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
  1. Đáp án A: F(x) = cos2^{2}x + 24 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = −sin2x;
  2. Đáp án B: F(x) = tanx + 12 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 + tan2^{2}x;
  3. Đáp án C: F(x) = 362x^{2x} là một nguyên hàm của hàm số f(x)=1296xln⁡1296f\left( x \right) = \frac{{{{1296}^x}}}{{\ln 1296}};
  4. Đáp án D: F(x) = x(x – 2) là một nguyên hàm của hàm số f(x)=2(x2−1)x+1f\left( x \right) = \frac{{2\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{x + 1}} trên (−1; +∞).
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 10

Câu 11

1 điểm
Cho hàm số f(x)=x2−2xf(x) = {x^2} - 2x. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên tập số thực?
  1. Đáp án A: F(x)=x33+x2F(x) = \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2}.
  2. Đáp án B: F(x)=x33−x2F(x) = \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}.
  3. Đáp án C: F(x)=x3−x2F(x) = {x^3} - {x^2}.
  4. Đáp án D: F(x) = 2x − 2.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 11

Câu 12

1 điểm
Tìm họ các nguyên hàm của hàm số f(x)=x2+xf(x) = {x^2} + x.
  1. Đáp án A: ∫f(x)dx=x33+x22+C\int {f(x)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} + C.
  2. Đáp án B: ∫f(x)dx=x3+x2+C\int {f(x)dx} = {x^3} + {x^2} + C.
  3. Đáp án C: ∫f(x)dx=x33−x22+C\int {f(x)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2} + C.
  4. Đáp án D: ∫f(x)dx=2x+1+C\int {f(x)dx} = 2x + 1 + C.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 12

Câu 13

1 điểm
Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số f(x)=x+1xf(x) = x + \frac{1}{x} trên khoảng (0;+∞)\left( {0; + \infty } \right)?
  1. Đáp án A: F(x)=12x2−ln⁡xF(x) = \frac{1}{2}{x^2} - \ln x.
  2. Đáp án B: F(x)=x22+ln⁡xF(x) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x.
  3. Đáp án C: F(x)=1−1x2F(x) = 1 - \frac{1}{{{x^2}}}.
  4. Đáp án D: F(x)=x2+ln⁡xF(x) = {x^2} + \ln x.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 13

Câu 14

1 điểm
Tìm họ các nguyên hàm của hàm số f(x)=−32x2f(x) = - \frac{3}{2}{x^2}.
  1. Đáp án A: ∫f(x)dx=−32x3+C\int {f(x)dx} = - \frac{3}{2}{x^3} + C.
  2. Đáp án B: ∫f(x)dx=−12x3+C\int {f(x)dx} = - \frac{1}{2}{x^3} + C.
  3. Đáp án C: ∫f(x)dx=−3x+C\int {f(x)dx} = - 3x + C.
  4. Đáp án D: ∫f(x)dx=−16x3+C\int {f(x)dx} = - \frac{1}{6}{x^3} + C.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 14

Câu 15

1 điểm
Tìm họ các nguyên hàm của hàm số f(x)=4x(x−1)2f(x) = 4x{\left( {x - 1} \right)^2}.
  1. Đáp án A: ∫f(x)dx=x4−83x3+2x2+C\int {f(x)dx} = {x^4} - \frac{8}{3}{x^3} + 2{x^2} + C.
  2. Đáp án B: ∫f(x)dx=x4−8x3+4x2+C\int {f(x)dx} = {x^4} - 8{x^3} + 4{x^2} + C.
  3. Đáp án C: ∫f(x)dx=4x4−83x3+2x2+C\int {f(x)dx} = 4{x^4} - \frac{8}{3}{x^3} + 2{x^2} + C.
  4. Đáp án D: ∫f(x)dx=x4+83x3+2x2+C\int {f(x)dx} = {x^4} + \frac{8}{3}{x^3} + 2{x^2} + C.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 15

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 16

1 điểm
Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
  • Ý a: Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K.
  • Ý b: Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số F(x) - C không phải là nguyên hàm của f(x) trên K.
  • Ý c: Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C (C là hằng số).
  • Ý d: Kí hiệu họ các nguyên hàm của f(x) trên K là ∫f(x)dx=F(x)+C\int {f(x)dx} = F(x) + C.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 16

Câu 17

1 điểm
Cho hàm số f(x)=x3f(x) = {x^3}. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
  • Ý a: Hàm số F(x)=x44F(x) = \frac{{{x^4}}}{4} là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên tập số thực.
  • Ý b: Hàm số G(x)=x44−5G(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - 5 là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên tập số thực.
  • Ý c: ∫x3dx=3x2+C\int {{x^3}dx} = 3{x^2} + C với C là hằng số.
  • Ý d: Tồn tại duy nhất một hằng số C để nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thỏa mãn F(2) = 5.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 17

Câu 18

1 điểm
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (0;+∞)\left( {0; + \infty } \right), biết f′(x)=2x−3x2f'(x) = 2x - \frac{3}{{{x^2}}} và f(1) = 2. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
  • Ý a: Hàm số f(x) là một nguyên hàm của hàm số 2x−3x22x - \frac{3}{{{x^2}}}.
  • Ý b: Họ các nguyên hàm của hàm số 2x−3x22x - \frac{3}{{{x^2}}} là x2−3x+C{x^2} - \frac{3}{x} + C.
  • Ý c: Hàm số f(x) cần tìm là f(x)=x2+3x−2f(x) = {x^2} + \frac{3}{x} - 2.
  • Ý d: Giá trị của f(3) bằng 8.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 18

Câu 19

1 điểm
Xét việc tính nguyên hàm I=∫(2x+1)2x3dxI = \int {\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{{x^3}}}dx} với x > 0. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
  • Ý a: (2x+1)2x3=4x+4x2+1x3\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{{x^3}}} = \frac{4}{x} + \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}.
  • Ý b: ∫4xdx=4ln⁡x+C\int {\frac{4}{x}dx} = 4\ln x + C trên khoảng (0;+∞)\left( {0; + \infty } \right).
  • Ý c: ∫4x2dx=4x+C\int {\frac{4}{{{x^2}}}dx} = \frac{4}{x} + C.
  • Ý d: I=4ln⁡x−4x−12x2+CI = 4\ln x - \frac{4}{x} - \frac{1}{{2{x^2}}} + C.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 19

Câu 20

1 điểm
Cho hai hàm số f(x)=3x2f(x) = 3{x^2} và g(x)=2xg(x) = 2x xác định trên tập số thực. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
  • Ý a: Một nguyên hàm của hàm số f(x) trên tập số thực là hàm số x3{x^3}.
  • Ý b: Họ các nguyên hàm của hàm số g(x) là ∫g(x)dx=x2+C\int {g(x)dx} = {x^2} + C.
  • Ý c: Nguyên hàm của một hiệu được tính bằng công thức ∫[f(x)−g(x)]dx=x3−x2+C\int {\left[ {f(x) - g(x)} \right]dx} = {x^3} - {x^2} + C.
  • Ý d: Nguyên hàm của một tích được tính bằng công thức ∫f(x)⋅g(x)dx=∫f(x)dx⋅∫g(x)dx\int {f(x) \cdot g(x)dx} = \int {f(x)dx} \cdot \int {g(x)dx}
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 20

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 21

1 điểm
Cho hàm số f(x) liên tục trên tập số thực, có đạo hàm f′(x)=2xf'(x) = 2x và thỏa mãn f(1) = 3. Tính giá trị của f(2).
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 21

Câu 22

1 điểm
Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)=4x3f(x) = 4{x^3} trên tập số thực và thỏa mãn điều kiện F(0) = 2. Tính giá trị của F(1).
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 22

Câu 23

1 điểm
Biết ∫f(x)dx=3x2+2x+1+C\int {f(x)dx} = 3{x^2} + 2x + 1 + C. Tính giá trị của f(1).
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 23

Câu 24

1 điểm
Cho hàm số F(x)=x2+2xF(x) = {x^2} + 2x là một nguyên hàm của hàm số f(x)f(x) trên tập số thực. Tính giá trị của biểu thức P=f(1)+f(2)P = f(1) + f(2).
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 24

Câu 25

1 điểm
Cho hàm số f(x) xác định trên tập số thực, có đạo hàm f′(x)=3x2−2xf'(x) = 3{x^2} - 2x và thỏa mãn f(2) = 5. Tính giá trị của f(−1).
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 25
Làm bài

Đề cùng chủ đề

Tất cả đề Nguyên hàm · Các bộ sách Toán Lớp 12