Bài tập Áp dụng định nghĩa và tính chất nguyên hàm lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Vì F$_{1}$'(x) = 3x$^{2}$ + 2x = f(x).

Do đó F$_{1}$(x) = x$^{3}$ + x$^{2}$ – 4 là một nguyên hàm của f(x) = 3x$^{2}$ + 2x trên ℝ.

Đáp án đúng là: D

Có ${F'_4}\left( x \right) = x - \frac{1}{{\sqrt x }} = f\left( x \right)$.

Đáp án đúng là: B

Có ${F'_2}\left( x \right) = 3 + \frac{1}{x} = f\left( x \right)$.

Đáp án đúng là: C

Theo định nghĩa thì hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K nếu F'(x) = f(x), ∀x K.

Đáp án đúng là: A

Theo định nghĩa suy ra A sai.

Đáp án đúng là: C

$I = \int {\left[ {2g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]} dx$$= 2\int {g\left( x \right)} dx - \int {f\left( x \right)} dx = 2{F_2}\left( x \right) - {F_1}(x) + C$.

Đáp án đúng là: C

$\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} ,\forall k \in \mathbb{R},k \ne 0$ nên đáp án C sai.

Đáp án đúng là: A

Hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ thì có vô số nguyên hàm trên ℝ.

Đáp án đúng là: B

Vì F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x$^{2}$ nên F'(x) = f(x) = x$^{2}$.

Do đó F'(25) = 25$^{2}$ = 625.

Đáp án đúng là: C

Có F(x) = 36$^{2x}$ = 1296$^{x}$. Suy ra F'(x) = 1296$^{x}$.ln1296.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $F'(x) = {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)^\prime } = {x^2} - 2x = f(x)$ với mọi x thuộc tập số thực.

Do đó hàm số $F(x) = \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}$ là một nguyên hàm của hàm số f(x).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Kiểm tra các phương án bằng định nghĩa nguyên hàm:

Xét phương án A, ta có: ${\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} + C} \right)^\prime } = 3 \cdot \frac{{{x^2}}}{3} + 2 \cdot \frac{x}{2} = {x^2} + x = f(x)$.

Do đó, họ các nguyên hàm của hàm số f(x) là $\int {f(x)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} + C$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $F'(x) = {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + \ln x} \right)^\prime } = x + \frac{1}{x} = f(x)$ với mọi x > 0.

Do đó hàm số $F(x) = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln x$ là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta xét đạo hàm của phương án B: ${\left( { - \frac{1}{2}{x^3} + C} \right)^\prime } = - \frac{1}{2} \cdot 3{x^2} = - \frac{3}{2}{x^2} = f(x)$.

Vậy họ các nguyên hàm của hàm số f(x) là $\int {f(x)dx} = - \frac{1}{2}{x^3} + C$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có biến đổi: $4x{\left( {x - 1} \right)^2} = 4x\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) = 4{x^3} - 8{x^2} + 4x$.

Kiểm tra đạo hàm phương án A:

${\left( {{x^4} - \frac{8}{3}{x^3} + 2{x^2} + C} \right)^\prime } = 4{x^3} - \frac{8}{3} \cdot 3{x^2} + 2 \cdot 2x = 4{x^3} - 8{x^2} + 4x = f(x)$.

Vậy $\int {f(x)dx} = {x^4} - \frac{8}{3}{x^3} + 2{x^2} + C$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Đây là định nghĩa cơ bản của nguyên hàm.

b) Sai. Vì ${\left( {F(x) - C} \right)^\prime } = F'(x) = f(x)$, nên F(x) - C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K.

c) Đúng. Theo tính chất họ các nguyên hàm của một hàm số.

d) Đúng. Đây là kí hiệu chuẩn mực của họ các nguyên hàm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Vì $F'(x) = {\left( {\frac{{{x^4}}}{4}} \right)^\prime } = {x^3} = f(x)$.

b) Đúng. Vì $G'(x) = {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - 5} \right)^\prime } = {x^3} = f(x)$.

c) Sai. Họ các nguyên hàm của hàm số f(x) là $\int {{x^3}dx} = \frac{{{x^4}}}{4} + C$. Biểu thức $3{x^2}$ là đạo hàm của hàm số f(x).

d) Đúng. Nguyên hàm có dạng $F(x) = \frac{{{x^4}}}{4} + C$. Để F(2) = 5 thì $\frac{{{2^4}}}{4} + C = 5$, suy ra 4 + C = 5 hay C = 1. Đây là giá trị duy nhất thỏa mãn.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Từ $f'(x) = 2x - \frac{3}{{{x^2}}}$ suy ra f(x) là một nguyên hàm của hàm số $2x - \frac{3}{{{x^2}}}$.

b) Sai. Xét đạo hàm của biểu thức ${x^2} + \frac{3}{x} + C$ ta có: ${\left( {{x^2} + \frac{3}{x} + C} \right)^\prime } = 2x - \frac{3}{{{x^2}}}$. Do đó họ nguyên hàm của $2x - \frac{3}{{{x^2}}}$ phải là ${x^2} + \frac{3}{x} + C$.

c) Đúng. Vì $f(x) = {x^2} + \frac{3}{x} + C$. Thay x = 1 ta được f(1) = 1 + 3 + C = 4 + C.

Mà f(1) = 2 nên C = −2. Vậy $f(x) = {x^2} + \frac{3}{x} - 2$.

d) Đúng. Thay x = 3 vào hàm số, ta có $f(3) = {3^2} + \frac{3}{3} - 2 = 9 + 1 - 2 = 8$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Khai triển tử số và chia cho mẫu số ta được: $\frac{{4{x^2} + 4x + 1}}{{{x^3}}} = \frac{4}{x} + \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}$.

b) Đúng. Vì ${\left( {4\ln x} \right)^\prime } = 4 \cdot \frac{1}{x} = \frac{4}{x}$ (với x > 0).

c) Sai. Vì ${\left( {\frac{4}{x}} \right)^\prime } = - \frac{4}{{{x^2}}}$, nên một nguyên hàm của $\frac{4}{{{x^2}}}$ phải là $- \frac{4}{x}$.

d) Đúng. Kiểm tra bằng đạo hàm:

${\left( {4\ln x - \frac{4}{x} - \frac{1}{{2{x^2}}} + C} \right)^\prime } = 4 \cdot \frac{1}{x} - 4\left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right) - \frac{1}{2}\left( { - \frac{2}{{{x^3}}}} \right) = \frac{4}{x} + \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}$.

Do đó $I = 4\ln x - \frac{4}{x} - \frac{1}{{2{x^2}}} + C$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Ta có ${\left( {{x^3}} \right)^\prime } = 3{x^2} = f(x)$ nên ${x^3}$ là một nguyên hàm của f(x).

b) Đúng. Ta có ${\left( {{x^2} + C} \right)^\prime } = 2x = g(x)$.

c) Đúng. Áp dụng tính chất nguyên hàm của một hiệu:

$\int {\left[ {f(x) - g(x)} \right]dx} = \int {f(x)dx} - \int {g(x)dx} = {x^3} - {x^2} + C$.

d) Sai. Nguyên hàm không có tính chất

$\int {f(x) \cdot g(x)dx} = \int {f(x)dx} \cdot \int {g(x)dx} .$

Ta phải tính trực tiếp $\int {f(x) \cdot g(x)dx} = \int {6{x^3}dx} = \frac{3}{2}{x^4} + C$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 6

Ta có ${\left( {{x^2}} \right)^\prime } = 2x$ nên f(x) là một nguyên hàm của 2x, suy ra $f(x) = {x^2} + C$.

Vì f(1) = 3 nên $1 + C = 3$, suy ra C = 2.

Vậy $f(x) = {x^2} + 2$.

Giá trị của f(2) là $f(2) = {2^2} + 2 = 6$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Ta có ${\left( {{x^4}} \right)^\prime } = 4{x^3} = f(x)$ nên hàm số F(x) có dạng $F(x) = {x^4} + C$.

Theo giả thiết F(0) = 2 nên ${0^4} + C = 2$, suy ra C = 2.

Vậy hàm số cần tìm là $F(x) = {x^4} + 2$.

Giá trị của hàm số tại x = 1 là $F(1) = {1^4} + 2 = 3$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 8

Theo định nghĩa nguyên hàm, ta có:

$f(x) = {\left( {3{x^2} + 2x + 1 + C} \right)^\prime } = 6x + 2$.

Thay x = 1 vào hàm số f(x), ta được $f(1) = 6 \cdot 1 + 2 = 8$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 10

Theo định nghĩa nguyên hàm, ta có $f(x) = F'(x) = {\left( {{x^2} + 2x} \right)^\prime } = 2x + 2$.

Khi đó, $f(1) = 2 \cdot 1 + 2 = 4$và $f(2) = 2 \cdot 2 + 2 = 6$

Vậy $P = f(1) + f(2) = 4 + 6 = 10$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −1

Ta thấy f(x) là một nguyên hàm của $f'(x) = 3{x^2} - 2x$.

Ta có ${\left( {{x^3} - {x^2}} \right)^\prime } = 3{x^2} - 2x$, do đó $f(x) = {x^3} - {x^2} + C$.

Theo đề bài f(2) = 5, suy ra ${2^3} - {2^2} + C = 5$, hay 8 − 4 + C = 5 nên 4 + C = 5,

suy ra C = 1.

Vậy $f(x) = {x^3} - {x^2} + 1$.

Giá trị của f(−1) là $f( - 1) = {\left( { - 1} \right)^3} - {\left( { - 1} \right)^2} + 1 = - 1 - 1 + 1 = - 1$.