Ngân hàng đề / … / Lớp 8 / Toán / Toán 8 – Kết nối tri thức / Chương VI. Phân thức đại số / Tính chất cơ bản của phân thức đại số
Nội dung đề
Phần I. Tự luận
Liệu có phân thức nào đơn giản hơn nhưng bằng phân thức
x − y x 3 − y 3 \frac{x-y}{{x}^{3}-{y}^{3}} x 3 − y 3 x − y không nhỉ?
Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý
Sau bài học này ta trả lời được câu hỏi trên như sau:
Ta có x − y x 3 − y 3 = x − y ( x − y ) ( x 2 + x y + y 2 ) = 1 x 2 + x y + y 2 \frac{x-y}{{x}^{3}-{y}^{3}}=\frac{x-y}{(x-y)({x}^{2}+xy+{y}^{2})}=\frac{1}{{x}^{2}+xy+{y}^{2}} x 3 − y 3 x − y = ( x − y ) ( x 2 + x y + y 2 ) x − y = x 2 + x y + y 2 1
Vậy có phân thức 1 x 2 + x y + y 2 \frac{1}{{x}^{2}+xy+{y}^{2}} x 2 + x y + y 2 1
Nếu nhân cả tử và mẫu của phân thức
x + y x − y \frac{x+y}{x-y} x − y x + y với 2x ta được phân thức mới nào? Giải thích vì sao phân thức mới nhận được bằng phân thức đã cho.
Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý
Nhân cả tử và mẫu của phân thức x + y x − y \frac{x+y}{x-y} x − y x + y 2 x ( x + y ) 2 x ( x − y ) = 2 x 2 + 2 x y 2 x 2 − 2 x y \frac{2x(x+y)}{2x(x-y)}=\frac{2{x}^{2}+2xy}{2{x}^{2}-2xy} 2 x ( x − y ) 2 x ( x + y ) = 2 x 2 − 2 x y 2 x 2 + 2 x y
Ta có (x + y)(2x2 ^{2} 2 3 ^{3} 3 2 ^{2} 2 2 ^{2} 2 2 ^{2} 2 3 ^{3} 3 2 ^{2} 2
(x – y)(2x2 ^{2} 2 3 ^{3} 3 2 ^{2} 2 2 ^{2} 2 2 ^{2} 2 3 ^{3} 3 2 ^{2} 2
Do đó, (x + y)(2x2 ^{2} 2 2 ^{2} 2 x + y x − y = 2 x 2 + 2 x y 2 x 2 − 2 x y \frac{x+y}{x-y}=\frac{2{x}^{2}+2xy}{2{x}^{2}-2xy} x − y x + y = 2 x 2 − 2 x y 2 x 2 + 2 x y
Tử và mẫu của phân thức
( x − 1 ) ( x + 1 ) ( x − 1 ) ( x 2 + x + 1 ) \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)({x}^{2}+x+1)} ( x − 1 ) ( x 2 + x + 1 ) ( x − 1 ) ( x + 1 ) có nhân tử chung là x – 1. Viết phân thức nhận được sau khi chia cả tử và mẫu của phân thức này cho nhân tử chung đó. So sánh phân thức mới nhận được và phân thức đã cho.
Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý
Phân thức mới là: x + 1 x 2 + x + 1 \frac{x+1}{{x}^{2}+x+1} x 2 + x + 1 x + 1
Ta thấy ( x − 1 ) ( x + 1 ) ( x − 1 ) ( x 2 + x + 1 ) = x + 1 x 2 + x + 1 \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)({x}^{2}+x+1)}=\frac{x+1}{{x}^{2}+x+1} ( x − 1 ) ( x 2 + x + 1 ) ( x − 1 ) ( x + 1 ) = x 2 + x + 1 x + 1
Vì (x – 1)(x + 1)(x2 ^{2} 2 2 ^{2} 2
Khẳng định sau đây đúng hay sai? Vì sao?
30 x y 2 ( x − y ) 45 x y ( x − y ) 2 = 2 y 3 ( x − y ) \frac{30x{y}^{2}(x-y)}{45xy{(x-y)}^{2}}=\frac{2y}{3(x-y)} 45 x y ( x − y ) 2 30 x y 2 ( x − y ) = 3 ( x − y ) 2 y
Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý
Ta thấy tử và mẫu thức của phân thức 30 x y 2 ( x − y ) 45 x y ( x − y ) 2 \frac{30x{y}^{2}(x-y)}{45xy{(x-y)}^{2}} 45 x y ( x − y ) 2 30 x y 2 ( x − y )
Chia tử cho nhân tử chung: 30xy2 ^{2} 2
Chia mẫu cho nhân tử chung: 45xy(x – y)2 ^{2} 2
Vậy 30 x y 2 ( x − y ) 45 x y ( x − y ) 2 = 2 y 3 ( x − y ) \frac{30x{y}^{2}(x-y)}{45xy{(x-y)}^{2}}=\frac{2y}{3(x-y)} 45 x y ( x − y ) 2 30 x y 2 ( x − y ) = 3 ( x − y ) 2 y
Giải thích vì sao
− x 1 − x = x x − 1 \frac{-x}{1-x}=\frac{x}{x-1} 1 − x − x = x − 1 x .
Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý
Nhân cả tử và mẫu của − x 1 − x \frac{-x}{1-x} 1 − x − x − x . ( − 1 ) ( 1 − x ) ( − 1 ) = x x − 1 \frac{-x.(-1)}{(1-x)(-1)}=\frac{x}{x-1} ( 1 − x ) ( − 1 ) − x . ( − 1 ) = x − 1 x
Vậy − x 1 − x = x x − 1 \frac{-x}{1-x}=\frac{x}{x-1} 1 − x − x = x − 1 x
Phân tích tử và mẫu của phân thức
2 x 2 + 2 x x 2 − 1 \frac{2{x}^{2}+2x}{{x}^{2}-1} x 2 − 1 2 x 2 + 2 x thành nhân tử và tìm các nhân tử chung của chúng.
Chia cả tử và mẫu của phân thức
2 x 2 + 2 x x 2 − 1 \frac{2{x}^{2}+2x}{{x}^{2}-1} x 2 − 1 2 x 2 + 2 x cho các nhân tử chung, ta nhận được một phân thức mới bằng phân thức đã cho nhưng đơn giản hơn.
Em hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu .
Tròn thực hiện rút gọn như hình bên. Hỏi bạn tròn làm đúng hay sai? Vì sao?
Tìm a sao cho hai phân thức sau bằng nhau:
− a x 2 − a x x 2 − 1 \frac{-a{x}^{2}-ax}{{x}^{2}-1} x 2 − 1 − a x 2 − a x 3 x x − 1 \frac{3x}{x-1} x − 1 3 x
Cho hai phân thức 1 2 x 2 + 2 x \frac{1}{2{x}^{2}+2x} 2 x 2 + 2 x 1 1 3 x 2 − 6 x \frac{1}{3{x}^{2}-6x} 3 x 2 − 6 x 1
Phân tích các mẫu thức của hai phân thức đã cho thành nhân tử.
Cho hai phân thức 1 2 x 2 + 2 x \frac{1}{2{x}^{2}+2x} 2 x 2 + 2 x 1 1 3 x 2 − 6 x \frac{1}{3{x}^{2}-6x} 3 x 2 − 6 x 1
Chọn mẫu thức chung (MTC) của hai mẫu thức trên bằng cách lấy tích của các nhân tử được chọn như sau:
- Nhân tử bằng số của MTC là tích các nhân tử bằng số ở các mẫu thức của các phân thức đã cho (nếu các nhân tử bằng số ở các mẫu thức là những số nguyên dương thì nhân tử bằng số ở MTC là BCNN của chúng);
- Với mỗi lũy thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức, ta chọn lũy thừa với số mũ cao nhất.
Cho hai phân thức 1 2 x 2 + 2 x \frac{1}{2{x}^{2}+2x} 2 x 2 + 2 x 1 1 3 x 2 − 6 x \frac{1}{3{x}^{2}-6x} 3 x 2 − 6 x 1
Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức bằng cách lấy MTC chia cho mẫu thức đó.
Cho hai phân thức 1 2 x 2 + 2 x \frac{1}{2{x}^{2}+2x} 2 x 2 + 2 x 1 1 3 x 2 − 6 x \frac{1}{3{x}^{2}-6x} 3 x 2 − 6 x 1
Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức đã cho với nhân tử phụ tương ứng, ta được các phân thức có mẫu thức là MTC đã chọn.
Quy đồng mẫu thức hai phân thức
1 3 x 2 − 3 \frac{1}{3{x}^{2}-3} 3 x 2 − 3 1 và
1 x 3 − 1 \frac{1}{{x}^{3}-1} x 3 − 1 1 .
Tròn nói hai phân thức 5 x − 1 \frac{5}{x-1} x − 1 5 x 1 − x \frac{x}{1-x} 1 − x x
Theo em, bạn nào chọn MTC hợp lí hơn? Vì sao?
Dùng tính chất cơ bản của phân thức, giải thích vì sao các kết luận sau đúng.
a) ( x − 2 ) 3 x 2 − 2 x = ( x − 2 ) 2 x \frac{{(x-2)}^{3}}{{x}^{2}-2x}=\frac{{(x-2)}^{2}}{x} x 2 − 2 x ( x − 2 ) 3 = x ( x − 2 ) 2
Dùng tính chất cơ bản của phân thức, giải thích vì sao các kết luận sau đúng. b)
1 − x − 5 x + 1 = x − 1 5 x − 1 \frac{1-x}{-5x+1}=\frac{x-1}{5x-1} − 5 x + 1 1 − x = 5 x − 1 x − 1 .
Tìm đa thức thích hợp cho dấu “?”.
y − x 4 − x = ? x − 4 \frac{y-x}{4-x}=\frac{?}{x-4} 4 − x y − x = x − 4 ?
Rút gọn các phân thức sau:
a) 5 x + 10 25 x 2 + 50 \frac{5x+10}{25{x}^{2}+50} 25 x 2 + 50 5 x + 10
Rút gọn các phân thức sau:
b) 45 x ( 3 − x ) 15 x ( x − 3 ) 3 \frac{45x(3-x)}{15x{(x-3)}^{3}} 15 x ( x − 3 ) 3 45 x ( 3 − x )
Rút gọn các phân thức sau:
c) ( x 2 − 1 ) 2 ( x + 1 ) ( x 3 + 1 ) \frac{{({x}^{2}-1)}^{2}}{(x+1)({x}^{3}+1)} ( x + 1 ) ( x 3 + 1 ) ( x 2 − 1 ) 2
Cho phân thức P = x + 1 x 2 − 1 P=\frac{x+1}{{x}^{2}-1} P = x 2 − 1 x + 1
a) Rút gọn phân thức đã cho, kí hiệu Q là phân thức nhận được.
b) Tính giá trị của P và Q tại x = 11. So sánh hai kết quả đó.
Tìm a sao cho hai phân thức sau bằng nhau:
5 x x + 1 \frac{5x}{x+1} x + 1 5 x a x ( x − 1 ) ( 1 − x ) ( x + 1 ) \frac{ax(x-1)}{(1-x)(x+1)} ( 1 − x ) ( x + 1 ) a x ( x − 1 )
Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:
a) 1 x 3 − 8 \frac{1}{{x}^{3}-8} x 3 − 8 1 3 4 − 2 x \frac{3}{4-2x} 4 − 2 x 3
Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:
b) x x 2 − 1 \frac{x}{{x}^{2}-1} x 2 − 1 x 1 x 2 + 2 x + 1 \frac{1}{{x}^{2}+2x+1} x 2 + 2 x + 1 1
Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:
a) 1 x + 2 ; x + 1 x 2 − 4 x + 4 \frac{1}{x+2};\frac{x+1}{{x}^{2}-4x+4} x + 2 1 ; x 2 − 4 x + 4 x + 1 5 2 − x \frac{5}{2-x} 2 − x 5
Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:
b) 1 3 x + 3 y ; 2 x x 2 − y 2 \frac{1}{3x+3y};\frac{2x}{{x}^{2}-{y}^{2}} 3 x + 3 y 1 ; x 2 − y 2 2 x x 2 − x y + y 2 x 2 − 2 x y + y 2 \frac{{x}^{2}-xy+{y}^{2}}{{x}^{2}-2xy+{y}^{2}} x 2 − 2 x y + y 2 x 2 − x y + y 2
Cho hai phân thức 9 x 2 + 3 x + 1 27 x 3 − 1 \frac{9{x}^{2}+3x+1}{27{x}^{3}-1} 27 x 3 − 1 9 x 2 + 3 x + 1 x 2 − 4 x 16 − x 2 \frac{{x}^{2}-4x}{16-{x}^{2}} 16 − x 2 x 2 − 4 x
a) Rút gọn hai phân thức đã cho.
b) Quy đồng mẫu thức hai phân thức nhận được ở câu a.
Tất cả đề Tính chất cơ bản của phân thức đại số · Các bộ sách Toán Lớp 8
