Giải SGK Toán 8 KNTT Bài 22. Tính chất cơ bản của phân thức đại số có đáp án

Sau bài học này ta trả lời được câu hỏi trên như sau:

Ta có $\frac{x-y}{{x}^{3}-{y}^{3}}=\frac{x-y}{(x-y)({x}^{2}+xy+{y}^{2})}=\frac{1}{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}$ .

Vậy có phân thức $\frac{1}{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}$ thỏa mãn bài toán.

Nhân cả tử và mẫu của phân thức $\frac{x+y}{x-y}$ với 2x ta được: $\frac{2x(x+y)}{2x(x-y)}=\frac{2{x}^{2}+2xy}{2{x}^{2}-2xy}$ .

Ta có (x + y)(2x$^{2}$ – 2xy) = 2x$^{3}$ – 2x$^{2}$y + 2x$^{2}$y – 2xy$^{2}$ = 2x$^{3}$ – 2xy$^{2}$;

(x – y)(2x$^{2}$ + 2xy) = 2x$^{3}$ + 2x$^{2}$y – 2x$^{2}$y – 2xy$^{2}$ = 2x$^{3}$ – 2xy$^{2}$.

Do đó, (x + y)(2x$^{2}$ – 2xy) = (x – y)(2x$^{2}$ + 2xy) nên $\frac{x+y}{x-y}=\frac{2{x}^{2}+2xy}{2{x}^{2}-2xy}$ .

Phân thức mới là: $\frac{x+1}{{x}^{2}+x+1}$ .

Ta thấy $\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)({x}^{2}+x+1)}=\frac{x+1}{{x}^{2}+x+1}$ .

Vì (x – 1)(x + 1)(x$^{2}$ + x + 1) = (x – 1)(x$^{2}$ + x + 1)(x + 1).

Ta thấy tử và mẫu thức của phân thức $\frac{30x{y}^{2}(x-y)}{45xy{(x-y)}^{2}}$ có nhân tử chung là 15xy(x – y).

Chia tử cho nhân tử chung: 30xy$^{2}$(x – y) : [15xy(x – y)] = 2y

Chia mẫu cho nhân tử chung: 45xy(x – y)$^{2}$: [15xy(x – y)] = 3(x – y).

Vậy $\frac{30x{y}^{2}(x-y)}{45xy{(x-y)}^{2}}=\frac{2y}{3(x-y)}$ nên khẳng định đã cho là đúng.

Nhân cả tử và mẫu của $\frac{-x}{1-x}$ với –1 ta được: $\frac{-x.(-1)}{(1-x)(-1)}=\frac{x}{x-1}$ .

Vậy $\frac{-x}{1-x}=\frac{x}{x-1}$ .

Ta có

2x$^{2}$ + 2x = 2x(x + 1)

x$^{2}$ – 1 = (x + 1)(x – 1)

Nhân tử chung của tử và mẫu là: x + 1.

Phân tích tử và mẫu thức thành nhân tử và rút gọn nhân tử chung ta có:

$\frac{{x}^{2}+2x}{3{x}^{3}+2x}=\frac{x(x+2)}{x(3{x}^{2}+2)}=\frac{x+2}{3{x}^{2}+2}$.

Vậy bạn Tròn đã làm sai.

$\frac{-a{x}^{2}-ax}{{x}^{2}-1}=\frac{-ax(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{-ax}{x-1}$

Vậy để hai phân thức bằng nhau thì –ax = 3x suy ra a = –3.

2x$^{2}$ + 2x = 2x(x + 1);

3x$^{2}$ – 6x = 3x(x – 2).

Ta có: Nhân tử phụ của $\frac{1}{2{x}^{2}+2x}$ là: 6x(x + 1)(x – 2) : 2x(x + 1) = 3(x – 2)

Nhân tử phụ của $\frac{1}{3{x}^{2}-6x}$ là: 6x(x + 1)(x – 2) : 3x(x – 2) = 2(x + 1).

$\frac{1}{2{x}^{2}+2x}=\frac{3(x-2)}{6x(x+1)(x-2)}$

$\frac{1}{3{x}^{2}-6x}=\frac{2(x+1)}{6x(x+1)(x-2)}$

Ta có: 3x$^{2}$ – 3 = 3(x$^{2}$ – 1) = 3(x + 1)(x – 1)

x$^{3}$ – 1 = (x – 1)(x$^{2}$ + x + 1)

MTC: 3(x + 1)(x – 1)(x$^{2}$ + x + 1).

Khi đó:

$\frac{1}{3{x}^{2}-3}=\frac{{x}^{2}+x+1}{3(x+1)(x-1)({x}^{2}+x+1)}$;

$\frac{1}{{x}^{3}-1}=\frac{3(x+1)}{3(x+1)(x-1)({x}^{2}+x+1)}$.

c, $\frac{{({x}^{2}-1)}^{2}}{(x+1)({x}^{3}+1)}=\frac{({x}^{2}-1)({x}^{2}-1)}{(x+1)(x+1)({x}^{2}-x+1)}$

$=\frac{(x-1)(x+1)(x-1)(x+1)}{(x+1)(x+1)({x}^{2}-x+1)}=\frac{{(x-1)}^{2}}{{x}^{2}-x+1}$

b, $P(11)=\frac{11+1}{{11}^{2}-1}=\frac{12}{120}=\frac{1}{10};Q(11)=\frac{1}{11-1}=\frac{1}{10}$

Ta thấy hai kết quả cùng bằng $\frac{1}{10}$.

a) MTC: 2(x – 2)(x$^{2}$ + 2x + 4)

$\frac{1}{{x}^{3}-8}=\frac{2}{2(x-2)({x}^{2}+2x+4)}$;

$\frac{3}{4-2x}=\frac{-3}{2(x-2)}=\frac{-3({x}^{2}+2x+4)}{2(x-2)({x}^{2}+2x+4)}$.

b) MTC: (x – 1)(x + 1)$^{2}$

$\frac{x}{{x}^{2}-1}$= $\frac{x}{(x+1)(x-1)}=\frac{x(x+1)}{(x-1){(x+1)}^{2}}$;

$\frac{1}{{x}^{2}+2x+1}=\frac{1}{{(x+1)}^{2}}=\frac{x-1}{(x-1){(x+1)}^{2}}$.

a) MTC: (x + 2)(x – 2)$^{2}$

$\frac{1}{x+2}=\frac{{(x-2)}^{2}}{(x+2){(x-2)}^{2}}$;

$\frac{x+1}{{x}^{2}-4x+4}=\frac{x+1}{{(x-2)}^{2}}=\frac{(x+1)(x+2)}{(x+2){(x-2)}^{2}}$;

$\frac{5}{2-x}=\frac{-5}{x-2}=\frac{-5(x+2)(x-2)}{(x+2){(x-2)}^{2}}$.

b) MTC: 3(x + y)(x – y)$^{2}$

$\frac{1}{3x+3y}=\frac{1}{3(x+y)}=\frac{{(x-y)}^{2}}{3(x+y){(x-y)}^{2}}$;

$\frac{2x}{{x}^{2}-{y}^{2}}=\frac{2x}{(x+y)(x-y)}=\frac{2x.3(x-y)}{3(x+y){(x-y)}^{2}}$;

$\frac{{x}^{2}-xy+{y}^{2}}{{x}^{2}-2xy+{y}^{2}}=\frac{{x}^{2}-xy+{y}^{2}}{{(x-y)}^{2}}=\frac{3(x+y)({x}^{2}-xy+{y}^{2})}{3(x+y){(x-y)}^{2}}$.

a) Rút gọn

$\frac{9{x}^{2}+3x+1}{27{x}^{3}-1}=\frac{9{x}^{2}+3x+1}{{(3x)}^{3}-{1}^{3}}=\frac{9{x}^{2}+3x+1}{(3x-1)(9{x}^{2}+3x+1)}=\frac{1}{3x-1}$ ;

$\frac{{x}^{2}-4x}{16-{x}^{2}}=\frac{x(x-4)}{(4+x)(4-x)}=\frac{-x(4-x)}{(4+x)(4-x)}=\frac{-x}{x+4}$.

b) Quy đồng $\frac{1}{3x-1}$ và $\frac{-x}{x+4}$ .

$\frac{1}{3x-1}=\frac{x+4}{(3x-1)(x+4)}$;

$\frac{-x}{x+4}=\frac{-x(3x-1)}{(3x-1)(x+4)}$.