Giải SGK Toán 12 CTST Bài 2. Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án

Ta đã biết trong mặt phẳng Oxy, phương trình tham số của đường thẳng có dạng: $\{\begin{matrix}x={x}_{0}+{a}_{1}t \\ y={y}_{0}+{a}_{2}t\end{matrix}({a}_{1}^{2}+{a}_{2}^{2}\ne 0,t\in ℝ)$.

Trong không gian Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng có dạng như thế nào?

Trong không gian Oxyz, cho điểm M$_{0}$ cố định và vectơ $\overrightarrow{a}$ khác $\overrightarrow{0}$. Có bao nhiêu đường thẳng d đi qua M$_{0}$ và song song hoặc trùng với giá của $\overrightarrow{a}$.

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M$_{0}$(x$_{0}$; y$_{0}$; z$_{0}$) cố định và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)$ khác $\overrightarrow 0$.

a) Giải thích tại sao ta có thể viết: M Î d Û $\overrightarrow {{M_0}M} = t\overrightarrow a ,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$.

b) Với M(x; y; z) thuộc d, hãy tính x, y, z theo x$_{0}$, y$_{0}$, z$_{0}$ và a$_{1}$, a$_{2}$, a$_{3}$.

Cho đường thẳng d có phương trình tham số $\{\begin{matrix}x=-1+8t \\ y=-4t \\ z=3+12t\end{matrix}$.

a) Tìm hai vectơ chỉ phương của d.

b) Tìm ba điểm trên d.

Cho đường thẳng d có phương trình tham số $\{\begin{matrix}x={x}_{0}+{a}_{1}t \\ y={y}_{0}+{a}_{2}t \\ z={z}_{0}+{a}_{3}t\end{matrix}$ với a$_{1}$, a$_{2}$, a$_{3}$ đều khác 0.

Lấy điểm M(x; y; z) bất kì thuộc d. So sánh các biểu thức: $\frac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}};\frac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}};\frac{{z - {z_0}}}{{{a_3}}}$.

Cho đường thẳng d đi qua hai điểm A(2; 2; 1) và B(4; 5; 3).

a) Tìm một vectơ chỉ phương của d.

b) Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của d.

Một mô hình cầu treo được thiết kế trong không gian Oxyz như Hình 4. Viết phương trình tham số của đường thẳng d biểu diễn làn đường đi qua hai điểm M(4; 3; 20) và N(4; 1000; 20).

Cho ba đường thẳng $d:\{\begin{matrix}x=4+t \\ y=1+2t \\ z=1+3t\end{matrix}$; ${d}^{'}:\{\begin{matrix}x=2{t}^{'} \\ y=7+4{t}^{'} \\ z=2+6{t}^{'}\end{matrix}$ và ${d}^{''}:\{\begin{matrix}x=5+2{t}^{''} \\ y=3+4{t}^{''} \\ z=4+6{t}^{''}\end{matrix}$

a) Nêu nhận xét về ba vectơ chỉ phương của d, d' và d".

b) Xét điểm M(4; 1; 1) nằm trên d. Điểm M có nằm trên d' hoặc d" không?

Kiểm tra tính song song hoặc trùng nhau của các cặp đường thẳng sau:

a) $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 7 + 4t\\y = 3 - 2t\\z = 2 - 2t\end{array} \right.$ và d': $\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 5}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}$;

b) $d:\frac{x}{3} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 1}}{4}$ và d': $\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 9}}{3} = \frac{{z - 5}}{4}$.

Trên một máy khoan bàn đã thiết lập sẵn một hệ tọa độ. Nêu nhận xét về vị trí giữa trục d của mũi khoan và trục d' của giá đỡ có phương trình lần lượt là: $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = 1 + t\end{array} \right.$ và d': $\left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = 20\\z = 5 + 5t'\end{array} \right.$.

Cho ba đường thẳng

$d:\{\begin{matrix}x=1+t \\ y=2+3t \\ z=3-t\end{matrix}$; ${d}^{''}:\{\begin{matrix}x=2-2{t}^{'} \\ y=-2+{t}^{'} \\ z=1+3{t}^{'}\end{matrix}$ và ${d}^{''}:\{\begin{matrix}x=2-2{t}^{''} \\ y=-2+{t}^{''} \\ z=3+3{t}^{''}\end{matrix}$.

a) Đường thẳng d' và đường thẳng d" có song song hay trùng với đường thẳng d không?

b) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}1 + t = 2 - 2t'\\2 + 3t = - 2 + t'\\3 - t = 1 + 3t'\end{array} \right.$ (ẩn t và t'). Từ đó nhận xét vị trí tương đối giữa d và d'.

c) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}1 + t = 2 - 2t''\\2 + 3t = - 2 + t''\\3 - t = 3 + 3t''\end{array} \right.$ (ẩn t và t"). Từ đó nhận xét vị trí tương đối giữa d và d".

Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d và d' trong mỗi trường hợp sau.

a) $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 - t\\z = 2 - 3t\end{array} \right.$ và $d':\frac{{x - 2}}{4} = \frac{y}{7} = \frac{{z + 1}}{{11}}$;

b) $d:\frac{{x - 4}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{2}$ và $d':\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{9}$.

Trên phần mềm thiết kế chiếc cầu treo, cho đường thẳng d trên trụ cầu và đường thẳng d' trên sàn cầu có phương trình lần lượt là: $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = 50 + t\end{array} \right.$ và $d':\left\{ \begin{array}{l}x = 20\\y = t'\\z = 50\end{array} \right.$.

Xét vị trí tương đối giữa d và d'.

Cho hai đường thẳng d: $\{\begin{matrix}x=4+t \\ y=1+2t \\ z=1-t\end{matrix}$ và ${d}^{'}:\{\begin{matrix}x={t}^{'} \\ y=7+4{t}^{'} \\ z=9{t}^{'}\end{matrix}$.

a) Tìm vectơ chỉ phương $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow {a'}$ lần lượt của d và d'.

b) Tính tích vô hướng $\overrightarrow a .\overrightarrow {a'}$. Từ đó, có nhận xét gì về hai đường thẳng d và d'?

Kiểm tra tính vuông góc của các cặp đường thẳng sau:

a) $d:\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 3}} = \frac{z}{1}$ và $d':\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + t\\y = t\\z = - 6 + 2t\end{array} \right.$;

b) $d:\frac{{x + 2}}{7} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z + 1}}{1}$ và $d':\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 5}}{2} = \frac{{z - 5}}{2}$.

Một phần mềm mô phỏng vận động viên đang tập bắn súng trong không gian Oxyz. Cho biết trục d của nòng súng và cọc đỡ bia d' có phương trình lần lượt là:

$d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 20\\z = 9\end{array} \right.$ và $d':\left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = 20\\z = 1 + 3t'\end{array} \right.$. Xét vị trí tương đối giữa d và d', chúng có vuông góc với nhau không?

Cho hai đường thẳng d và d' có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{a}=(2;1;3)$, $\overrightarrow{{a}^{'}}=(3;2;-8)$.

a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai đường thẳng d và d' trong không gian.

b) Vectơ $\overrightarrow b = \left( { - 2; - 1; - 3} \right)$ có phải là một vectơ chỉ phương của d không?

c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức cos(d, d') = $\left| {\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow {a'} } \right)} \right| = \left| {\cos \left( {\overrightarrow b ,\overrightarrow {a'} } \right)} \right|$.

d) Nêu cách tìm côsin của góc giữa hai đường thẳng theo côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.

Tính góc giữa hai đường thẳng d và d' trong mỗi trường hợp sau:

a) $d:\frac{{x - 7}}{3} = \frac{y}{5} = \frac{{z - 11}}{4}$ và $d':\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 6}}{5} = \frac{{z - 1}}{{ - 4}}$;

b) $d:\frac{{x + 9}}{3} = \frac{{y + 4}}{6} = \frac{{z + 1}}{6}$ và $d':\left\{ \begin{array}{l}x = 9 - 10t\\y = 7 - 10t\\z = 15 + 5t\end{array} \right.$;

c) $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 23 + 2t\\y = 57 + t\\z = 19 - 5t\end{array} \right.$ và $d':\left\{ \begin{array}{l}x = 24 + t'\\y = 6 + t'\\z = t'\end{array} \right.$.

Trên một phần mềm đã thiết kế sân khấu 3D trong không gian Oxyz. Tính góc giữa hai tia sáng có phương trình lần lượt là: $d:\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{{ - 1}}$ và $d':\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z - 1}}{9}$.

Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)$ và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {{n_1};{n_2};{n_3}} \right)$. Biết d cắt (P) tại điểm N và hình chiếu vuông góc của d lên (P) là đường thẳng d'. Qua N vẽ đường thẳng D vuông góc với (P) (Hình 12).

a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.

b) Có nhận xét gì về số đo của hai góc α = (d, d'); β = (D, d)?

c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức: $\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow n } \right)} \right|$.

Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau:

a) $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 11 + 3t\\y = - 11 + t\\z = - 21 - 2t\end{array} \right.$ và (P): 6x + 2y – 4z + 7 = 0;

b) $d:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 4}}{4} = \frac{{z - 5}}{2}$ và (P): 2x + 2y – 4z + 1 = 0;

c) $d:\frac{{x + 3}}{4} = \frac{{y + 5}}{4} = \frac{{z + 11}}{2}$ và (P): 2y – 4z + 7 = 0.

Trên một sân khấu đã thiết lập sẵn một hệ tọa độ Oxyz. Tính góc giữa tia sáng có phương trình $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1 + t\\z = 1 + t\end{array} \right.$ và mặt sàn sân khấu có phương trình z = 0.

Cho hai mặt phẳng (P) và (P') có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow n = \left( {{n_1};{n_2};{n_3}} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {{{n'}_1};{{n'}_2};{{n'}_3}} \right)$ (Hình 14).

Gọi d và d' là hai đường thẳng lần lượt vuông góc với (P) và (P'). Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (P') là góc giữa hai đường thẳng d và d'. So sánh cos((P), (P')) và $\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right)$.

Tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (P') trong mỗi trường hợp sau:

a) (P): 3x + 7y – z + 4 = 0 và (P'): x + y – 10z + 2025 = 0;

b) (P): x – 2y + z + 9 = 0 và (P'): 3x + y – 5z + 2024 = 0;

c) (P): x + z + 3 = 0 và (P'): 3y + 3z + 5 = 0.

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Cho biết A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 5; 0), A'(0; 0; 3). Tính góc giữa:

a) hai đường thẳng AC và BA';

b) hai mặt phẳng (BB'D'D) và (AA'C'C);

c) đường thẳng AC' và mặt phẳng (A'BD).

Để làm thí nghiệm về chuyển động trong mặt phẳng nghiêng, người làm thí nghiệm đã thiết lập sẵn một hệ tọa độ Oxyz. Tính góc giữa mặt phẳng nghiêng (P): 4x + 11z + 5 = 0 và mặt sàn (Q): z – 1 = 0.

Viết phương trình tham số của đường thẳng a trong mỗi trường hợp sau:

a) Đường thẳng a đi qua điểm M(0; −2; −3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=(1;-5;0)$.

b) Đường thẳng a đi qua hai điểm A(0; 0; 2) và B(3; −2; 5).

Viết phương trình chính tắc của đường thẳng b trong mỗi trường hợp sau:

a) Đường thẳng b đi qua điểm M(1; −2; −3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow a = \left( {5; - 3;2} \right)$.

b) Đường thẳng b đi qua hai điểm A(4; 7; 1) và B(6; 1; 5).

Cho đường thẳng d có phương trình chính tắc $\frac{x-3}{1}=\frac{y+3}{3}=\frac{z-2}{7}$.

a) Tìm một vectơ chỉ phương của d và một điểm trên d.

b) Viết phương trình tham số của d.

Trong trò chơi mô phỏng bắn súng 3D trong không gian Oxyz, một xạ thủ đang ngắm với tọa độ khe ngắm và đầu ruồi lần lượt là là M(3; 3; 1,5), N(3; 4; 1,5). Viết phương trình tham số của đường ngắm bắn của xạ thủ (xem như đường thẳng MN).

Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a) $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 1 + 2t\\z = - 2 + t\end{array} \right.$ và $d':\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t'\\y = 3 + 4t'\\z = 2t'\end{array} \right.$;

b) $d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{2}$ và $d':\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{5} = \frac{{z - 1}}{1}$.

Trên phần mềm mô phỏng 3D một máy khoan trong không gian Oxyz, cho biết phương trình trục a của mũi khoan và một đường rãnh b trên vật cần khoan (Hình 18) lần lượt là: $a:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 3t\end{array} \right.$ và $b:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t'\\y = 2 + 2t'\\z = 6\end{array} \right.$.

a) Chứng minh a, b vuông góc và cắt nhau.

b) Tìm giao điểm của a và b.

Trên một cánh đồng điện mặt trời, người ta đã thiết lập sẵn một hệ tọa độ Oxyz. Hai tấm pin năng lượng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng (P): 2x + 2z + 1 = 0 và (P'): x + z + 7 = 0.

a) Tính góc giữa (P) và (P').

b) Tính góc hợp bởi (P) và (P') với mặt đất (Q) có phương trình z = 0.

Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ đứng OBC.O'B'C' có đáy là tam giác OBC vuông tại O. Cho biết B(3; 0; 0), C(0; 1; 0), O'(0; 0; 2). Tính góc giữa:

a) hai đường thẳng BO' và B'C;

b) hai mặt phẳng (O'BC) và (OBC);

c) đường thẳng B'C và mặt phẳng (O'BC)